Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Здесь )г «1 — малый параметр задачи, отвечающий малости нелинейных членов в (2.2) по сравнению с линейными членамю - -' 6"-'Н'-Ч -" 5Ч" Тот факт, что (дс/дх( «1, уже был использован прн переходе от уравнения Ирншоу (1.3) к упрощенному уравнению (2.2). Если предположить, в частности, что смещение изменяется по гармоническому закону С = А з(п(ы(1-х/с)1, условие примет внд р - (у+1) Аы/со = (у 1).2нА/Х «1. Зто значит, что амплитуда смещения частиц среды А должна быть малой по сравнению с длиной волны л.
Можно сказать иначе; отношение и /с амплитуды колебательной скорости и к скорости звука с (акустическое число Маха) должно быть ма. лой величиной. Таким образом, малый параметр задачи — это акустическое число Маха М = и /с . Перейдем в уравнении (2.2) от х, 1 к новым переменным х, т согласно предположению (1). Вычисляем производные: 1 ~'~ 2ц ~'~, 2~'~ д(~ дт2 дх О~т ох1 дх с2 дт2 О дх1дт дх О 1 (2) Подставляя (2) в (2.2) и пренебрегая всеми членами порядка )х, )г и более высоких порядков малости (нужно также учесть, 2 3 что правая часть уравнения мала по сравнению с левой), получим (3) О где и = дЕ/дт = дЕ/д1-колебательная скорость частиц среды, с = (у+1)/2 — параметр акустической нелинейности. Ъравнение (3) в нелинейной акустике называют уравнением простых волн.
Заметим, что это — уравнение первого порядка (а не второго, как исходное уравнение), т.е. задачу удалось сильно упростить. 5.1.6. На границе х = 0 нелинейной среды колебательная скорость изменяется по закону и(х=О, т=1) = и з(п(и(). Ре- п 128 шая уравнение простых волн (5.3) методом последовательных приближений, определить закон изменения амплитуды второй гармоники с увеличением расстояния к. Решение. Из уравнения простых волн получаем уравнения первого и второго приближений: (1) Решение первого приближения и ' = и з|п(ы1) подставляем во (2) второе из (1); интегрируя его с условием и( )(О,т) = 0 (на границе среды второй гармоники нет), находим и( ) = (с/2со) ыиох з)п(2ыт). (2) Видим, что амплитуда второй гармоники в среде растет линейно с координатой х.
Расстояние = с /(саит ) = Х/(2тгсМ), (3) на котором амплитуда второй гармоники формально достигает 1/2 от амплитуды первой, называют характерной нелинейной длиной или расстоянием образования разрыва. На самом же деле решение (2) справедливо на расстояниях к «х, так как при заметной перекачке энергии из первой гармоннкй во вторую ре. щения, полученные методом последовательных приближений, не точны. Из формулы (3) следует, что для акустических сигналов, число Маха которых всегда мало (М с 1), нелинейная длина х» Л. Иными словами, волне нужно пройти расстояние, Р равное многим длинам волн л, чтобы ее профиль и спектр заметно исказились.
Это и означает "медленность" изменения профиля на масштабах порядка д (см. задачу 5.1.5). 5.1.7. На границе х = 0 возмущение есть сумма гармонических сигналов и(0,1) = и,з1п(и,г) + и э(п(ы!). Решая уравнение простых волн (5.3) методом последовательных приближений, найти амплитуды и и и комбинационных гармоник и ° и и ы — и .
Сравнить эффективность генерации суммарной и разностной частот. Ответ. По аналогии с задачей 5.1,6 находим (~,-~,( и+ = — и и (ы+гв ) к,: = 1 . + 22 12Г2'иы1™2 со 5.1.8. Показать, что точное решение уравнения (5.3), отвечающее возмущению произвольной формы и(х=О, 1) = Ф(1) на В Акустика а задачах 129 границе нелинейной среды дается неявной функцией и(х,т) = Ф(т+ (с/с )их). (1) Получить формулу (1) методом характеристик, известием из теории квазилинейных дифференциальных уравнений в ч~стных производных 1-го порядка, Решение.
Дифференцируя (1), найдем 2 би (с/со)иФ ли Ф' (2) 1 -(с/с ) ХФ 1-(с/с )хФ Здесь штрих означает производную по полному аргументу функции Ф. Подставляя (2) в уравнение простых волн, нмеех тождество. О решении методом характеристик см. задачу 5,2.2. Интересно разобраться в том, как в неявной зависзмости (2) "скрыты" нелинейные эффекты. Разлагая (2) по малыи х в ряд, получим и = Ф(т) Ф'(т) (с/со) их+ ... м Ф(т) + (с/с~~)х Ф(т) Ф'(т) + „ Видно, что второй член квадратичен по функции Ф, т.е. описывает квадратично-нелинейные эффекты.
Следующие члены будут соответствовать иелинейностям высших степеней. 5.1.9. Используя неявное решение (8.1) уравнения простых волн, рассмотреть эволюцию "линейного профиля"-негодного воз м у щен ия и(х=О,Г) = Ф(г) = т(Г-Г ), Обсудить случаи у м 0 и у и О. Решение. Подставляя (1) в общую формулу (8.1), найдем и(х,т) = т (т+ си(х,т)х/с — Г 1, н, следовательно, 2 и = у(т-1 )/(1-сух/с ). (2) Таким образом, на любом расстоянии х профиль остается линейным по т; изменяется только угол его наклона к оси т. Когда наклон положителен (у м О), решение справедливо иа конечном интервале х ~ с /(су), пока профиль ие станет вертикальным, 3 о При отрицательном наклоне (у ~ 0) с увеличением х профиль становится все более пологим, и при х ъ с /(с)у() провсходит о потеря информации об исходном наклоне у: и = — (с /сх) х 2 о х(т-г ). Выражение (2) — простейшее, но очень важное решение уравнения простых волн.
