Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Решение. Переходя в (1) к уровню амплитуды и учитывая, что для первоначально плоской волны ге = гг ш+ ..., для возмушений уровня имеем 2 — — — Ь„ш. д д ш (2) пг дг Оценивая д ш/дз о' /!й, Ь ш о' (г!!!) /(„, получаем, что 1/2 2 на достаточно больших расстояниях первым слагаемым в правой части уравнения (2) можно пренебречь. Таким образом, г )((з,р ) = -н)б Й(а',р ) да'. О После усреднения (3) с учетом выражения для корреляционной функции эйконала (8.1) имеем для дисперсии уровня в двумер- ном случае г 84в> (р (4) оо 0 После вычисления двойного интеграла для дисперсии флуктуаций уровня плоской волны имеем е *„в'> )>) .
Р,=О ) а>, Таким образом, флуктуации уровня растут пропорционально г, т.е. медленнее, чем флуктуации фазы (13.4). 7.3.20. Найти дисперсию флуктуаций уровня, считая, что флуктуации показателя преломления характеризуются корреля- ционной функцией (5.1). Ответ, о' - 2тяо' (г/а) . Н 7.3.21. Йайти дисперсию флуктуаций уровня а 1~ для верти- кальной трассы в океане, считая, что неоднородности "двумер- ны" и описываются выражением (9.1). Как изменится величина флуктуаций а 1 для горизонтальной трассы такой же длниыу Ответ, Для вертикальной трассы длины г а 1 —— 2)/йа 1~ г /1, 2 2 3 4 для горизонтальной трассы той же длины а„= 2тйа ) г /13 = а )1 1 /13 и а„г» о )р Дла гоРизонтальной тРассы флУктУа- 2 2 ции уровня существенно больше, так как флуктуации амплитуды определяются кривизной фазового фронта волн и тем больше, чем меньше поперечный масштаб неоднородностей показателя преломления.
7.3.22. Пренебрегая флуктуациями уровня, найти среднее поле и конечную корреляционную функцию поля р = ехр(- 1р), распространяющегося в среде с гауссовыми флуктуациями пока- зателя преломления, имеющими корреляционную функцию (5.1). Ответ. Учитывая гауссовый характер флуктуации фазы и ре- шение задачи 7.3.15, имеем вр> = секр(вр)> = ехр(1<у> — о' 2), 2 2 (г Г(~Х, г) = <рр > = ехр (- — и-24 — ) = ехр (- о' )1 - ехр [- — 2)~ ~, (2) Р = йог, а 2йоай1 г, 1 = о тй/2. (3) 7.3.23. Считая, что справедливо приближение геометричес- кой акустики, найти среднеквадратичное отклонение флуктуаций р (ты а = 0) = 21к, (~ ехр(!Кот ) с(г ).
Условие применимости метода малых возмущений имеет вид Р=2йо соз9 к1, (5) где а2 = <Ч > — дисперсия возвышений, а Р носит название па- 2 о раметра Радея. Пусть С~(Й ) — пространственный спектр возмущений поверхности, ч(г ) = ~С~(Й ) ехр((к г ) О~к . (6) Тогда из (4) следует, что пространственный спектр рассеянного поля гЮ = 2(ко(~ С~Фх-~о). (7) 260 эйкоиала о~, фазы а, времени пробега о коэффициент ослаб- ления среднего поля К и оценить поперечный радиус корреляции поля р .
Считать, что плоская волна распространяется в среде с гауссовыми флуктуациями показателя преломления, имеющими корреляционную функцию вида (5.1) с о = 10, а = 1 и. Длии иа трассы г = 1 км, падающее излучение имеет частоту 10 (а) и 100 кГц (6). Ответ.
а) о' 4,2 10 Зм, а' = 1,76 10, о'. = 2,8 10 Вс, -з К=0,98, р ма=1м; б)о =4,210 м, с =1,76, гг в ' ' и -2,810 с, С=021, р*=а/о =0,57м. р 7.3.24. Считая, что отклонения поверхности а = С(Ф) малы по сравнению с длииой волны Х = 2п/й, найти в приближении о' метода малых возмущений поле р, рассеянное при отражении плоской волны ро от абсолютно мягкой поверхности. Решение. Для абсолютно мягкой поверхности давление иа границе р(Р, С(Р)) = О. Представляя поле при г = 0 в виде суммы иевозмущенного р и рассеянного р поля и разлагая гра- ничное условие в ряд по степеням г/А, получаем граничное ус- ловие для рассеянной компоненты: ВРо (1) Для плоской волны единичной амплитуды, падающей под углом на мягкую границу, решение уравнения Гельмгольца имеет вид Ро(гх з) = ехРФогз) ~ехр(-'каИа) — ехр((ко1! з)), (2) ко = А з1пВо, к ~ = А созВВ, й ы/со.
(3) Таким образам, для рассеянного поля, также удовлетворяющего уравнению Гельмгольца, имеем следующие граничные условия: Каждая из пространственных компонент возбуждает плоскую волну ехр((И г +(к1(з), к11 = (й -к ), и, следовательно, рас- 2 2 1/2 сеянное поле при г» О имеет вид р (г,х) = 2(ко(1~'С (к> -кк ) ехр(В т +(к(1т) 220 . (8) Таким образом, в приближении метода плавных возмущений задача об отражении от границы свелась к задаче о дифракции плоской волны за случайным зкраном (см. задачу 7.2.1). 7.3.25.
