Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В параллельном контуре две ветви соединены параллельно, полные проводимости ях складываются: у = +)ис, 1 г +) ылз м' м отсюда полное сопротивление равно '.'! 3 ид г= г 1+)ыс (г +рмпз) 1-7 е)у/1;1 где Я = ти/г — добротность системы, у = ы/и . Выражение Е более сложное, чем для последовательного контура. Для выявления фнзического различия между параллельным и последовательным контурами рассмотрим задачу в отсутствие трения. Тогда м где т = у /(у — 1) зависит только от отношения частот у = 2 2 = ы/ы,, ы, = (глс ) .
На низких частотах (у -+ О) Я м )ылз; -172 на высокнх частотах (у -з м) Л = 1/()ис ), т.е. полное Сопро- м ' тнвленне контура равно упругому сопротивлению. Прн у = 1 ы = и н импеданс контура Л -з м. Здесь ы — антирезонансная 0 0 частота контура. Она определяется как частота, на которой ток, проходящий через параллельный контур, принимает минимальное значенне. В этом случае токи в нндуктивностн н емкости взаимно компенсируются 'С+ '1.
= Т7()ЙС)+7ЙХ )" ( Ж~ отсюда ы = 1/((.С), т.е. антирезонансная частота выражается 2 0 так же, как н резонансная частота последовательного контура. — е ЯОма К задаче В.1.10 27З 8.1.10. Две массы п41 и гп жестко связаны друг с другом (см.рисунок) и движутся вместе под действием силы Р. Изобразить схему соединения механических элементов, построить схему электрического аналога н определить нмпеданс системы.
Ответ. Две массы, жестко связанные друг с другом, представляют собой механическое соединение в узел, Я = /ы(л41+т ). 8.1.11, Задана система из двух масс п4 и ла и силы Р, действующей между ними (см.рисунок). Изобразить схему соеди- и "ф-~ ~-©-~ нлн К залаче 8.1.11 пения механических элементов, построить схему электрического аналога и найти импеданс системы. Ответ.
Система представляет собой соединение цепочкой двух масс н силы. Особенность системы в том, что второй конец силы приложен к одному из элементов системы, а не к неподвижной опоре, условное изображение механической системы и ее электрический аналог даны на рисунке, и )игл л4 /(п41+т ). 8.1.12. В качестве излучателя звука часто применяется устройство, которое можно представить в виде масс и4 н л42, К задаче 8.112 274 соединенных пружиной (см.рисунок). Например, излучатель Лаижевена: массы — два металлических диска или две диафрагмы, упругость -тонкий кварцевый диск, который служит для возбуждения обоих наклеенных на него металлических дисков.
Изобра- вить систему в виде схемы соединения механических элементов, построить схему электрического аналога и определить импеданс системы и резонансную частоту. Решение. Ззассы ле, и гл имеют разные скорости. На оба внещних конца масс силы не действуют, а на оба внутренних конца действует одна и та же сила, Следовательно, механические элементы лег лз соединены цепочкой. В электрическом аналоге соответствующие элементы соединены параллельно. Так как часть силы используется на сжатие пружины, а остальная производит ускорение масс, то сила н гибкость пружины соединены в узел, а в схеме электрического аналога — последовательно: 1 ° 1 2 1 2 1 1 2 1 С ле 1 лз2 ~~ 1~~2 йс 1 О чс 1т2) 8.1.13.
Составить механическую схему подвижной системы ленточного электродинамнческого микрофона, построить схему ее электрического аналога и найти ее механическое сопротивление. Решение. На низких частотах ленточку можно представить системой сосредоточенных параметров: масса ле и гибкость с . л л' Колеблясь под действием падающей на нее звуковой волны (т.е. силы Р), ленточка сама излучает звуковые волны.
