Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При каком условии звук, распространяющийся без затухания по длинной трубе с сечением 5, полностью отражается от открытой боковой ~рубы с таким же сечением длиной (э 2.3. Нормальные волны в резонаторах и волноводах 2.3.1. Найти собственные частоты колебания в прямоугольном помещении, стороны которого равны 1, 1, 1, с твердых' у' ми, полностью отражающими поверхностями. Решение. Необходимо решить волновое уравнение для звукового давления дп до дп 1 дд дх2 ду2 дг2 с2 д12 ' при следующих граничных условиях: колебательная скорость и для волн в среде (воздухе) в направлении нормали к стенке равна нулю: Ф и ) О, и ( = О, и ) О!г к ОЛ "у=о.! г О,! к у Данным граничным условием удовлетворяет решение уравнения (1) в виде р = соэ( — х1! соэ~-"уэ! сов!с — ез! е (2) если ы ла(пс/1 ), ы - л(пс/1 ), ы к к у у' г л, д могут принимать значения О, 1, 2, 3, ... ! 2й щ2Г' ! 2ди л2Т' к у Частота 1 прн этом равна д(пс/1 ), причем л!, Или г с 1г = 2П = !) 2) 1 = ) ., - Ц! ')„'')!)"2 = Г[[т Нт 3 '[$ и (3) Решение.
Решение аналогично решению задачи 2.2.10, причем акустический импеданс бокового отростка равен (см задачу 2.1.3) 2 = !(Рс/5) (п(И) Акустический импеданс трубы У = рс/5. Акустический импеданс в точке разветвления име2ак ет выражение г г-Ь;*к!а. ЯК!а,;,а!а! ° Ш !а! ° <аа - гУ, 1ак 2ак где Я вЂ” механический импеданс. Коэффициент отражения от места разветвления 2-Брс 5!и И -1аа)п И соз И )(г) и' 5! и (И).г1.!.15! п(И)со5(И) Коэффициент прохождения по энергии (р 1 )(г)2 4 5!и 2 (1аз!и ()а!) +5!п(л1)соэ(И)1 Если И О, и, 2п,, то %' = О, т.е.
звук полностью от- У ражается от места разветвления. Действительно, из (2) находим, например, выражение для ком. поиеиты скорости и: к' „ и = —.~ = —.~-э!п~ — «1 соэ~ — у) соз~ — «1~ е !ыр дх !барс ( (с ) (с з (с из которого видно, что и ( =О. к к О,! 'к Совокупность трех чисел (пг, л, г)) определяет одну моду (нор- мальную волну колебания), структура поля этой моды определя- ется выражением (2), а частота — выражением (3).
2.3.2. Определить пять низших собственных частот звуко- вых колебаний в сосуде, имеющем форму прямоугольного парал- лелепипеда со сторонами 1, 1, 1, равными 40, 60, 100 см. к' у' г' Стенки сосуда считать абсолютно твердыми. Скорость звуча в воде 1480 мк'с. Ответ. Низшие собственные частоты будут (оо, = 740 Гц, )ою = !238(ц' )оц = )430 !" )!ао = !830(ц )о~ '= И8З Гц, 2.3.3. Найти число мод в объеме в форме прямоугольного параллелепипеда с жесткими стенками, имеющих частоты ие выше заданной частоты / (см. рисунок).
Решение. Мода (лг, л, д) может быть представлена точкой в пространстве частот, в котором по осям координат отложены величины = лгс/21, 1 = лс/21, ) = дс/21, где лг, и, д = О, 1, 2, ...; 1, 1, 1 — стороны параллеле.к' у' г пипеда; с — скорость звука. Совокупность точек (узлов), изо- бражающих моды, образует в пространстве частот иечто похожее иа прямоугольную кристаллическую решетку. Для определения числа мод, соответствуюц!их всем частотам от 0 до 1, следует рассмотреть в пространстве частот число узлов, лежащих и ок- танте радиусом ), учтя при этом точки, лежащие иа осях (ак- сиальные моды — только одно из чисел лг, л, д не равно О), на ограиичивающих плоскостях (таигеициальиые моды — одно из чи- сел гп, л, д равно О) и внутри октанта ("косые" моды — все лг, п, д пе равны О) Для вычисления числа мод определенного класса следует найти объем, "занятый" точками решетки, отно- сящимися к этому классу.
