Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Действительно, в интервале между «„и «ьм парабола а касается (15О(1) практически в одной и той же точке т1„, а это и означает, что поле и(т х) в интервалах между разрывами имеет универсальную структуру: и(-,х) = (т)а-т)/(Р~), (1) Положение разрыва определяется из условия двойного касания а и Р5О, и для координаты разрыва имеем выражение т1,ит1, 1 5(11,)-5(з), 1) «, = +-"-'-Р ь и-1 причем "скорость" движения разрыва постоянна: («, 5(т1,)-5(з)„1) д (з) Ь Х т1д-З)ь 1 Таким образом, профиль поля и(т,х) на этой стадии представляет совокупность наклонных линий с одинаковыми наклонами — 1/(Рх), выходящих из "нулей" т = ц . эти линии соединены ь вертикальными линиями — разрывами, имеющими координаты Ф' Расстояние между отдельными соседними разрывамн Ь„= «„,-«„ может как возрастать, так и уменьшаться.
Если Ь уменьшается, то разрывы сливаются и превращаются в один с амплитудой, равной сумме амплитуд слившихся разрывов. 5.5.19. Предполагая, что случайное поле и(т,х) характеризуется единствепным масштабом т(х), оценить рост этого масштаба из-за слияния разрывов, Решение. Лрн случайных возмущениях и (т) скорости разры- вов также случайны. Вследствие этого будут происходить стал- кивание и слнпание разрывов, приводящие к увелнченню харак- терного временного масштаба поля т(х).
Оценку роста т(х) можно получить, написав уравнение для средней частоты следо- вания разрывов в единицу времени л(х): л(х) = 1/т(х). Умень- шение л(х) за счет столкновений пропорционально числу разры- вов л(х) н отношению характерной "скорости" сближения разры- вов ЬУ = У -У к характерному расстоянию между ннмн т = 1/л: ы ь ~-„"- = — лЯ = — и~аУ. (1) В качестве оценки "скорости" сближения разрывов можно счи- тать, что ЬУ порядка характерного разброса скорости разрыва <У >. Используя выражение для "скорости" разрыва (см. 2 (18.3)), для <оУ > получаем оценку 2 2 2 Я 82 йУ~ = У~ = 2 5~(~ т) — 5~(т))) 2 (2) или, если задана В„(т) = <ио(т)>т) ио(П)> (В,(0) = о~~-корре- ляционная функция входного сигнала), то Гло' т, 0 н О, <ЬУ > = В л ~(1-т1л) В (т)) йтт = (3) здесь 0 )"В (тт) <(т) — спектр начального возмущения на нулевой 0 частоте.
(При 0 а 0 исходное время корреляцнн т определяет- ся нз 0 = фо, при 0 0-из Хт) Во(т)) <20 = — отт,.) Под- ставляя (3) в (1), для роста внешнего масштаба получаем: т (х/х ), 0 а О, т(х)м о Р (4) (/ )~~, 0= О, х = т /Ва — характерная длина проявления нелинейных эффектов. р 5.8.20. Предполагая, что статистические характеристики интенсивного шума автомодельные, найти спектр мощностн вол- ны. Оценить энергию поля на стадии развитых разрывов.
Ответ. 5(щх) = (т (х)/9 х 1'5(ы,т), где 5-универсальная 3 2 2 безразмерная функция; 2 2 л (ух (х/х), 0 = О. Таким образом, нз-за слияния разрывов энергия шума спада- ет медленнее, чем для гармонического входного сигнала, для 2 -2 которого <и > х 6. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 6.1. Волны в неограниченных твердых телах (2) (4) 6.1.1. Исходя нз общих динамических уравнений теории упругости, вывести уравнение Ламе, описывающее поле вектора смещений в нзотропном твердом тела Решение. Воспользуемся уравнением движения р д и/д! = дТ,,/дх, = Рг, (1) представляющим собой второй закоь Ньютона для элемента упру. гой деформируемой среды.
Здесь и.— вектор смещений частиц, Т..— тензор напряжений, дивергенция которого определяет !! объемную силу Р . Для жидких сред, которые не испытывают упругой реакции на деформацию:двига, Т.. = — Рд, где р— !! !! ' акустическое давление. По дважды повторяющимся индексам (индекс ! в уравнении (1)) подразумевается суммирование. Тензор напряжений связан с тензором деформаций 5 урав 6 пением состояния, которое для налых деформаций (лйнейное приближение) имеет вид закона Гука Тг= с,5 Здесь с.. -упругие модули, образующие тензор четвертого бы ранга, а теизор деформаций связан с компонентами вектора смещений формулой (3) ! ! Для нзотропной среды где д .-символ Кронекера, А и )г-постоянные Ламе, и закон 6 Гука (2) принимает вид Т л5„6..
