Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 40
Текст из файла (страница 40)
6(ь»' — ы") = 5(ы')д(га'-ы"). ,После интегрирования по ь»е получаем равенство (4). Обратное фурье-преобразование дает связь функции корреляции со спектром. В частности, мощность процесса равна К(0) = <и2> = ~5(м) ~йд. (е) Если <и> а О, вводят ковариационную функцию В флуктуационной компоненты В(1,1') = <(и(1)-<и>) (и(1')-<и>)> и для стационарных процессов В(т) = К(т) — <и> . Спектральную плотность 2 мощности флуктуацнонной компоненты описывают функцией и(ы) 5(ь») = и(ы)+ <и» д(ы), сигнале частоты ы: (3) Акустическое давление р н скорость частиц о в волне: (2) Г где р, с — плотность среды и скорость звука.
Рассматривая гармоническое возмущение е, из (1) и (2) можно найти КМ "коэффициенты" передачи К (йв), К ((ы): р ' о 'О ''('-'о) К (йз) - Я-))- = — ехр~-— К(гы) = и,„/о . (1) Найти связь спектров мощности сигналов и(г) и о(1) при стационарном входном сигнале. Какие характеристики системы можно получить, если использовать в качестве входного сигнала белый шум 5(ы) = 5 = сопз(? Рассмотреть случаи; а) ир = (().т,Щ), б) «2(() = (Г) — т,-"Я(~. Решение. Фурье-компоненты выходного сигнала и(1) и входного сигнала о(г) связаны соотношением С (ы) — К(ж)С (ы). (2) Используя (14.3), получаем 5„(ы) = )К( ю))~5„(ы).
Для белого шума спектр на выходе пропорционален квадрату модуля коэффициента передачи 5 (ы) = ) К(св) ( 5, т.е, при 2 измерении спектров мощности происходит потеря информации о фазовых характеристиках системы. В частности, для приведенных примеров спектр мощности в обоих случаях одинаков; 5 (ы) = (1 . ф2)5 (ы). ЧЛЛЧ. Сферический акустический источник излучает стационарный шум. На расстоянии г = г от излучателя спектраль- 0 ная плотность давления равна 5 (ы). Найти спектральную плотность давления 5 (щг) и скорости 5 (и;г) на расстоянии г от я 0 излучателя.
Можно ли по спектральной плотности определить расстояние от излучателя? Решение. Потенциал сферически расходящейся волны: й(йг) = )(Г-гГсо)Г' (1) ог 0 сО гм(г-го) К„(йз) ф~ = -т — — ~ [1+, ~ ехр[-— (3) Из соотношения (16.3) для спектральной плотности получаем 2 2 2 'о то г со з 5 (и,т) = — 5 (и), 5 (и,г) - )с1 + — 1 5 (и). Связь спектральных плотностей, скорости н давления имеет вид 5 ( ') 5 (и,г) = — [1 — 3 .
в ' („)2 „22 Таким образом, нз-за наличия эффекта ближнего поля (второе слагаемое в зависимости и(т) (см.(2)) имеется принципиальная возможность по абсолютным измерениям шума в одном сечении определить расстояние до источника. 7.1.18. Распространение акустической волны в среде со слабой дисперсией и затуханием описывается уравнением дп 1 дв д д — — = — ар — (г — к >  — к, г со Й д12 д(3 где с — скорость звука; а, )г — коэффициенты, характеризующие о частотнонезавнснмое и высокочастотное затухания;  — коэффи- циент, характеризующий дисперсию среды.
На входе при г = 0 задан стационарный шум со спектром 5 (и). Найти спектр поля 5 (и,г) в сечении г. Какие параметры среды можно определить, Р измеряя трансформацию спектра? Ответ. 5 (щг) = 5 (и) ехр (-2аг — 2ри г). Эволюция спектра 2 о мощности не зависит от фазовых соотношений, т.е, коэффициен- тов с, В. По эволюции спектра шума можно определить коэффи- циенты затухания а, ц. 7.1.19. Функция корреляции случайного стационарного про- цесса имеет внд )( (т) = а е ' + с . Определить среднее 2 -)т)Ь 2 значение процесса ев>, его дисперсию о2, время корреляции Найти спектральную плотность мощности 5(и). Ответ. <в> = + с; о~ = а; т = Ь; 5(и) = — — - с д(и). а Ь о н и2+Ь2 7.1.20. Найти корреляционную функцию В(т) н определить дисперсию о2 случайных процессов о((), имеющих следующие спектральные плотности: а) 5(и) = 0ехр(- и /2и ); б) 5(и) = о' = (Ри /и ) ехр(- и/2и„); в) 5(и) = Р сп (и/2и„); г) 5(и) = = (О о/(и "Ы.
Ответ. а) В(т) = /2йРио ехр(-т и~/2), о2 = В(0) = >?2йРи; о б) В(т) = >?2йРиои (1-т ио) ехр(- т и /2), о2 = е2йРиои,; в) В(т) = = 20иопсп (ти я), о2 = 2Рвоп; г) В(т) = шв Ре ( ) О, а = пи Р. о о 2ЗЕ 7.1.21. Смещение частиц в плоской волне представляет собой стационарный процесс х(1) с корреляционной функцией В (т) и спектром 5 (св). Найти корреляционную функцию, спектр к х мощности и дисперсию скорости частиц о(с) = х(г). Найти совместную корреляционную функцию смещения и скорости частиц. Ответ.
