Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Принимаемый сигнал можно записать в виде п(1) = А сов(ыг-М), (1) где й = ы/с = 2п(/с — волновое число, Я вЂ” расстояние между излучателем и приемником: 1) 2 3) Г 2 2 21/2 Таким образом, основной вклад в флуктуации фазы дают флукту- ации только одной нз координат †проекц на ось, соединяющую излучатель и приемник. Таким образом, для фазы и ее струк- турной функции имеем 2Г(1) = М м йй э й Г1(1), Ор(т) = й 0 (т), <з) где 0 (т) = Г(Г1(1+т) — Г,(1)) > — структурная функция флук- 2 туаций координаты.
Для "ограниченных" флуктуаций координаты 0„(т) = 2Ф (сг~- В (т)) (4) и из задач 7.1.25, 7.1.25 для корреляционной функции прини- маемого сигнала н коэффициента ослабления имеем В (т) = й А сох(иот) ехр (- й (о~ — В (т)1), 7т' = ехр(- й од) = ехр~-~- — () од~. (5) Таким образом, коэффициент ослабления определяется отношени- ем характерного смещения о' к длине волны л с /1.
Для двух Г 237 приведенных частот имеем соответственно У е ' -" 0,84 и -О,17 У=е 2410 7.1.28. Флуктуации частоты 11 = др/д( квазимонпхроматичес- кого сигнала (см. (25.1)) имеют дисперсию о() = <(Р> н время 2 корреляции В()(~) п511(0) т(1 - ~ — <(ч =, вуЕ) - <а((~Е) (2(г)>, п(1 = в()(0), 2 о() о'121 где В (Е) — корреляционная функция флуктуаций частоты, 5(1(0) х () х 0-спектр флуктуапий () на нулевой частоте. Считая, что спектр флуктуаций частоты одномасштабен, найти предельные выражения для спектра сигнала в случае "больших и медленных" флуктуаций частоты -о()т() ъ 1 (а) и "малых и быстрых" уходов 2 2 частоты — о т(1 к 1 (б). 2 2 Реп<ение, Из задачи 7.1.25 видно, что корреляционная функ- ция, а значит, н спектр сигнала (см.(26.2)) определяются по- ведением структурной функции фазы: ыт т т = в(1 т) - р(1) = ~)Ц1') дг', 0„(т) - т2> = фт-6) В„(6) ДЕ.
(2) а Для одномасштабной функции В()(Е) структурная функция фазы монотонно возрастает н имеет следующие асимптотики: <г()т, ) т) «т~, 2 2 00(т) = 1 0 = и5(~0) = од~тП . (3) с 20) т), ) т) ът(), Если 011(т()) = <г()т~ ъ 1, то в формуле (26,2) существенная 2 2 область интегрирования по т много меньше т(,, и структурную функцию 0 (т) можно аппроксимировать как 0()(т) = о()т .
Поэ- 2 2 тому для "больших и медленных" флуктуаций частоты из (26.2) получаем, что спектр имеет гауссову (доплеровскую) форму: АО ( ("-~а)' О) <(ч ~ р[- — )+ р(- )). э~ "() 2 "а Если Щт ) и о()т() << 1, то в (26.2) структурную функцию фазы 2 2 можно аппроксимировать как 0()(т) = 20)т), и, следовательно, для "малых и быстрых" флуктуаций частоты из (26.2) получаем спектр, имеющий лоренцеву (резонансную) форму: А (5) 7.1.29.
Моиохроматический сигнал принимается на дрейфую- щий гидроакустический буй (см. задачу 7,1.27). Каждая из 2ЗВ компонент скорости и = <(г/<(1 буя испытывает стационарные гауссовы флуктуации с нулевым средним, дисперсией о2 и временем корреляции т . Определить, какие параметры определяют форму спектра принимаемого сигнала. Для <г = 0,1 м/с, т о о = 10 с и частот 1 (см. задачу 7.1.27), найти спектр сигнала. Ответ. При л о"т ъ 1 (й и/с = 2я) /со) спектр сигнала описывается (28.4), где <т~) = й; при й о"т, << 1 — (28.5), 2 22. о й о где 1) = )< о'"то. Для частоты )9 = 100 Гц спектр сигнала описывается (28.5), где Г> = 1,8 10 с; для ! = 1000 Гц— (28.4), где о' = 4,2 10 с 1. 7.2.
