Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(2) В реальных условиях, когда ХО, р е 1, отличия Р от 1 малы. 3.3,12. Скорость звука в среде изменяется по закону с = = со (г ч О), с = с 1+е/Н) (г и О). Сферический истачник находится нв высоте г = — г ивд уровнем излома ско1ости.
Найти уравнение отраж~нных а лучей в верхнем полупро~трвнстве, уравнение для каустики. Решение. Введем координату у = — г (см, рисунок), Тогда О для луча, вышедшего под гглом Х из источника и прошезшего горизонтальное расстояние г, справедливо рввенство +Д К задаче 3.3.12 г =, +201кХ, (1) 'аХО О' где первое слагаемое есть горизонтальное расстояние в верхнем пространстве„а второе — в нижнем (см. (1.16.1)). Нитенснвность обращается в бесконечность в точках, где дг " 20 (2) О 51п ХО сов Уравнения (2), (3) задают квустику (геометрическое место точек, где интенсивность обращается в бесконечность) в пара- метрическом виде. Исключая Х из (2), (3), получаем уравнение каустики в явном виде; г = 2[2П(г р)), р = -г ег/ЗН, д а О. 122 2 (3) Из (4) следует, в частности, что расстояние до г появления каустики в верхнем полупространстве (у = 0 в (4)) равно г = (8Нг )1 (4) и растет с удалением излучателя от границы излома скорости.
3.3.13. В условиях задачи 3.2.12 (случай б)) найти уравнения каустик: для лучей, не отраженных от поверхности; для лучей, отраженных один раз. Найти расстояние г для выхода п каустики на поверхность. Рассмотреть глубины излучателя г о = 80, 40, Ом. Решение. Из данных задачи 3.2.12 получаем, что в верхнем слое скорость звука постоянна, а в нижнем имеет постоянный градиент Н с (г -г )/(с, -с ) = 3,48 км Если ввести ко К задаче ЗЗ 13 ординату у, отсчитываемую от границы излома, для лучей, направленных в нижнюю полуплоскость, высота излучателя иад границей излома равна г = г -г и уравнение каустики в од- 2 О породном слое имеет вид (см. (12.4)) р (го гг)'с/ЗН, с и [ЗН(г гоц (1) Каустика достигает поверхности иа расстоянии г = [8Н(2г -го)) (2) Подставляя числовые значения, получаем а) г= 80м, г= 1,49км; г= 40м, г=1,82км; а= Ом, г = 2,11 км.
п б) г= 80мг г 258км; г 40м, г= 235км; г Ом, 'г = 2,11 км. и Положения каустик видны на рисунке (глубина г = 40 м). о 3.3.14. Найти уравнения каустик в прнповерхиостном канале с постоянным градиентом скорости звука с с (1+а/Н). Счио тать, что излучатель расположен на поверхности, и ограничиться малоугловым приближением. Решение. Найдем горизонтальное расстояние от излучателя до точки с координатами (г, г), если при этом луч делает Н полных циклов н еще проходит часть цикла Ьг ~ Д. Длина цикла 0 2Н1пх (см.
задачу 31.16). Тогда из (1.13.2) получаем г = М() ' Ьг = 2НН(йхо;- (з)пхо-з!пх) = Н(20+1)18Хо — Н- — Х . (1) Угол Х определяется нз закона Снеллнуса: сову /с = созХ /с, о Для малых углов скольжения из (1) получаем г = Н ((2М+1)Хо + (Хо — 2а/Н) (2) где знак минус соответствует первой половине последнего неполного цикла, знак плюс — второй. Фактор фокусировки обращается в нуль в точках, где дг/АНХО О, (3) откуда следует, что каустики возникают только на первой половине неполного цикла, и, следовательно, в (2) нужно оставить только знак минус. Из (3) находим Хо ( ( 2Н+1) -1 ) Подставляя (4) в (2), для формы каустик получаем уравнение -,'/(8(Н.1) НН).