Число узлов равно этому объему„де- ленному на объем одной ячейки: У = с /(81 ! ! ). Объем, за- 3 О куг пятый косыми модами, ранен объему октаита У = (4п/3)! /8, 1 Объем У, занятый тангеициальиыми модами, слагается из объ- емов 3/4 дисков площадью и! /4 и толщиной соответственно 2 с/(4! ), с/(4! ) и с/(4! ) — (Т~(+ Т)7 1 ~ Ис где 5 = 2(! ! е! 1+! ! ) — полная площадь граничных поверх- 2У Уа 22 ностей параллелепипеда, У = ! ! ! †объ параллелепипеда. 2У2 Заметим, что множитель 1/2 в толщине диска получается вследствие того, что граничная поверхность рассматриваемого октанта принадлежит как бы н соседнему октанту (см рисунок а), К задаче 2.3.3 Объем У, занятый аксиальными модами, слагается из объемов трех брусков длиной ! и площадью сечения соответственно 1 с 1 с 1 с 1 47 Т ' Х 47 7 ' 4' 4Т7 ' ; = Ф~6.ф-6~ = И'У.
где !. = 4 (! е! е! ) — полная сумма длины ребер параллелепи- 2 У 2 педа. Рисунок б поясняет появление множителя 1/4 (каждый узел на оси принадлежит четырем квадрантам). Таким образом, при подсчете числа узлов в пространстве частот должен учнты. ваться объем: = — я! - — я — ! е — — !. 13с52с!. 6 32 У 64 У Таким образом, для числа мод имеем У( ! 2 3) 3 32 22 Зсз 1 4пУз п5 2 !. (1) где 0(!) < 1. Число мод в полосе частот от ! до ! е б! находим из (1): ,!)У = ~~А~ 6) = ~4яУ(2 п5 1+ ~~+ Ю'ф~ б! (2) сз 2с2 с б9 ния для потенциала Ьи- — — ~=0, 1 д (1) с дг удовлетворяющее условию, что колебательная скорость на гра- ницах равна нулю (см.
задачу 2.3 1), имеет вид (с(г,у,г,1) = ?,ЯА соз(й х) соз(й„в) ехр(й г-йМ), та 2 = щи/а, й = пп/Ь, а продольное волновое число (Аг Ф 2 22)1г2 й ы/с в л$ в является действительным, если ы/с (2 + й„) Если же это условие не выполнено, то данная нераспространяющейся.
Каждой моде с номерами ствует своя критическая частота (4) (5) моди является гн и а соответ- (жв Ырра~ + ® ~ (6) 70 2.3.4. Вычислить число нормальных волн в зале размером 50х20х10 м, образующихся при распространении импульса длительностью т = 0,5 с с частотой заполнения 100 Гц. Решение. Находим полосу частот звука, возбужденного в заде: от 7 — Ь)/2 до 70+ Ь?/2, где Ь7 = 1/т = 2 Гц.
Отсюда определяем число нормальных волн по формуле (3.2): с(М = 73. 2.3.5. Прямоугольный коридор имеет ширину 2 м, высоту 3 м и длину 10 и. Найти число возбужденных мод ЬМ помещения в интервале частот от ? до 7" + 87 в зависимости от частоты (7 100 Гц, 72 1000 Гц, 87 = 5 Гц). Ответ. При 7' 100 Гц Ь?У = 1-2 моды; при 7 1000 Гц Ь?У = 100 мод. 2.3.6.