+ 2д 5.. (6) Подставляя (3), (6) в (1), получим искомое уравнение Ламе: рд и/д( (й+)г)д и /дх,дкх+)гд и/дх~~. 176 Оно может быть записано также в векторной фо(ме: р д и /дС = (Л~-Я дгаб йт и + )л Ьи. (7) (3) (6) 177 6.1.2. Показать, что решение уравнения Лале, описывающее движение частиц изотропной упругой среды, млжно представить как сумму решений двух волновых уравнений, содержащих разные скорости распространения волн. Решение. Исходя из того, что любые векто(ные поля можно представить в виде суммы их потенциальной н вихревой частей и такое представление единственно, запишем смецение в виде и = и ли, (1) где и, и и, таковы, что бсгх и = О, го1 и, = О, т.е.
и, и и представнмы в виде: и = го1 ус, и ига!( у. Функции ср и 'яг называют скалярным н векторным потенциал!ми. Подстановка (1) в уравнение Ламе дает рд и,/д! ярд и,/дС = (яЬ(и!+и,)+(лл-)я) пса! йти . (2) Применяя к уравнению (2) операцию йст и учнтивая соотношение бсгя и = О, получаем йст(рд и,/д! -(Лл.2(л) Ьи) = О. С другой стороны, поскольку го( и = О, можно и!писать го1 (рд и/д(З вЂ” (Ь.2)с) Ьи,1 = О. (4) Уравнения (3), (4) выполняются вместе лишь прн условии, что входящее в них векторное выражение в квадратьых скобках тождественно равно нулю; р д и/дг — (й+2р) Ьи = О.
(б) Применяя далее к уравнению (2) операцию го( с учетом соотно. щения го1 и = О, получаем ! го( (р д и,/дС вЂ” Сц Ьис) = О. Из соотношения йти = О также следует, что с б)тверд' /д(я-рйи,) = О. (7) В итоге для и из (6) и (7) получаем волновое урзвнение р д и,/дС вЂ” рЬи, = О. (8) Из (1) видно, что скорость распространения потенциальных возмуцений с определяется выражением с~ !а+2(л)/р. Вихре- вые возмущения, как следует из (8), распространяются с меньшей скоростью с, (с, = р/р) поскольку для твердых сред ?1 ь О.
2 6.1.3. Найти поляризацию плоских объемных гармонических волн в нзотропной твердой среде, движение частиц которой описывается векторным уравнением Ламе. Решение. В предыдущей задаче было показано, что решение уравнения Ламе можно представить в виде суммы решений н и и двух волновых уравнений, причем (1) (2) го( и О, б(ти = О. Е решение волнового уравнения для плоских гармонических воли имеет вид н н ехр((йг), (3) где к-волновой вектор, г — радиус-вектор, и †амплиту смея шеиий в волне.
Подставляя (3) в (1), получаем (й, н11 = О, (4) т.е, плоские объемные упругие волны, распространяющиеся со скоростью с, = [(?1+2р)/р1 н представляющие собой волны 1Х2 сжатия и растяжения, поляризованы параллельно волновому вектору. Поэтому эти волны называют обычно продольными. Подстановка (3) в (2) дает 178 (й,н) О, (6) т.е, волны, распространяющиеся со скоростью с, = (р/р) и 1/2 представляющие собою волны сдвига, поляризованы перпендикулярно волновому вектору.
Поэтому их называют поперечными. 6.1.4. В приведенной на с. 179 таблице содержатся примерные значения упругих модулей н плотностей некоторых изотропных твердых тел. В каких из данных материалов скорости продольных и поперечных объемных волн максимальны, минимальны и равны средним значениям? Имеются ли среди включенных в таблицу материалов такие, для которых скорость продольных волн в одном из материалов приблизительно равна скорости сдвиговых волн в другом? 6.1.5.
