Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Разрывы образуются в точках ьгт= 2пп (я=О, +1, +2, ...) на расстоянии « = с /(сии ). 2 5.2.5. На каком расстоянии от излучателя мощного ультразвука в воде образуется разрыв, если интенсивность волны ! 1О Вт/см, частота ( = 1 МГц? Параметры воды: р =, 1 г/см, 2 3 б О с = 1,5.10 см/с, с = 4.
О Ответ. Используя результат задачи 5.2.4, получим оценку со СОР 1Х2 2 «р = 2пс7[-27-» м 25 см. 5.2.6. Какой должна быть интенсивность волны в воде иа частоте ( = 200 кГц, чтобы разрыв образовался на расстоянии 10 м? Ответ. ! = 0,5 с ро(2яс(«) м 0,15 Вт/см . 5.2Л. Оценить амплитуду колебательной скорости, смещения, ускорения и число Маха в двух предыдущих задачах.
Ответ. Лля задачи 5.2 5 и = (2)/горо) = 36 см/с, ио/ым 6 10 см, а = ыи = 2 10 см/с, М = ио/с м 2,4х -б З 2 О О О/ О х 10; для задачи 5.2.6 и = 4,5 см/с, г, м 4 10 см, а м О ' ' О ' О = 5 10 см/с, М = 3 10 . Видно, что даже в мощных ультразвуковых полях смещения частиц очень малы (порядка молекулярных масштабов), зато достигаются огромные ускорения (до 10 6, д — ускорение свободного падения). Числа Маха малы, и б это факт уже использован для упрощения нелинейных уравнений в задачах 5 !.2 и 5 1 5 5.2.8.
Выразить длину образования разрыва плоской моно- хроматической волны в воздухе (у = 1,4) через уровень звукового давления Ф и частоту ). Определить число Маха и длину образования разрыва для У = 140 дБ (двигатель тяжелого реактивного самолета) и ) = 3300 Гц. Решение. В атмосферной акустике принято характеризовать интенсивность звука уровнем среднеквадратичного давления Л((дБ) относительно р = 2 10 Па. Для пикового значения 140 давления р' при этом имеем р' = Юр 10 .
Длина образо- ФГ20 ванна разрыва плоской монохроматнческой волны определяется соотношением (1.6.3), где М = и /с, и — пиковое значение 0' 0 колебательной скорости. Учитывая, что со = уРО/РО, где ро— 2 плотность воздуха, р = 10 Па †атмосферн давление, для э 0 числа Маха имеем РI( Р) Рl(Р) Следовательно, М = /2У - 10юэо = э 8 10 3 = А . 1 0.10 лг/20 - б Р. Р РО Р со 3'~ ~/~ Р 5.2.9. Исходя из закона сохранения количества движения, переносимого простой волной, предложить простое геометрическое построение, устраняющее неоднозначность формы профиля с '"перехлестом" (см.
рисунок), образующимся при к и х . Р' Решение. Убедимся в том, что количество движения в простой волне, занимающей ограниченную область пространства (и -э -э 0 при т э +м), не зависит от х для х и к: 60 м м Р' и ,)РО РО 1[ 2 ) РО 1 ~~) [~ 2 Ф( )) РО 1 -ф -м 0 -м Геометрический смысл закона сохранения — постоянство площади между кривой и = Ф(х,т), описывающей профиль волны, и осью т. После образования "перехлеста" л (х и х ) эта площадь также со- Р храняется, поскольку область среды, занятая волновым движе- ~г нием, остается замкну~ой (на нее не действуют внешние силы). Следовательно, в неодно- Я 1 значном профиле волны разрыв следует проводить так, чтобы отсекаемые плщдади 5 и 5 К задаче 52.Э (см. рисунок) были равны. Действительно, площадь 5 "добавляется" к проФилю, а площадь 52 "отторгается" от него; при условии 5 = 5 площадь под полученной кривой оказывается равной исходному значению ГФ(т) дт.
м 5.2.10, Показать, что ударная волна сжатия — скачок между двумя постоянными значениями и и и (причем и н и ) — ус- 1 2 1 2 тойчива, т.е. не Изменяет своей формы при распрос~ранении. 141 Решение. Пусть для простоты и, = О, и ь О. В исходной (при х = 0) волне разрыв занимает в сопровождающей системе координат положение т = О. На расстоянии х ь 0 искаженный профиль строится графическим методом, описанным в задаче 5.1.10. Очевидно, что профиль становится неоднозначным при сколь угодно малых х (штриховая линия на рисунке а).
Эта неоднозначность устраняется в силу "равенства плошадей" (см. задачу 5.2.9). В результате получаем скачок такой же формы н величины, но с фронтом, несколько смещенным вперед. К задаче 5.2,10 Это значит, что волна сжатия устойчива. Смещение фронта в сопровождающей системе координат т = (†х/с свидетельству- о ет о том, что положительный (относительно невозмушенного уровня и1 = 0) скачок и движется со сверхзвуковой скоростью с = с е си /2 тем быстрее, чем больше перепад и в ударной волне, Интересно, что ударная волна разрежения (и ч и ) неустойчива — при распространении ширина ее фронта растет (см. рисунок б). Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользо.