Воздух в помещении в форме куба с ребром 5 м приведен в колебание так, что все моды в интервале между 1 = 998 Гц и 7 1001 Гц возбуждены. Сколько мод при этом 2 возбуждено? К какому виду они принадлежат? Ответ. Общее число мод 168 — 169, из них: косых 160, тангенциальных 8, аксиальных-не более 1. 2.3.7. Представить акустическое поле в прямоугольном волноводе с жесткими стенками как суперпозицию нормальных волн. Решение. Рассмотрим распространение звука в бесконечной трубе прямоугольного сечения со сторонами а и Ь, направленными соответственно по осям х н у. Решение волнового уравне- Скорость распространения моды (гл, л) с -й- -ы~Я ( — ~ — ~~]1 2.3.8.
Показать, что наличие затухающих мод в трубе эквивалентно образованию линий тока в ближней зоне излучения. Решение. Пусть волновое число моды, направленной вдоль трубы, будет мнимое, т.е. частота звука меньше критической частоты для данной моды. Тогда и =й =((й ел+й) =Ог л тл т л Рассмотрим частный случай й = О, что соответствует аксиаль- л ным модам, параллельным осн х: р, = А е )~*сов(л х) е Вычислим скорость этой моды в направлении осей х и г: о = др /дх = - л А е )г~з(п(н х) е лаг, о = др /дг = — РА е )~'соз(н х) е ~. Звуковое давление Р = — (ырр = - йарА е рз сов(Й х) е ело ~~0 л$ по фазе отличается от скорости о на и/2, что указывает г на отсутствие потока энергии в направлении оси г.
Вместо потока образуются линии тока, замыкающиеся на началь- г ном сечении трубы г = О. Уравнение линий тока находим, разделив о на о и уч- а а тя, что о дГ = дх, о Й = с(г: д х 7 л — = — а = У вЂ” с!8(4 х). «гг ~а и к задаче 2.з.а х о л т 1 й Интегрируя дифференциальное уравнение, получим уравнение линий тока в плоскости хг г Вх/й ) !п )з1п(й х)) + с.
Картина линий тока для моды (2, 0) схематично показана на рисунке. 2.3.9. Найти шесть низших мод в длинной трубе прямоугольного сечения размером 50 на 100 см с неподатливыми стенками, заполненной воздухом, и построить их дисперснонные кривые. Полагая ф(х, г) = Р(г) ехр(1~х), из (1) и (2) находим уравне- ние для определения постоянной распространения для нормаль- ной волны номера 1: с, = [йг-(!л/й)г~ь'г, ! = 0,1,2, ... Фазовая скорость нормальной волны номера 1 вдоль слоя равна с, = ы/сч = с(1 — (),/Я '~г, (3) где !" = !с/2Ь вЂ критическ частота.
Групповая скорость нор- мильной волны номера 1 вдоль слоя будет с = с(ыЩ! = с(1 — (1,/!) 1 Отсюда находим с )с ! = с. 2 ф,! при 2.3.12. Представить нормальную волну в плоском слое в ви- де суммы двух бегущих плоских волн с определенными углами наклона их фронтов, Решение. Рассмотрим плоский слой между двумя жесткимн границами (коэффициент отражения У = 1), Потенциал поля в слое представляется в виде суммы нормальных волн: Ш ф(х,г) = ~ Р,(г) ехр(!г,х), ыо где при заданных граничных условиях Р)(г) = 2Л,сов~4 -~~~, л = ы /с.
Учитывая, что )гИ -с. Ь = !л, ! = О, 1, 2, „имеем с)*.*) = \' А, )~,%) )[+ 4 -)) /))'*). )!О но )Ч х 1 ( М(хмп6+гсоэ6 ) )а(хэ)п6-ссоэВ )~ где э) п6 = с,/я, соэ 6, = !и/(с!), 6 — угол, который нормаль к фронту (луч) образует с осью г. Таким образом, каждая нормальная волна как бы состоит из суммы двух, симметрично наклоненных к оси канала плоских волн (лучн Брнллюэна).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
