Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Компоненты смещений согласно форму- лам (4) и (11) выражаются через и и Йл 1 де 2 д(гым) 1 де 2 д"Й и =- — д — + — -д —, и = — — д — — — Й 22 г 22 дг ' г 22 г 22 х (15) с Подставляя сюда выражения (7), (14) и используя для преобра- зований взаимосвязи, существующие между функциями Бесселя нулевого и первого порядков, сУ (г) »гг (2) У (е) а " '(1( )' Ъ = )0(х) г (16) получаем и = — — АХ (йг)+ Ву (Вг), »'я 28 О й2 0 й2 0 с Из граничных условий и выражений (16), (17) следует, что Ай, ~йа! (аа)) + Вй ')(й -В2) У (Ва)) = О, (19) Айг~(Р й ) 70(аа) а 71(аа)) + Вй~ '( 4(ййуо(Ва)+ а 71(6а)) - О.
(20) Для существования нетривиального решения этой системы уравнений ее определитель должен быть равен нулю. Отсюда находим искомое дисперсиоиное уравнение 7,(аа) г/0(В~) йэ, 2 йэ 2 2 (21) о 1 20 Ва 4й аВ Выражения (17) для поперечной структуры поля смещений с помощью уравнения (19) преобразуются к виду (70(аг) 2ая 70(Вг)) (а р)1(аг) 2й2 71(Вг)) (22) имеющему сходство с соответствующими формулами для волн Рэлея (см. (2.1.14)) и для волн Лэмба (см. (6.9) и (7.6)). В уравнениях (22) А — амплитудная постоянная. Дисперсионное 0 уравнение (2.1) принято называть уравнением Похгаммера — Кри. Иногда тая называют и сами эти волны. 6.3.11.
Исследовать поведение решения (10.21), (10.22) для аксиально-радиальных волн в круглом стержне при частоте звука, стремящейся к нулю. Решение. Для функции Бесселя с малым аргументом положим 7 = ( ) 1, 7(~)я~/2. (1) В этом приближении левая часть дисперсиоиного уравнения принимает вид а (Зй -В )/(4й В), и квадрат скорости волны стремится к значению (2) Комбинация упругих модулей в выражении (2) представляет собой модуль Юнга Е, т.е, с„= Е/р.
Напомним, что модулем Юнга 2 называют отношение единственной отличной от нуля компоненты упругих напряжений Т к деформации 3 при статическом расгг гг тяжении стержня. Компоненты смещения, как следует нз (9.22), в низкочастотной области ведут себя так: и стремится к постоянному (по сечению стержня) значению, а и /и -э О.
Поэтому рассмотренный тип волны называют продольной стержневой модой. 209 6.3.12. Как соотносятся скорости объемной продольной вол- ны н продольной волны в тонкой пластине, а также скорость продольной волны в тонком стержне со скоростью объемной сдвиговой волны, если материалом для всех этих случаев слу- жит сталь (и = 0,28), Решение. Используя для коэффициента Пуассона выражение (2.3.3), скорости объемной продольной волны сс продольной волны в тонкой пластине с н скорости продольной волны в а тонком стержне с„можно выразить через скорость объемной сдвиговой волны с, и ьч 2 с! 211 п1 с 2 с (1) Отсюда для и - 0,28 находим с = 1,81с, с = 1,67с, р ' !' с = 1,25с . Из (1) легко видеть, что скорости всех трех продольных волн при любых значениях коэффициента Пуассона превышают скорость поперечной объемной волны.
Скорости с, с, с образуют убывающий ряд, что согласуется с качествеи- с' иым соображением о том, что введение границы уменьшает связи элемента среды, расположенного вблизи свободной поверхности, в сравнении с элементом, расположенным в объеме среды, за счет чего эффективная жесткость и скорость уменьшаются. 6.4. Кристаллоакустика и акустоэлектроника 6.4.1. Найти общее решение динамических уравнений теории упругости, описывающее распространение плоских однородных объемных акустических воли в безграничных монокристаллах.
Решение, Исходными уравнениями для этой задачи являются уравнение движения н закон Гука для анизотропных сред: рд и/д! дТ. /дх., Т. = с. 5 (1) Поиск решения уравнений (1) в виде плоских однородных гармонических объемных волн и = и ехр(!ах-!ы!) (2) (где а, †проекц волнового вектора А = ы/с на оси декартовой системы координат х, й = йп, и — направляющие коси! !' ! нусы углов между волновым вектором н осями системы координат) приводит уравнения (1) к виду (Г, — рс 6, ) и О. (3) 210 где Г.
с,.ы и. п1 . ТеизоР Г» пРинЯто называть теизоРом м Кристоффеля, а уравнение (3) — уравнением Кристоффеля. ,Теизор Кристоффеля определяется теизором упругих модулей с,, в который для кристаллов входит не более 21 независимого модуля. Это следует из симметрии тензоров Т. и 5 6 О относительно перестановки индексов. С учетом данной симметрии удобно использовать сокращенную форму записи индексов в соответствии с правилом 11 -ь 1, 22 -+ 2, 33 + 3, 32 .ь 4, 31 .+ 6, 21 и 6.