ваться графическим методом задачи 5.1.10. Равенства плошадей здесь не требуется. 5.2.11. Используя правило равенства площадей, определить положение и амплитуду разрыва и (х) синусондального исходно- р го возмущения и(х=О, 1) = Ф(1) и з(п(иг). Найтн расстояние 0 х, при котором величина и (х) максимальна, н установить р аснмптотнческий закон ее изменения прн больших х. Ответ. В бегущей снстеме координат (т = г — х/с ) разрыв 0 на каждом нз периодов занимает фиксированное положение при ыт = 2пп (л = О, +1, 22, ...), а его амплитуда определяется как ненулевой корень уравнения агсз(п(и уи ) = з(и уи ), где р о р о' г = х/х = (е/с ) ыи х.
Максимальное значение и (х ) = и 2 р о о р ° о достигается при г = г = и/2. Асимптотический закон убывания и /и = и/(1ег) хорошо выполняется при г ~ 2+ 3. Интересно, что при г э 1 и м с /(еых) и не зависит от амплитуды вход- 2 Р ного сигнала. 5.2.!2. Пользуясь результатами решения предыдущей задачи, найти форму профиля, синусоидального на входе, на расстояниях г х/х ь 2+3. Вычислить спектральный состав и среднюю Р Т плотность энергии Е = р и = р Т )'и (х,т) Ит. 2 -! 2 Ответ. Волна приобретает пилообразный профиль — ~; — (-ыт+ пзйпт), -и я ыт я п.
и 1 (1) спек авен Ее тр р — ) ~~-;г).з!п(лыт). (2) а 1 Из-за образования разрывов н их нелинейного затухания (тем более сильного, чем больше и ) амплитуды гармоник уменьшают- -1 ся по степенному закону, причем А п . Плотность энергии уменьшаются как Е = п и /[3(1~г)] и прн г э 1 не зависит от 2 2 2 амплитуды и исходного возмущения, 5.2.13. Используя графические построения задач 5.1.10 и 5 2.9, проследить за эволюцией прямоугольного на входе импульса.
Ф(т) = А прн — Т ~ т м 0 и Ф(т) = 0 вне этого интервала, Найти асимптотнческую форму импульса при х -а м, Ответ. Начальная форма импульса и его форма на трех характерных расстояниях показаны на рисунке. При х(е/с )А/Т ъ 1 2 импульс приобретает универсальную треугольную форму с наклоном, не зависящим от А и Т: и -(с т/ех) (-т мт 0), 2 о Р и 0 (тм-т, тьо).
Р Здесь т (х) = (2АТ(е/с )х1 2 1/2 Р Р К ааааче Б 2 13 текущая длительность импульса. Нетрудно проверить, что при любых х Цлощадь импульса равна АТ, что отвечает сохранению количества движения 5.2.14. Проанализировать графически процесс нелинейной трансформации профиля двуполярного звукового импульса, состоящего из двух симметричных треугольных импульсов (см. за- К задаче 52.14 дачу 5.1.11) длительностью 2ТО н площадью 3 в случаях: а) за фазой разрежения следует фаза сжатия; б) за фазой сжатия следует фаза разрежения Ответ Как показано на рисунке, в случае а) импульс трансформируется в так называемую 5-волну неизменной длительности 2Т; в случае б) импульс превращается в М-волну, длительность которой 2Т(х) растет с увеличением х.
5.2.15. В условиях предыдущей задачи, используя результаты эволюции "линейного профиля" (см. задачу 5.1.9), найти асимптотическое поведение фурье-образов при (с/с )5х/Т ъ 1. О О Обсудить особенности структуры спектров в области высоких и низких частот. Ответ.
Спектр 5-волны (случай а)): 2 ТО з(п ( ыТО) с О (С("'ы) ( ЫТ [1 ы) ) е ' (1) О О Спектр М-волны (случай б) является автомодельным. с2 2 (С(х,ы)( = йТ-~соз(ыТ) — -Ы( ~~ах' = (2сах~ (2) Зависимости (1), (2) изображены на рисунке. В области высоких частот спектры спадают по степенному закону, что связано б цзто О К задаче 52.15 144 точка  — в В' с координатой т2 = т (х) — (Е/Сб)из Ь .
Р г ~ т~ те(х) К задаче 5.2.16 Из равенства плошадей (см. задачу 5.2.9) следует, что новая координата разрыва т (хек) = 2(т+т ) = т (х) — — (и еи ) Ьх, 1 Р 1 2 Р 2 2 1 2 (1) со Переходя в (1) к пределу при Ьх -з О, получим уравнение Ит У22 = — — ~(~,'~,) со Таким образом, скорость перемещения фронта в сопровождающей системе координат зависит только от значений и, и и возму- щения на разрыве, которые, вообще говоря, зависят от рас- стояния. Поскольку и, и и2 принадлежат не только разрыву, но одновременно и профилю простой волны, для них справедливо решение (1.3), т.е. т(х)= Ф (и) — — «х, -1 с р 1 1 2 1 ' О т (х) = Ф (и ) — — и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
