Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(б) Несложно убедиться, что решение задачи 6.3,! удовлетворяет условиям (6), (6). Для симметричных волн 50-поляризации, распространяющихся вдоль оси х, условие (5) сводится к виду Т = О, совпадаю- кг щему с граничным условием для свободной поверхности. Следовательно, решение для симметричных волн 50-поляризации в слое толщиной Ь, окруженном с обеих сторон одинаковыми средами (так называемых каналовых волн Лява), совпадает с решением для волн Лява, полученным в предыдущей задаче, в слое с толщиной, равной не л, а Ь/2.
6.3.4. Плоскопараллельный слой находится между двумя разными полупространствами. Используя лучевой метод, рассчитать коэффициенты отражения и прохождения плоских гармонических 50-волн, падающих наклонно на слой, выразив их через коэффициенты отражения и прохождения на границе двух полу- пространств. Из условия обращения коэффициентов для слоя в бесконечность получить днсперсионное уравнение для каналовых волн Лава. Рассмотреть г частные случаи, когда одна из окружающих слой сред отсутствует (поверхность слоя свободна) и а когда окружающие слой среды одинаковы.
Решение. Лучевая картина отражения и прохож- -в дения плоских волн через слой изображена на рисунке. Эта картина относится к случаю, когда в процес- се отражения волн отсут- К зехече 6.3.4 ствует их трансформация в волны других типов. Отраженная и прошедшая через слой волны формируются в результате многократных переотражений падающего луча. Коэффициенты отражения )7 и прохождения Т для слоя рассчитываются путем суммирования образующихся при переотра- женин лучей. Будем использовать обозначения ! — среда, из которой падает волна; 2 — слой; 3 — среда, в которую волна проходит. В соответствии с этими обозначениями под г, (ь булем лодж' м разумевать коэффициенты отражения и прохождения при падении волны из полубесконечной среды 4 иа полубесконечную среду Ь.
Рассмотрим случай нормального паления Коэффициенты )3 и Т на основе изложенных соображений могут быть представлены в виде бесконечных рядов 24(р 2 4 «р 3 2 в(р )3 = г12 + 112121г23 е ° 112121гззг21 е 112121гззг21 е «р 31(Э г 2 3(Р„ 12 23 12 23 23 21 12 23 23 21 Эти ряды образуют геометрическую прогрессию со знаменателем г г ехр(21р). Здесь р = Ь Ь, гле Ь вЂ” волновое число в слое толщиной Ь. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем г12~(112121 г12'21) гззехр(2(М) — 23г2,ехр !Ф (1) 112123е "Р('Р) Т = гя7, 7й«тЖ~ При переходе к случаю наклонного падения возникают следующие изменения.
Во-первых, коэффициенты г и г становятсн функциями углов падения. Во-вторых, изменяется длина пути, проходимого лучами в слое, В-третьих, происходит расщепление лучей, связанное с нх смещением вдоль слоя в процессе отражения, в результате чего пути, проходимые различными лучами от слоя к приемному преобразователю, не равны между собой (приемный преобразователь должен располагаться параллельно фазовому фронту отраженной или прошедшей волн, т е перпендикулярно лучам). Из рисунка легко видеть, что разность фаз для соседних лучей из-за различия их путей в пластине составляет Ьу = 2Ь Ь/созО, а нз-за различия путей в среде 1— 2 2 2' Ьр = 2Ь Ь 1яО з(п61 Результирующая разность фаз с учетом Ь 3!пО, = Ь 3!пО равна Л(р — Ьр = 2Ь Ьсоз62 Такой же результат получаем и для прошедших волн В итоге оказывается, что формулы (1), (2) применимы и для наклонного падения, если в них считать, что р = Ь Ь, гле Ь = Ь созΠ†проек- 24 ' 2х ция волнового вектора на ось г, а под г и 1 подразумевать коэффициенты, относящиеся к наклонному падению под углами, определяемыми соотношениями Ь з(п61 = Ь 3!пО = Ь з(пО Из условия отсутствия падающей волны при наличии отраженной и прошедшей Я Т м.