(4) В такой форме записи закон Гука принимает вид Тг = с 5 , где 7, Х = 1+6, или 12 13 14 22 23 24 33 34 44 15 16 25 26 35 36 45 46 55 56 66 (6) прн условии, что 51 = 5 для ( = / и 5 = 25 для (а). о Матрица упругих модулей с симметрична относительно диагонали с, Поэтому дли наглядности элементы матрицы ниже диагонали в (6) отмечены просто тачками. Тензор Кристоффеля Г,„, как и тензоры Т. н 5, симметричен относительно перестановки индексов н может записываться с использованием сокращений (4).
При такой форме записи уравнение Кристоффеля имеет вид г -х 5 4 4 3 "10 20 30 -О, Хмрз, (6) а компоненты тензора Кристоффеля, как несложно показать с помощью уравнения (6), связаны с направляющими косинусами и соотношением я "з Й2 Пз 1 3 п1л2 2 с16 2с26 2 с 45 46 25 56 14 бб 12 211 Г, 3 Г 5 Г, Т1 3 тб 11 бб 55 56 15 16 с с с с 44 33 С24 С34 46 35 26 45 56 2с24 2сз4 44 23 45 36 46 25 2 с15 2с46 '2сзб 45 36 55 13 56 14 51 5 53 4 5 6 Для существования нетривиального решения системы однородных уравнений (6) ее детерминант должен равняться нулю.
Это равенство и является днсперсионным уравнением задачи. Вычисления детерминанта приводят к бикубическому уравнению для нахождения фазовой скорости объемных волн с (с = тХ/р ): Х вЂ” (Г1~Г +Гз) Х + (Г1Г Г Гз'Г Г -Г -Г -Г~) Х— — (Г Г Г +2Г Г Г -Г Г -Г Г -Г Г ) — О. (8) Здесь Х можно рассматривать как эффективный упругий модуль анизотропной среды в заданном направлении. Решение уравнения (8) можно получить в тригонометрической форме. Из этого уравнения следует, что в кристаллах могут распространяться три объемные волны с одинаковым направлением волнового вектора, но разными фазовыми скоростями.
Поляризация этих волн определяется нз уравнений (6) н в общем случае не является нн продольной, нн поперечной. Совершая в уравнении (3) предельный переход к изотропной среде, несложно показать, что скорость одной из волн совпадает со скоростью продольной волны, а двух других — со скоростью поперечной. Соответствуюшим образом, как следует из уравнения (6), ведут себя и поляризации.
Поэтому "быструю" волну в кристаллах (имеющую максимальную фазовую скорость) принято называть квазипродольной, а две другие волны — квазнпоперечными. Скорость н поляризация объемных волн в кристаллах согласно (3) н (6) от частоты не зависят, поэтому приведенное решение применимо и для негармонических воли.
6.4.2. Доказать, что объемные акустические волны, распространяющиеся в кристалле в одном и том же направлении с разными скоростямн, имеют взаимно ортогональные поляризации. Решение. Уравнение Кристоффеля для двух волн с разнымн скоростями, описываемыми решением этого уравнения, можно записать в виде Г„и1 = Х1и1, (1) 11) (21 (21 Г.хи,п = Х иьо. Индексы 1 и 2 здесь используются для того, чтобы различать между собой решения, относящиеся к разным волнам.
Умножая уравнение (1) на им, а уравнение (2) на и„п, имеем 12) (1> (Х1 Х2) по ь~ И(0) О' 11) (2) (3) 212 0 с„ 0 сгб Зб с45 0 с 0 с Ц 12 13 С22 С23 О ЗЗ 44 (2) Для воли, распространяющихся в плоскости симметрии, п = О, з а л = совр, и = 5!и!р (4! — угол между волновым вектором и 1 ' 2 осью х). Отличные от нуля компоненты тензора Кристоффеля: Г1 = с1 со5 р ° 2с!бсо5 Т5!п р+сбб5!п Ф 2 2 Г = с со54!+2с соз!р5!пц!+с 5!п4!, 2 2 Гз = сббсоз !р+2с4бсо5!Рз!и 41+ с4 5!и Р, 2 2 44 Г = с соз 4!+ (с 2 + с б)со54! 5!и!р + с2 5!и 4! ПосколькУ Х( и Х, то и ь иоь = О, т.е.
смешениЯ длЯ волн (1) (2) с разными скоростями ортогональны. Лля трех таких объемных волн, в общем случае существующих в заданном направлении в кристалле, векторы поляризаций образуют ортогональный базис, повернутый произвольным образом (поворот зависит от упругих модулей) относительно волнового вектора. 6.4.3. Какие упругие модули кристалла равны нулю, если плоскость г = сопз( является плоскостью симметрии.
Рассчитать анизотропию скорости объемных волн, распространяющихся в этой плоскости. Решение. Наличие плоскости симметрии в кристалле, нормаль к которой совпадает с осью г, означает, что при инверсии оси г матрица упругих модулей своего вида не меняет. С другой стороны, используя формулу преобразования упругих модулей при повороте н инверсии осей координат х с~. =а,а.а а с (1) (!Ъ! !р )д 4! !з рч!г ' где а..— матрица преобразования координат (х'. = а.. х.), а в !! Ц ! качестве а .
используя матрицу (3 3 2), соответствующую нн- Ц версии оси г, убеждаемся, что при таком преобразовании меняют знаки модули, содержащие индекс 3 нече~нос число раз. Это означает, что указанные модули в кристалле с плоскостью симметрии, ортогональной оси г, должны равняться нулю. Матрица модулей данного кристалла (если у него нет дополнительных элементов симметрии, его называют моноклинным) выглядит так: (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
