Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Исследовать О его асимптотическое поведение прн у -> а. Ответ. Используя разложение ф ехр(гсозО) = I (з) е 2 ) ! (2) соз(пО), и=! где !' — модифицированные функции Бесселя, из (6.2), (6.4), Л (6.5) получаем и(-1 вч ! ( Ке) е хр(-6п ызх) з ! п( пь>т ) 2 ! л и(,т) 2а = ! (2) ! (Ке)+2 ) (-1)"!' (Ке)ехр(-бп~ызх)з(п(пыт) О л ! и Здесь комбинация параметров а6/(2ыб) имеет смысл акустического числа Рейнольдса (см (2,5)), При бы х ъ 1 экспоненты в 2 (2) сильно уменьшаются с ростом п и остается только первая гармоника: — т/Бх — Т < т и О, и(х,т) = и О т<-Т, тмО, (2) !52 ! !(Ке) и(х,т) - "К~ т-л~ — ~- ехр(- бы х) з)п(ь>т) (3) При малых и больших числах Рейнольдса, пользуясь асимптотиками функций Бесселя, получим гармонику, затухающую по закону линейной акустики: [а, Кек 1, и(к,т) м ехр(- бы х) з!п(ыт) ~ (4) 46ь>/Б, Ке ъ 1.
В последнем случае амплитуда гармоники не зависит от своего исходного значения а. 5.3.8. Пользуясь общим решением уравнения Бюргерса, рассмотреть эволюцию однополярного импульса, аппроксимируя его на входе 6-функцнй: ио(!) = А д(!). Ввести для данной задачи число Рейпольдса; обсудить предельные случаи Ке к 1 и Ке ъ 1. Ответ. Решение имеет вид йе 1 -т/(46 ) и(к,т)— Бтчп х 1+0,5(е ~-1)[1+Ф(т/тчБх)1 т Здесь Ф(г) = (2/~/й)Т ехр(-! ) 4(à — интеграл ошибок, а Ке = о = АБ/26.
При Ке к 1 результат (1) совпадает с линейным решением (1.6). При Ке » 1 из (1) следует, что импульс имеет универсальную треугольную форму: (2) где Т = тПЛБх — длительность импульса. Для вывода формулы (2) нужно использовать асимптотику функции Ф(- х) при х .э м. 5.3.9. Пусть П(х,т) — известное решение уравнения Бюргерса, отвечающее граничному условию П(х=О,() = По((). Исследовать взаимодействие этой волны с "линейным профилем" течения (см.
задачу 5.1.9) на основе общего представления решения уравнения Бюргерса (см. задачу 5.3.6) для граничного условия и(х=0,1) = тг+ По(1) (1) Проанализировать случаи т и 0 и т «О. Ответ. Нелинейное взаимодействие с "линейным профилем" приводит к изменению характерных амплитуды и частоты, а также темпов эволюции волны П(х,т). Решение имеет вид и(х,т) = 1 —  — — )-й — „-П[р — ~;-„-, 1 — й — -1 (2) При Т ь О, Бух ~ 1 характерные амплитуда и частота волны неограниченно возрастают. 5.3.10.
Используя метод перевала, найти асимптотическое решение уравнения Бюргерса (2.2) при больших числах Рейнольдса (д -+ О). Дать графическую интерпретацию этого решения. Рещение. В выражение для общего решения (6.6) уравнения Бюргерса входят интегралы вида 7 = ))(1) ехР[2ПГ(т,(,х)~Я. (1) При д .+ 0 основной вклад в интеграл будут давать окрестности тех точек, где функция г" имеет максимум. Пусть г — одна из ь таких точек; она находится из уравнения дТ ПТ = О, — П ип(Е,) = О. В окрестности этой точки функцию Е можно разложить в ряд, ограничившись квадратичными членами: Т(т,г,х) = Г -~ Т" (1-1 ) /2, (3) где Г„= Е(т,(„,х), Р" = х — й и'(Г ) «О.