Отсюда находим дисперснонное 198 уравнение для волн, распространяющихся вдоль слоя: 1 — гэ г91 ехр(2ир) = О. (3) Такое же уравнение можно получить и при непосредственном рассмотрении волиоводного распространения в слое. Подстановка в (3) коэффициентов отражения, рассчитанных в задаче 6.2.12, позволяет найти дисперсионное уравнение для каналовых волн Лава в виде 2з/29'х1/хт "~ Р = т-тг-,72-,).2-,У~; (4) где 1э = (ый/с,) 1-с /с, 2 = рьсь 1-с„/с, с — скорость каналовых воли, с — скорость объемных сдвиговых волн в среде Ь с номером й. Для того чтобы волны были локализованы в слое, необходимо, чтобы скорость с была меньше с и с, В этом случае импедансы Я н Я являются чисто мнимыми.
При Е = 0 из (4) следует дисперсионное уравнение для волн Лява: (др = г,/г, (5) Это уравнение совпадает с (2 4) В случае, когда окружающие слой среды 1 и 3 одинаковы, т е 2 = 2, нз (4) получаем 2 2,/29 (6) Из (6) можно вывести уравнение, подобное (5), с единственным отличием — заменой в (5) (э на р/2. Это согласуется с выводамн, приведенными в решении задачи 6.3.3. 6.3.5.
Гармонические волны 5гг'-поляризации распространяются вдоль границ бесконечной периодической слоистой структуры, состоящей из двух чередующихся плоскопараллельных слоев, толщина и параметры одного из которых а, р, )т, а а' а' другого — Ь, р, )г Вывести дисперсионное уравнение и оп- Ь' Ь ределить структуру поля смешений для этих волн Найти низкочастотную асимптотику решения дисперсионного уравнения. Решение Геометрия задачи изображена на рисунке Вследствие периодичности структуры решение можно найти, рассматривая акустические поля лишь в двух соседних слоях Плоскости, проходящие через середины слоев, являются плоскостями симметрии слоистой структуры Поэтому решение волнового уравнения для сдвиговых волн в каждом из слоев целесообразно разделить на симметричную и антисимметричную части относительно 199 средних плоскостей слоев г - о/2 н г -Ь/2; и = А соз [а(г-а/2)] е К задаче 63.5 сдвиговых волн в слоях а и Ь.
Граничными условиями является непрерывность смещения и нормальной компоненты тензора упругих напряжений на границе соседних слоев ди диь и = и, ц  — ~=)гьд- — при а=О. (2) Из условия периодичности также следует, что поля в слое а на границе г = о необходимо сшить с полями в слое Ь на границе г = — Ь. Отсюда имеем ди диь .( = ) = «,( =-Ь), ц.дг"~ = цьду'-~ (3) за з Ь Подстановка выражений (1) в условия (2), (3) приводит к системе уравнений. А соз 2 в — В ы'п и†= С соз и†+ Р яп В-, аа аа ЯЬ .
ВЬ (4) )з а [А яп 2~ + В соз 2--] = )г Р [-С яп 2 — + 0 соз ~-), А соз 2 — - В яп 2 — = С соз й — — 0 я п ь —, ао аа ЙЬ . ЯЬ (ц а 1-А я и 2ао + В сов 2~ о~ = )х (3 [С я и ~ — + 0 соз ~ — ~. (е) и = Ссоз[В(г+Ь/2)]+ Общий множитель ехр(ййх-(ы() Вг= йг йз й и а ' Ь ' а В яп [а(г-и/2)], (1) 1) я'п [В(гч-Ь/2)]. для краткости опущен, а з Ь вЂ” волновые числа объемных Ь Складывая (4) и (6) и вычитая (5) и (7), получаем уравнения, в которые коэффициенты В и 0 ие входят: Асо52 — СсозВ- = О, аа ИЬ (8) А(з аз(п 2-и э С(з„Вз(п ~- = О. (9) Равенство нулю детерминанта этой системы дает днсперсионное уравнение вида (з В 7'(В5Ж аа 6 "ь (з а' (10) Коэффициенты В и В в этом случае равны нулю, т.е, решение, определяемое (8)-(10), соответствует волнам, поле смещений которых симметрично относительно средних плоскостей слоев.