(5) (4) Для лучей, направленных в верхнюю полуплоскость и отраженных от границы, эффективная высота источника над границей раздела равна г = г е г . Соответственно уравнение каустике и расстояние выхода каустики на поверхность равны у = (го+я ) е го/8Н, г и (8Н(г ~го)1 (3) г = (8Н (2г ' г, )) (4) 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА 4.1. Излучение звука колеблющимися телами (3) 4.1.1. Рассмотреть сфернчески-симметричные пульсация сфе- ры, излучающей расходящуюся гармоническую волну. Рассчитать интенсивность звука и мощность источника, полное механиче- ское сопротивление (нмпеданс), а также присоединенную массу. Решение. Используем выражение для потенциала сфернческн расходящейся волны Р = —, ехр (- 1ы(+ Йг,), А (1) где й = ы/с, г = г — а, а-радиус шара.
Пользуясь формулой 1 (1), рассчитаем радиальную компоненту колебательной скорости: о = д~ = — (Й - -) ехр (- ИМ ь Йг,), д А 1 (й) Полагая, что на сфере г = а задана амплитуда и колебатель- 0 ной скорости, нз (2) находим константу А = а о /(Йа — 1). 2 Найдем теперь акустическое давление; 2 д . йо'0 Р = -Р пЕ = Гро-,.-д-,— Гехр(- йв(+ 1йг1). (4) Интенсивность звука для гармонической волны вычисляется на основании (2), (4) по формуле Г 1 1 = ро = пЯе(ро ) = аарон (б) 1+( на) Здесь черта сверху означает усреднение по периоду, звездоч- ка — знак комплексного сопряжения.
Полная мощность нсточника 2 4 А1 = 4пг21 = 2па2(рси2) (да) 2прсзЕ2 (ла) (б) 1+(ла) 1-(ла) Здесь введена амплитуда г, = и /сл колебаний смещения поп верхностн сферы. Результат (6) показывае~, что прн фикснро. ванной амплитуде смещения Е излучаемая мощность в случае низких час~от (Гг а с 1) пропорциональна 4-й степени часто- 2 2 ты, а в случае высоких частот (л а ъ 1) — 2-й степени часто. 2 2 107 ты. Таким образом, на низких частотах процесс излучения мало эффективен, что связано с большой массой соколеблюшейся жнд.
кости — слоя, прилегающего к поверхности сферы. Механический импеданс (отношение силы реакции поля излучения, действующей иа поверхность сферы, к скорости о ) вычисляется по формулам (2), (4): 2 г = я(1) - ~и~-'и-и)е - е - и. (7) 2 е=а 1~-(еа( Здесь 5 = 4па — плошадь сфернческои поверхности, !г и У вЂ” активная и реактивная части импеданса: е г = р 5-( — '9-)-р, у = М = р.5 (8) 1 -( па) 1+(йа) Присоединенная (соколеблюшаяся) масса (8) равна М' = 4пар(1 да) ~. (9) На низких частотах присоединенная масса равна утроенной массе жидкости, вытесненной шаром С увеличением частоты масса М уменьшается до нуля. 4.1.2.
Определить полную мощность излучения сферы радиусом 1 см, совершающей колебания в воздухе (а) или в воде (б) с амплитудой ч = 1 мм на частоте 7 = 100 Гц. Решение. Данные, приведенные в условии задачи, соответствуют низкочастотному пределу йа = 2па(/с к 1 как для воздуха, так и для воды. Поэтому (1.6) примет вид )у = (2 )з( ))'4р/ ) (1) Полагая для воздуха р/с 3,8 10 кг/(м с), для воды р/с = -3 4. = 6,7 10 кг/(м .с), получаем оценки излучаемой мощности; а) )т' = 3,7.10 Вт, б) М = 6,5 1О Вт. 4.1.3.