В (т) = — д В (т)/<(т, В (т) = <х(Г+т) о(1)> = = — <(В (т)/с(т = — В (т). В силу четности корреляционной < ех функции В (0) = О. Интегрируя (14.4) дважды по частям, по>в лучаем 5 (сз) = св 5 (св). Заметим, что последнее выражение <> к можно получить из (10.2), учитывая, что для операции дифференцирования ) К) ь> .
Дисперсия скорости: 2 <о~> = В (0) = — <1 В (0)/с(т~, <оэ> = )5 (св) <Ы = ~ы 5 (ы) сЬ. 7.1.22. В условиях предыдущей задачи рассмотреть случай, когда корреляционная функция смещения частиц равна В (т) = = отехр(-т /то Ответ. В (т) = — э [1 — э ) ехР[- — т1 >В (т) — эехр[- — э) 2сгэ 2т~ т~ 2т тэ 2 о~ свсгто "то о = —, 5(ы) = ехр»- — 4 — ). в тт и 2,/2Н о 7.1.23.
В условиях задачи 7.1.21 задан спектр мощности смещения 5 (ы), н его четные моменты равны х <ф В = )ьгт 5( )с(щ Найти дисперсию смещения х, скорости о = х, ускорения а = х и коэффициенты корреляции между этими переменными в совпадающие моменты времени. Рассчитать их для спектров вида: а) 5„(св) = (1/2)[о~ ~б(св-ыо) э о' д(ь»св )1 — квазимоиохроматнческий сигнал частоты св с нулевой шириной линии; при )сэ) сво н 5 (и) = 0 прн М "белый" шУм в полосе частот 10,сво1.
Ответ. сг~~ = ~хй = В, оэ = <а = В,, о~~ = <а > В~~, г = О, гха = <ха>/(сг сг ) = — В~/(ВОВ ); а) о~ ощ о~ = ызощ о~~ ф~, = — 1; б) о~» = ощ сг' = ы,"(Р/3, о' ы„о~/5, г„= -<ГВ /3 и -0,73. 7.1.24. Найти корреляционную функцию и спектральную плот- ность квазимонохроматического сигнала о(1) = »1 > о(1)) соз(ыо(<нро)' считая известными корреляционную функпию В (т) и спектр а 5 (ц) флуктуации амплитуды. Фаза у-случайная величина, рав- а номерно распределенная в интервале 2и, <о> = О. Ответ. В (т) = й [А - В (т)) соз(<а т), 4 [ ( О) + ( О) Иа( О) И ( О)) ' Спектр амплитудной модуляции переносится в область высоких частот.
7.1.25. Найти корреляционную функцию квазимоиохроматического сигнала (1) = А ~оз[ыг <р(1)+<р), (1) считая, что <р(1) -нормальный процесс со структурной функцией 0 (т) = <[<р(1>т) — <р(()) >. Фаза р, распределена в интервале 2п. 2 Ответ. В (т) = (1/2)АО соз (<лот) ехр [- 0 (т)/2) .
(2) 7.1.26. В условиях задачи 7.1.25 найти дискретную составляющую спектра для сигнала со стационарными флуктуациями фазы и исследовать интенсивность линии в зависимости от <т 2 = «р > — дисперсии флуктуации фазы, Зля <г « 1 найти спектр 2 2 р сигнала, считая известным спектр флуктуации фазы д (ы). Решение. Лля стационарных флуктуаций фазы справедливо равенство 0 (т) = <[<р(1-т) — <р(г)) > = 2 [о„— В (т)). Экспоненту в (25.2) удобно представить в виде . ехр[-0 (т)/2) = [ехр В (т) — 1) ехр(- <т2)а ехр(- <г2). (1) <а (з Ю <р ' Первое слагаемое прн т > а стремится к нулю и не содержит постоянной составляющей. Второе слагаемое соответствует дискретной составляющей спектра: д (<а).
Из (14.4), (25.2) имеем Ао" 0(т) д (<а) = 2н — 4- )ехр~- — к2 — ~ [ехр(((ы-ыо)т)+ ехр(1(ы+ыо)т)) <(т, (2) и, следовательно, й (<а) х' АО [ехр( <г2) [б(<а-<до) > б(и> ыо))~ ' Коэффициент ослабления дискретной линии равен У = ехр(- о' ). 2 2 'и ' При о' « 1, разлагая в (2) экспоненту в ряд, получаем ~ АО [(1 ор) [б(" ыо) + 5(ы>ыо)) ' к<р(<а <ао) + йр(<а>"О)) . (2) Таким образом, при <г < 1 спектры сигнала с амплитудными 2 (см.(22.2)) н фазовыми флуктуацнями одинаковы. 7.1.27.
Гидроакустический буй принимает монохроматический сигнал частотой 1 и постоянной амплитудой Ао от неподвижно- го излучателя. Каждая нз трек координат буя испытывает ста- ционарные гауссовы флуктуации с нулевым средним значением и с дисперсией о2 е Л, где 7.— расстояние между излучателем и 2 Г приемником. Считая известной корреляционную функцию флуктуа- ций каждой нз координат В (т) = <Г.(1>т) Г(1)>.
1' = 1, 2, 3, о2 = В(0), найти корреляционную функцию принимаемого сигнала. Используя ответ задачи 7.1.26, найти коэффициент ослабления интенсив- ности дискретной линии нз-за флуктуаций. Сделать оценки для гг = 1 м, скорости звука с = 1500 м/с н частот 1 = 100 Гц и Г О 7 = 1000 Гц. Считать, что сигнал попадает на приемник по прямому лучу. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