Считая известным корреляционную функцию Г~(~ ) = = <~(г + Р )т(г )> и спектральную плотность А~(И ) возмущений поверхности Ч(г ), найти поперечную корреляционную функцию Г (Р ) рассеянного поля. Для гауссовой корреляционной функции вида (2.2.1) найти интенсивность рассеянного поля в случае мелкомасштабных (й! <1) и крупномасштабных (й( ъ1) неоднородностей. Ответ. Используя решение задачи 7.2.1, получаем Г,(Р,) - 4к 11 ) А~(И -ко) ехр((к,р ) пк . (1) А~ "о В случае мелкомасштабных неоднородностей поперечная корреляционная функция описывается выражением (2.2.4), где Е 2 о = (2/и) (о' г' й созй), поперечный масштаб корреляции порядка длины волны, а интенсивность рассеянного излучения У <Р > = 40011я соз и (я(о) /2 — Р (й(о) /2' (2) Для крупномасштабных неоднородностей поперечная корреляцион-' ная функция Г (Р ) = 4й соз 8 Г~ф ) ехр(хор ), (3) а интенсивность рассеянного поля У = 4о-й соз О = Р .
9 2 2 2 0 0 7.3.26. Определить ширину углового спектра рассеянного поля для мелкомасштабных и крупномасштабных неоднородностей. Решение. Из задачи 7.3.25 следует, что спектральная плотность рассеянного поля Е (к ) связана со спектральной плотностью возмущений поверхности А~(И ) соотношением 42 (1) причем распространяющимися являются волны, поперечный волновой вектор которых удовлетворяет условию )К ) и Й = ы/с .
Формула (1) определяет селективный характер рассеяния на неровной поверхности: фурье-компонента возмущений поверхности 261 с волновым числом К дает рассеянную волну с поперечным волновым числом (2) Для поперечной компоненты п единичного вектора распространения рассеянной волны условие (2) записывается в виде ап 4йпО-К, 1п ) 1. (3) Для мелкомасштабных неоднородностей, когда характерная ширина спектра КО = 1/1 » 2, рассеяние изотропно по углам, Для крупномасштабных неоднородностей (КО е й) рассеянная компонента сосредоточена в узком конусе вблизи угла зеркального отражения.
Угловые ширины ВО и 9 в плоскостях параллельном н перпендикулярной плоскости падения соответственно равны Вй = К /(йсозВ,), 6 К /я, (4) 7.3.27. Плоская волна единичной амплитуды падает нормально на взволнованную поверхность. Корреляционная функция возмущений описывается функцией вида (2.1), где среднеквадратичное отклонение поверхности о = О,1 и, поперечный масштаб О ! = 1/К = 1 м. Найти угол рассеяния В, параметр Рэлея Р (см, задачу 7.3,26), интенсивность рассеянной волны для следующих частот падающего излучения: ) = 50 Гц, ( = 100 Гц, 1 ' 2 500 Гц, 14 = 1000 Гц. Ответ. Для частот )1 и ) неоднородности являются мелко- масштабными (М = 0,21 и 0,42).
При этом Р = 4,2.10 1 7 =3,8103; Р =8,4102=2Р, 7 =6 ° 10 =167. Для 1 ' ' 2 ' !' 2 Г частот 7 и )4 неоднородности крупномасштабны (И = 2,1 и о 4,2). Соответственно, 9 = агсз(п (1/е( ) = 28, Р 0,41, 7 =0175, 9 =13 =В /2, Р = 084 =2Р, 7 =07= 3 ' ' з4 гз ' 4 ' 3' 4 47 . Для частоты ( = 1000 Гц условие применимости метода плавных возмущений при нормальном падении нарушается. 8. ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 8.1. Механические колебательные системы. Электромеханические аналоги 8.1.1. Установить аналогию, существующую между уравнениями, описывающими колебания в электрических целях и механических системах.
Рассмотрение провести на примере линейных колебательных систем: механической с одной степенью свободы и одиночного электрического контура. Решение. Рассмотрим механическую колебательную систему, состоящую из груза массой т на пружине, упругость которой з 1 я м г 6 К задаче 8.1Л (см. рисунок а). Приложим к грузу силу Р. Смещение груза из положения равновесия обозначим через х. Воспользовавшись вторым законом Ньютона, запишем уравнение движения в виде тх ег хезх = Р, (1) где г х — сила трения, г — механическое сопротивление системы, зх — сила упругого противодействия пружины, Линейность уравнения (1) является следствием двух предположений: 1) деформации невелики и упругая сила следует линейному закону (система подчиняется закону Гука) и 2) сила трения есть линейная функция скорости о = х.
Заменив упругость пружины ее гибкостью с = 1/з, перепишем уравнение (1) в виде т й--+ г о + — ~ о г(г = Р. ап 1 (2) Запишем теперь уравнение, описывающее колебательный процесс в электрическом контуре, к которому приложена внешняя 22бэ электродвижушая сила и (см. рисунок б). Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений на всех элементах должна равняться и: 1. ду+%+ ~ )г'тх'г = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