Из динамических уравнений теории упругости вывести закон сохранения энергии в дифференциальной форме и определить выражение для плотностей кинетической и потенциальной энергий и потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга). К заааче 6,1.4 Л, 10 Нтм /З, ! 0 Нтм Р, 10 . гм з з Материал Поликрысталлыеаские ивталльс Алкзмииий Железо (сталь) Латунь Серебро Свинец Золото 8 3,2 2,7 0,55 2,8 4 1,4 6,1 11 8,5 8,5 з,з 15 2,7 7,7 8,5 10,5 11,4 19,7 0.9 1,15 5 5,6 Лел Плексиглвз (оргстекло) Стекло силикатное (плавленый кварп) Известняк Базальт 2,2 2,7 2,72 1,8 4,6 4,2 3,1 2,?6 2,68 (3) можно преобразовать к виду ди дТ,. д ад и. дд/ (4) С учетом закона Гука: дд,.
Т, рты нс. Р.5„,. Подстановка формул (4), (5) в (2) приводит к искомому закону сохранения энергии в дифференциальной форме: д ВТ((Р +(в' ) т)(~ Р = О, (6) где (й'„= (р/2)(ди/д/) и (ьт, (1/2)с.ер„д — плотности кинетической и потенциальной энергий, Р = - (ди/д/)Т..— I - // плотность потока энергии (вехтор Умова-Пойнтннга). 6.1.6. В образце иэ плавленого кварца распространяется объемная продольная волна с частотой / = 30 МГц н амплитудой (6) Решение. Умножив уравнение движения р д и./д/ = дТ /дк. (1) на колебательную скорость ди./д/, получим ! т й(Ф)'] - ~Рл-, (2) Напомним, что по дважды повторяющимся индексам производится суммирование.
Правую часть уравнения (2), используя связь деформаций и смещений деформаций порядка 10 э. Рассчитать скорость распространения, длину волнь, амплитуду смещения, амплитуду колебательной скорости и интенсивность. Решение. Ско)ость продольной волны в нзотропном твердом теле равна с = 1(А+2и)/р1 (1) Длина волны Л связана с периодом н частотой колебаний (Т н )) соотношениями Л- от= с/). (2) где ы — частота колебаний источника.
Ищем решение уравнения (1) методом преоб(азовання Фурье, полагая м и н = —, )Ъ(к) е~'бй, (2н)" В(г) - 13~ей'аИ (2п) (2) ! Деформация в плоской продольной волне выражается через сме- щение по формуле В = Вх - ~,. =; —,—, Ви 2пи (3) откуда для амплитудных значений смещения н колебательной скорости находим )и) = (Л/2и))5), (4) ф = ы)и) 2и)(и( с,(Я(. (5) Интенсивность волны равна средней по времени энергии, пере- носимой волной е единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению ее распространения, т.е.
в изотропном случае это модуль среднего по времени вектора Умова — Пойнтинга Р. В рассматриваемой задаче интенсивность 2(Л+2)х) (8! ~ф. (6) Коэффициент 1/2 в (6) обусловлен усреднением вектора по вре- мени. Используя данные таблицы к задаче 6.1.4, по формулам (1), (2), (4)-Чб) находим с= 6,03 10 и 'с, Л = 0,2 мм, /и) = 3 1О м, (ди/дг( = 6.10 мlс, ( = 2 4 10 Вт/см . 6.1.7. Для точечного гармонического во времени силового источника 1 В(г), действующего в неограниченном однородном изотропном твердом теле, найти тензорную функцию Грина 0.1г,м), связывающую поле смещений с возбуждающей силой: й и. 6..1.. г 0 Решение.
Уравнение Ламе в рассматриваемой задаче: РЛн е (Л~(л) пгаб Йч н+ рэл н = — 1 В(г), (1) )гг = «х+ «и+ «х. Подставляя х у" г' 13 поля смещений получим алгебра- Здесь дй = ((«г(«д«, .( у (2) в (1), для фурье-образа ическую систему уравнений — р« 13 †(Л.и) 2 к(й(3) э ро (3 = — 1. (3) Теперь нужно подставить скалярное произведение (4) во второй член левой части уравнения (3) Разрешив полученное уравне- ние относительно 13, найдем (5) Р«2-рой [р«2 рыИ1((Л 2(х)«Ь ры 1 С помощью простых алгебраических преобразований удобно при- вести (5) к виду рм2(3 - 1«+(1«) й)~ —— 2 1 г 1 1 ~ «2 «2 («2 «2 «2 «2 Далее необходимо совершить преобразование Фурье по формуле (2), где фурье-образ дается формулой (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