Если, наоборот, вычесть (4) и (6) и сложить (5) и (7), то получим уравнения, в которые входят коэффициенты В и 0: В з)п 2 — + В з(п ~ — = О, аа . ЯЬ (11) В )г к соз 2- — В (з В соз й — - О. па ЙЬ (12) Йисперсионное уравнение, соответствующее системе уравнений (11), (12), имеет вид 16(ппд) и а (8(6572) (зьВ ' (13) В данном случае, как следует из (4)-(7), равны нулю коэффи.
циенты А и В, т.е. уравнениям (11)-(13) соответствуют анти- симметричные волны. В низкочастотном пределе, заменяя тангенсы их аргументами, из дисперсионного уравнения (10) для симметричных волн получаем асимптотическое значение нх скорости с: )з пэдьЬ (14) р и'Рь Аналогичное разложение в уравнении (13) показывает, что для антиснмметричных волн решение в низкочастотном пределе отсутствует, т е. для низшей моды антисимметричных воли имеется отсечка по частоте. Наличие свойств симметрии и антисимметрни у решения, описывающего распространение волн в слоистых структурах, позволяет также решать такие задачи раздельно для симметричных и аитисимметричных волн, используя постановку граничных условий в плоскостях симметрии структуры (см.
задачу 6.3.3). 6.3.6. Вывести дисперсионное уравнение и рассчитать структуру полей для гармонических аитисимметрнчных воли Лэм- 201 ба (волн, поляризованных в сагиттальиой плоскости), распространяющихся в плоскопараллельной неограниченной пластине со свободными поверхностями. Использовать условия, которым удовлетворяют антисимметричиые волны в средней плоскости пластины. Решение. В соответствии с решением задачи 6.3.3 в средней плоскости пластины г = 0 и и =Т 0 при а=О. (1) г у гг Использование условий (1) позволяет ограничиться постановкой граничных условий лишь иа одной поверхности Т Т = Т = О при х = и, ° (2) гг уг гг где г( — полутолшина пластины.
Плоские волны, поляризованные в сагиттальной плоскости и распространяющиеся вдоль оси х, с компонентами и н Т не связаны, и поэтому использование уг условий (1), (2) для этих компонент не требуется. условия (1), (2» для остальных компонент с помощью закона Гука ,ди ди ди ди Т =- Рф-" д-„-'~, Т„= (Х.2Я В-,-'-. й В-„-" (3) сводятся к виду, куда входят только смешения. Решение для поля смещений воли Лэмба подобно соответствующему решению (2.1.7) для волн Рэлея, ио помимо убывающих при удалении от поверхности слагаемых включает также и нарастающие А едге В егг+ С е-Ч~~- гг е (4) и А М(-д) еег+ В М(-э) е'*+ С М(д) е е~+ () М(з) е ", го где М(+д) = й и)/й, М(йз) = + й/г, н = и ехр(йх-(ы)).
Подставляя (4) в (1), получаем А е В г С+ )7 = О, (1+э /й НА+С) + 2(В+О) = О. (6) Отсюда следует, что А+ С В ~ В = О. Выражения для компонент смещений в эхом случае принимают вид и = 2А зп(дг) + 2В зп(зг), и, - -2с'Я си(рх) е В- сй(гг)1 (6) й Подстановка выражений (3), (6) в граничные условия (2) приводит к системе уравнений: А 2д ей(дд)+Вз(1+й /з ) сй(Ы) О, А (1эгз/йз) зй(дд) + В' 2 зй(М) О, (7) (9) Последующее использование граничных условий (6.2) дает А 24 зп(дп)+ Вэ(1~л /э ) зй(Ы) = О, э 2 (4) А (1+э /й ) сп(зН) - В 2 сп(э~() = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