Дифракция и излучение случайных полей 7.2.1. Плоская монохроматическая волна частоты ы падает на безграничный экран, расположенный в плоскости г = О. Экран хаотически модулирует волну, и за экраном случайное поле р (г ) = р(г, г=О) статистически однородно и характеризуется спектральной плотностью Р(г,) - 12ПГО(р,)ехр(-!ИА) (2Ф,. (1) (2п) Здесь Го(Их) (р (г + Рэ )ро(г )> — хорреляцнонная функция поля в плоскости г = О. Йайти корреляционную функцию поля р(г, х) за экраном, Найти условия, при которых поле будет статистически однородным. Решение. Представим поле в плоскости г 0 двумерным интегралом Фурье: ро(г ) = Цо(кк ) ехр(<И г ) <( г . (2) Для статистически однородных полей справедливо соотношение (о(к ) о'(И')> = Р(к) 8(к -И').
(3) В полупространстве г» 0 пространственная гармоника о(к ) к х ехр((к> г ) порождает плоскую волну о(кк ) ехр ((кч г >!кхг), где к гий -к~ — продольная компонента волнового вектора. Исгк !! пользуя представление поля р(гз,г) в виде интеграла Фурье, с учетом статистической однородности (3) для корреляционной функции имеем Г(рз,хг22) (р(г.(~ ' х1) р(г.'22)> .НО = ПР(ьз) ехр МЛ+ ((к)!21 к((х2)1 <( ЙА. (4) 239 (6) Д ля кй имеем в зависимости от соотношения между поперечным волновым вектором Кх н волновым числом й; кй 42- 2,,-й.
(5) 14й'-к',~, к,»А, На расстояниях, превышающих несколько длин волн, все нерас- пространяющиеся волны с к» й затухают, и, слеловательно, Гф„,рй) = Ц г(кк ) ехр(1кк Р --1кйр!!) !( кь . (к )«й Таким образом, прн г,г2 » Л = 2п/й поле становится статис- тически однородным не только в поперечной плоскости, но и в продольном направлении г. 7.2.2.
Корреляционная функция случайного поля ро(г ) не- посредственно за экраном имеет вид ГО(Р ) = опехр( РЬО). (1) Найти корреляционную функцию поля р(г,г) и оценить попереч- ный и пролольный масштабы корреляции в случае мелкомасштаб- ных (н(О << 1) и крупномасштабных (А!О» 1) флуктуаций .
Решение. Найдем вначале спектральную плотность поля ро(г ): ГЮ = 2 ПГОФ ехРФЛ !( Р ро ехр(-кх1О/2), (2) (2п) гле г" г(0) = о 1/2п. В зависимости от соотношения между 22 шириной спектра, равной ко = 1/1, и волновым числом й, ко- торое определяет распространяющиеся волны, лля мелкомасштаб- ных флуктуаций (е1 «1) имеем, что спектральная плотность г(к ) практически постоянна в круге )к ( «й. Из формулы (1.6) получаем на расстояниях, больших длины волны, Г(Д~,Р!) = г" Ц ехр ф «р »1к!р!!) ПИ~, !к !«а гле кй = (я -к ) . Для поперечной функции корреляции имеем 2 !Х2 211( йрх) Гх(РА) = Г(рх,0) = 2пЕО 1 1 (4) где е' -функция Бесселя первого поридка.
Радиус корреляции ! поля, определенный по нулю функций Бесселя, 1 и 0,6Л и зна- чительно больше радиуса корреляции 1 в плоскости г = О. О Продольный радиус корреляции 1!! также порядка длины волны Л. Для крупномасштабных флуктуаций (й1» 1) спектр г(к ) со- средоточен 'в узкой области кь 1/1 « а. Это позволяет за- 24О (7) менить в (1.6) пределы интегрирования на + и и использовать следующую аппроксимацию продольного волнового числа; к)1 = (22-к2) я й — к /22.