Оно может быть использовано для описания эволюции близких к линейным участков произвольного профиля. 5.1.10. Проанализировать графически процесс нелинейного искажения формы одного периода исходного гармонического сигнала и(О,т) = и з(п(ыт). Воспользоваться неявным решением о (8.1) уравнения простых волн, переписав его как явную функ. цию переменной т(х,и): т = Ф '(и) -(е/с02) их, картина наблюдается для волн иа поверхности моря при подходе их к берегу, На расстоянии г = 1 (х = х ) передний Р фронт становится вертикальным — образуется разрыв или ударный фронт. При х ~ 1 профиль становится неоднозначным (появляется "перехлест"), т.е.
решение в виде простой волны (2) на расстояниях х м х не Р справедливо. К задаче 5.! 10 5 где Ф вЂ” функция, обратная Ф. Решение. При х = 0 из (1) получаем т(О,и) = Ф (и)-зта кривая соответствует исходному профилю волны. Кривая, соответствуюшая нелинейно-искаженному профилю (х ь 0), получается на плоскости ит графическим сложением исходной кривой и прямой — (с/с ) их, наклон которой возрастает с увеличением х. 2 о ,((ля гармонического (при х = 0) сигнала решение (8.1) запишется так: — = з(п алых+ — ыих~ = з(п1сыт+ х — ). (2) со Здесь г = с /(сыи ) = х/х — расстояние, измеренное в едини- 2 ° О Р цах длин образования разрыва (см. (6,3)). Формула (1) для рассматриваемого сигнала примет вид ыт = агсз(п — — х —.
и и (3) "о "о' Откладывая вдоль осей значения и/и и ыт и выполняя описанные выше построения, получим картину, изображенную на рисунке. Видно, что с увеличением пройденного волной расстояния передний фронт (обрашениый по направлению движения) становится более крутым, а задний — более пологим. Похожая (3) 5.1,11.
Используя сшивку решений вида (9.2), рассмотреть эволюцию формы одиночного треугольного импульса длительностью 2Т. При к - 0 профиль аппроксимируется кусочно — линейной функцией — = 0 (т«0, т»2Т), —" = т(0«т«Т), —" = 2 — — (Т«т«2Т), йо ио Т ио Т Рассмотреть случаи и» 0 и и «О. Провести также анализ с использованием графической процедуры (см. задачу 5.1.10).
Ответ и=О(т«0, т»2Т), сио " 'ио и т[1 ох~ ~0 . а" Ох) о Т с Т о ' с о и 2Т-т сио сио — — ~1 а — к) '(Т вЂ” — к т «2Т] у' о с о и/ие Решение в виде простой волны 1 справедливо до расстояний 2 сот л-и х си о пока передний фронт импульса не станет вертикальным Прот гт т ' цесс искажения профиля для К задача 3! 11 и» 0 показан на рисунке. О 5.1.12. Найти спектр простой волны в нелинейной среде, если на входе волна задана как и(О,т) = и Ф(1ет), где Ф— о функция, периодическая по своему аргументу с периодом Т = 2л.
Решение Вычислим коэффициенты С разложения в ряд Фурье а неявной функции — решения (8.1) уравнения простых волн (5 3); — = Ф)1ет+ г и ~ = ) С (г) ехр(ти1т). (1) Здесь безразмерное расстояние г = (с/с )и1и х. Коэффициенты 2 разложения равны С (г) = 2л ~Ф(и1т+ г — ") ехр(-глыт) с((гвт). т Интегрируя один раз по частям, получаем С = 2лгй1е = 7лгп1 К Я( )' Я. (2) т т Здесь мы перешли к переменной с = ыт+ ги/и, откуда цт = ~ — гФ(г), н наш интеграл теперь содержит явную функцию от с. Интегрируя второй раз по частям, получаем ответ: л С (г) = — 2-„— „' — Яе'"~Ф(ч) — 1~е '"ч с(г,. -л 132 При г ~ О, разлагая экспоненту под интегралом (3) в ряд, по лучаем очевидный результат линейного приближения и С (г) = 2и ~Ф(~) е !лр лг.
= С„(г=О) = сопя(, -и т.е, гармоники не взаимодействуют между собой, коэффициенты С в среде равны своим исходным значениям. я 5.1.13. Пользуясь ответом предыдущей задачи (см. (12.3)), найти зависимости амплитуд гармоник от г = к/к при задании Р на входе в нелинейную среду гармонического сигнала и(О,т) = = и з!п(ит). Найти степенные законы роста амплитуд для г к 1 о Решение. Воспользуемся ма- д, тематическим тождеством теории бесселевых функций ехр((гсозр) = л — !' l (г)ехр(1!вр), (1) з -и С помощью тождества (1) экспоненту под интегралом (12.3) представим как ехр((лгз!и О = и Π— У (лг)ехр(!д~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