Рассчитать активную составляющую удельного акустического импеданса н соколеблющуюся (присоединенную) массу иа единицу площади сферического излучателя радиусом а, колеблющегося в воздухе с частотой !. Рассмотреть ава случая: а) а = 0,25 м, ! = 100 Гц, б) а = 1 м, 1" = 400 Гц. Решение. По формулам (7), (8) задачи 4.1.1 находим ю, а ~ри~' и ея (1) 1е(2п) а/с) 1+(2п)а/с) Для значений р = 1,3 кг/м, с = 330 м/с, рс = 429 кг/(м с) получаем значения е а: а) 0,23, б) 58. Искомые величины э э й/5 [кг/(м ° с)! н М'/5 (кг/м ) соответственно равны: а) 79 и 2.
2 0,27; б) 420 и 0,022. (3) 4.1.4. Рассмотреть поступательное осцилляторное движение сферы (происходящее без изменения ее объема) вдоль полярной оси г сферической системы координат. Рассчитать интенсивность звука и мощность источника, полное механическое сопротивление (импеданс), а также присоединенную массу. Решение. Действуем по аналогии с задачей 4.1.1. Однако здесь нельзя брать решение волнового уравнения в виде (1.1) (где А — не зависящая от 8 константа), поскольку при этом не удается удовлетворить граничному условию о. = дг = оо созВ ехр( (ыг) д (1) для радиальной компоненты скорости на поверхности сферы г= а.
Чтобы получить нужную зависимость от азимутального угла В и созВ (1), возьмем решение волнового уравнения в виде производной от решения (1.1): Ф1 = (тч) У =. оосоэВ дг = оосоз — ~Й вЂ” -~ ехр(- 1ыг+ йг1). (2) д Аг. 1з Эная 21, вычислим и = др/дг и положим константу А равной 1' 22 г 1 а /(2-2йа-й а ), чтобы удовлетворить условию (1) при г = ш Зй~ 2+2 я -2 Соответствующая формула для акустического давления имеет вид р - (рсо созВ П П-йг) ехр(- Гьх ь йг). (4) Газ . ха 0 1г) й2о2 2йо 2 1' Переходя в решении (3), (4) к дальней зоне (йг «1), найдем интенсивность излучаемого звука 7 = 2йе(ро*) 2-рсо [м) -( — ~-) — соз В. (5) 0 г 4„.(ь )4 Сравнивая (5) с (1.5) для радиально-пульсирующей сферы, видим, что излучение поступательно.осциллирующей сферы характеризуется функцией направленности Ф = соз В При этом коэф- 2 фициент осевой концентрации излученной энергии 11 = 2~~'й(В) з(оддВ~ ' (б) 0 равен 3, в то время как для ненаправленного излучения (ф = = 1) ои равнялся бы 1.
)(Олная излученная мощность, получаемая интегрированием (5) по телесному углу 2пг яп В г(8, выражается формулой 4 6 й( = 2 па2рсо2-Ио) — = 2 проз~2 — (йа) (7) 04+(йп)4 3 04 (й )4' Сравнение (7) с (1,6) показывает, что на низких частотах мощ. ность излучения осциллирующей сферы ( 7 ) меньше, чем у б пульсирующей ( ) ). Механический импеданс вычисляется на 4 основе формул (3), (4), в которых нужно положить г = а: 11 2 = — = — рсозО 2па з)пО ИО = 3 на рг 2 2 .
(8) Р 1 г, 2 4 2 я а+рйа о и й а ~2(йа-2 Действительная и мнимая части импедаиса равны р >р,д ИаЗ „-у .1,~Ба) кпа (9| 4+(йа) 4 (йа) Присоединенная масса осциллирующего шара 2 Мф 4 ппзр 2+Я~) (10) 4 .(йа) на низких частотах равна половине массы жидкости, вытеснен- -2 ной шаром, а на высоких частотах стремится к нулю как 7 4.1.5. Определить полную мощность излучения звука сферой радиусом 1 см, совершающей в воздухе поступательные колебания на частоте 7 = 100 Гц с амплитудой смещения С 1 мм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