Тогда интеграл (1) представляется как сумма вкладов в точках перевала 4пд ьг Е Т = ~ 1м 7д [(Г„) [[Р~г[~ ехР ПП. (4) При д 0 в этой сумме будет превалировать слагаемое, соответствующее абсолютному максимуму функции г". При этом из общего решения (6.6) следует асимптотический результат и(т,х) = [г (т,х) — т)/()Зх) (5) 153 где ((т„х)-координата абсолютного максимума функции г Р(т,(,х) = Р5о(Г) (2 1' 5о(() = ~ "о(( ) е(( ' (6) Г1роцедура отыскания абсолютного максимума допускает наглядную графическую интерпретацию. Координата 1 (т,х) есть первая точка касания функции Р подвижной прямой Ь, опускающейся из бесконечности параллельно оси абсцисс б Более удобно, однако, действовать по-друго. му, а именно рассматривать первую точку касания функции )55о(1) и параболы а(т,йх) = Ь+(г-т) /2х, (7) опускающейся (при уменьшении Ь) сверху на функцию Д 5о(г) К задаче 5.3.10 (см.
рисунок). 5.3.11. Используя полученное в предыдущей задаче асимптотическое решение уравнения Бюргерса, проанализировать эволюцию однополярного импульса, аппроксимируя его на входе 5- функцией ио(г) = А 5(Г). Решение. Йля функции Б 5 (г), определяемой (!О 6), имеем Д5 = ДА 9(Г), где 0(1) — функция Хевнсайда (единичного скачка). Графическая процедура отыскания координаты абсолютного максимума в данном случае иллюстрирована (см. рисунок). За фиксируем расстояние х, т.е.
ширину параболы (10.7). Если т я О, то парабола 7 коснется ступеньки своим центром = т, т.е. Г(т,х) = т; при этом согласно (10.5) поле и(т,х) = 0 для всех т м О. При т ч 0 существует одна критическая парабола а, которая одновременно касается Д 5о(г) в двух точках: ( 0 и г = — Т. Очевидно, что для такого касания Ь = О, а положение а определяется из системы уравнений †Т- тг .а (т,-Т,х) (:-2-„— )- = О, а (т,О,х) = 2х = БА.
Отсюда следует, что координата вершины этой критической параболы равна -Т = -(2ДАх)~~~. Если положить - Т ч т ч О, то нетрудно заметить, что парабола 2 на рисунке коснется Б 5,(1) в точке Г = О. Из (10,5) 154 при этом находим и(т,х) = — т/рх. Наконец, полагая т ч Т т.е. перемещая центр подвижной параболы 3 левее центра кри. тической параболы а, снова получим ( = т, и = О.
Суммируя сказанное, видим, что асимптотический профиль прн больших числах Рейнольдса имеет треугольную форму и(кт)=0, т» — Т,т~О; и=-т/Ох, — Т<тчО, (2) Длительность импульса Т(х), определяемая формулой (1), и пи ковое значение возмущения и (х) равны д!ах Т(х) = (2(3Ах)~~~, (3) и (х) = и(к,т Т) = (2А/йх) (см. задачу 5.3.8). Площадь импульса равна и (х) Т(х)/2 = А = сопз(. 5.3.12. Используя графическую процедуру задачи 5,3.10, исследовать процесс взаимодействия двух однополярных импульсов "о(') = А15(') 'А25(' 'о) (1) -т т -т К задаче 5.3Л2 К задаче 5.3.П при больших числах Рейнольдса, Найти асимптотическую форму волны, образуюшуюся в результате слияния импульсов. Ответ. Критические параболы а (см.
задачу 5.3.11) и соответствуюшие профили импульсов приведены на рисунке. Напоминаем, что с увеличением пройденного расстояния х параболы уширяются. Координаты разрывов легко находятся из условия двойного касания параболой а функпии Д 5О(Г) (см. рисунки а, б). Расстояние х, на котором происходит слияние разрывов, определяется из условия тройного касания ог и В 5О(г) (см. рисунок в). Асимптотическая форма волны — одиночный треугольный импульс (см. (11.2)) с длительностью Т = [2м(А1+А2)к) 5.3.13. В условиях предыдущей задачи рассмотреть взаимодействие двух 5-импульсов различной полярности.