(5) В результате для корреляционной функции имеем +и Г(ф~,рй) е ЦР (к ) ехр((к ф„— гк рй/2й) х( И~, (6) — и Г,(Д,) = Го(Ф,), +и . 2 пер(1 !к 1>й Гй(рй) = е ПГо(кк ) ехр-ит -й Й„. (8) — и Из (7) следует очень важный факт, что поперечная корреляционная функция крупномасштабных флуктуаций сохраняется. Следовательно, сохраняется и поперечный радиус корреляции: 1 Из (8) видно, что продольная функция корреляции начио.
пает существенно уменьшаться, когда масштаб осцилляций экспоненты к (я/р(1) сравнивается с шириной спектра 1/! . 1/2 Отсюда следует, что продольный радиус корреляции порядка 11 ! й ъ1 и много больше поперечного радиуса корреляции. 2 Для продольной корреляционной функции с учетом (1) имеем из (8) Г,((р(1) — дахр( йр(1)/(1- р(1/й(о) 7.2.3. В условиях задачи 7.2.2 найти "интенсивность" поля > = <(р )~ = Г(0,0) на расстояниях, много больших длины волны. 2 ~оп~ оа(~~о) /2 "оо оо.
7.2.4. Скорость звука и плотность среды в верхнем полу- пространстве (г ~ О) равны соответственно с и р, в нижнем (з ь О) они равны сг и р . Из верхнего полупространства на границу раздела сред падает шумовое поле с крупномасштабными флуктуациями, характеризующееся поперечной корреляционной функцией (см.(2.1)) (я(о » 1, где я = ы/с — волновое число в верхнем полупространстве). Найти корреляционные функции для отраженной Гх~(р ) и прошедшей Г ~(р ) волн, оценить поперечный и продольный радиусы корреляции для этих волн.
Рассмотреть предельные случаи 21 = и/с ъ й и й е а. Решение. Для коэффициентов отражения и прохождения )/ и Ф' плоской волны, падающей на границу раздела под углом 0; гп(ь2-к2)1/2-(ь2-к2)1/2 2т(ь2-к2)'/2 (22 2)1/2 (я2 2)1/2 ' (й2 К2)1/2 (я2 2)1/2 ' ! х 1 А 241 (см.(3.1.10), (3.1.11)), где к = йз(пб, ш р /р, а й /й. Для спектральной плотности отраженной волны Р (к ) и проге1 шедшей Р '(к ) будем иметь соответственно Е"'«,) = ~ «,И'Е,«,), Е"«,) = ) «,И'Е,«,). (1) где Р (к) -спектральная плотность падающего поля.
Корреляцио оиные функции этих волн будут определяться (1.6), где нужно подставить соответствующие спектральные плотности. Вид корреляционных функций зависит от соотношения между волновыми векторами а, й и шириной спектра падающей волны к . Если й, ъ й, то флуктуации будут крупномасштабными и во второй среде (ко к й ). Поэтому для коэффициентов отражения и прохождения можно записать приближенные формулы в виде ~'М йн.л ' (р(кз) йн- л ' Г~~(р ) У~Г (р ), Г (а ) (р Го(Р ) (3) Для прошедшей волны продольный масштаб корреляции 1г = ! й = 111/й ъ 1(( и много больше, чем в падающей волне.
В з о ~ вырожденном случае т = и, когда для нормально падающей плоской волны отражение отсутствует, корреляционная функция отраженной волны будет сильно отличаться от Г . Если й и й, то в зависимости от соотношения ко и й можно выделить два подслучая, При ко и й флуктуации остаются крупномасштабными и во второй среде. Для корреляционной функции по-прежнему справедливы соотношения (3), т.е. поперечный масштаб корреляционной функции не меняется, а продольный масштаб в прошедшей волне уменьшается (1()' = 1(~я/А < 11). Если же ко э йг то для второй среды флуктуации становятся мелкомасштабными, и характерные масштабы корреляций во второй среде порядка длины волны Х = 2п/и и много больше, чем в падающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