Отдельно разобрать случай (А,) = (А ). 5.3.14. Усовершенствовать решение (2.12.1) для одного периода пилообразной волны, приняв во внимание, что в диссипативной среде для больших чисел Рейнольдса ударный фронт имеет малую, но конечную ширину и описывается выражемисм (5 1) Решение. Ступенчатую функпию здп т следует заменить на 1п (Ви (х)т/261.
В аргументе гиперболического тангенса необ- Р ходимо учесть, что разрыв уменьшается вследствие нелинейного затухания как и (г)/и = и/(1+к) (см. задачу 5.2.11); соотр о ветственно увеличивается ширина фронта. Таким образом, формула (2.12.1) примет вид и 1 [ . (Б~п В О )1 (1) для — и < ыт ~ и, Ке э 1. Подставляя (1) в уравнение Бюргерса (2 2), имеем его точное решение (решепие Хохлова). 5.3.15. Разложить решение Хохлова в ряд Фурье, рассчитать амплитуды гармоник н проанализировать их поведение на больших расстояниях. Ответ.
Разложение в ряд (решение Фея) имеет вид — ) 2 — з агап |п(1 -2) — В~ з|п(пыт). и ыд Г ыб (1) йо л1 "О (. "О Оно хорошо описывает спектр гармонической (на входе з = О) .волны для больших чисел Рейнольдса в той области, где фронт стабилизируется, т е. нелинейное укручение и диссипативное сглаживание профиля уравновешивают друг друга. Амплитуда гармоник при (ыд/и (3)г ~ 1 в решении Фея уменьшается примеро но по закону ехр(- пбы х) — медленнее, чем по линейной теории 2 2 ( ехр(- и бы х)); это связано с подкачкой энергии от низших гармоник к высшим. На расстояниях (ди/и В)г — 2 или бы х ж 2 2 О в решении Фея главным становится первый член ряда (1), и 1бб волна принимает вид и = -Р— ехр(- ды х) з(п(ыт) = и (х) з1п(ыт).
4ды 2 Формула (2) совпадает с (7.1) и описывает эффект "насыщения"; как сильно ни увеличивать амплитуду и на входе в нелинейную среду, на расстояниях х — 2/ды = 2х невозможно 2 передать волну с амплитудой, большей и = -~- ехр(- ды х) = 4ды 2 2Ьы Г Ьы ехР1Ь- — х) . (3) мах Д ссоро 2сЗР О О 5.3.16. Используя условия задач 5.2.5 и 5.2.6, оценить диссипативную длину х = 1/ды2 = 2с Р /Ьа и найти макси- 3 2 зат мальную интенсивность волны, которая может быть передана на расстояние 2х . Принять для воды д = 6 10 с /см.
-1а 2 зат' -4 2 Ответ. х = 42 м, !~ах м 10 Вт/см и х м 1 км. ! = 4 10 Вт/см . 5.4. Сферические и цилиндрические волны. Нелинейные пучки (2) Решение в виде сходящейся волны (г уменьшается от г до 0): г и(г,т) — и (т = 7+ — ) ,3 неограниченно растет по мере приближения к фокусу г О. (4) 157 5.4.1. Рассмотреть сходищнеся сферически-симметричные волны в линейном приближении. Исходная форма возмущения и (!) задана на сферической поверхности радиусом г ъ Л (Л— О О характерная длина волны).
Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля, упростить линейное волновое уравнение би — — =,О, Ьи = — а — — и. 1 ди ди 2ди (1) сод! дг гдг 2 2 ' ' 2 Решение. Переходя к сопровождающей системе координат т = = г+(г-г )/с, г = )гг и пренебрегая малыми членамн поряд- О О' 1 ка (а, получим 2 с ди д и !ди со Отношение третьего члена к первому в уравнении (2) есть величина порядка с /(гыо) Л/г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