Поэтому в эквивалентную механическую схему (см. рисунок) следует вклю- Сл К задаче 8.1.13 чить соколеблющуюся массу ~п и активное сопротивление излучения г. Сила Г приложена к ленточке, колеблющейся вместе с массой гл . Все элементы системы соединены в узел, поэтому в схеме электрического аналога элементы соединены последовательно.
Полное механическое сопротивление подвижной системы: 1 Г2 Г 1 122 1'2 2 = )ес(лз ч-ле )+ +г, 1л ) 1ьг + 1ьы(ле -ле ) — — ~ ~ м л а 1ЮС м Ьа 'Ь л а ЫС2 2 л л 8.2. Акустические системы и электроакустические аналоги, 8.2.1. Показать, что замкнутый воздушный объем по~(обем пружине, а движущиеся воздушные потоки в открытой трубемассе. Указать электрические аналоги данных элементов. Решение. Акустические системы представляют собой системы с распределенными параметрами. Однако на низких частотах их приближенно можно рассматривать как сосредоточенные системы.
Рассмотрим характер реакции, создаваемой воздухом, заключенным в объеме У, при колебаниях невесомого поршня площадью 5 (см. рисунок а). Атмосферное давление р . Смешение поршня К заавче 821 на расстояние к в сторону полости вызывает изменение объема на У' = -5х и, следовательно, изменение давления в полости на величину р'. При адиабатическом процессе (р эр') (У+У')У = р УФ (у = с /с -отношение удельных теплоемкостей).
Отсюда в случае р' У малых колебаний (У'/У к 1) имеем р' = -(уро/У)У' = (ур 5/У)х — избыточное или звуковое давление. Тогда возвра- О щающая сила нли реакция воздуха, заключенного в полости, ур 5 Р~ = ~5 (1) Пропорциональность между Е и к говорит об упругом характере реакции внутри полости. Гибкость воздушного объема определяется как отношение смещения к возвращающей упругой силе р'5: 2 2' У У (х) ур 5' р с'Р' где р, с -плотность и скорость звука в воздухе. 276 Другой случай — зто колебание воздуха в открытой трубе длиной ! и внутренним диаметром 2а (см.рисунок б).
В отличие от Яредыдущего случая воздух в трубе ие будет деформироваться. "Столб" воздуха смещается как единое целое вместе с поршнем. Характер возникающей при этом реакции обусловлен инерцией воздуха, смещаемого поршнем. Поэтому при вычислении этой реакции следует учесть массу воздуха в трубке т=р!5, 5=7!а. 2 о (3) Кроме того, в колебаниях будет принимать участие воздух, непосредственно примыкающий к открытому концу трубы. Его инерция может быть учтена путем добавления к массе воздуха в трубке так называемой массы соколеблющегося воздуха т, которую можно оценить по формуле т = 2роа.
(4) Следовательно, общая масса воздуха, смещаемого поршнем, т' = т+т = р!5 2ра. 3 (5) В случаях, когда длина трубки больше ее диаметра (!» 2а), влиянием массы т можно пренебречь; т/т = 2а/и! и 1. Таким образом, акустические системы можно изображать в виде механических схем с сосредоточенными параметрами и пользоваться для их расчета электромеханическими аналогами.
При этом согласно задаче 8.1.1 электрическим аналогом замкнутого воздушного объема является емкость, а движущегося потока воздуха в открытой трубе — индуктивность. 8.2.2. Показать аналогию дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы в акустических и электрических системах, на примере резонатора Гельмгольца и простого электрического контура. Рещение. Акустические колебательные системы являются частными случаями систем механических. Обычно состояние механической системы характеризуется смещением и колебательной скоростью отдельных материальных точек. Воздействие характеризуется силами, действующими на систему. Акустические же системы удобнее описывать, пользуясь объемнымн смещениями и объемными скоростями, а внешнее воздействие — давлениями. Покажем это на примере резонатора Гельмгольца, который представляет собой сосуд с коротким горлом, заполненный воздухом (см.рнсунок а).
Как показано в задаче 8.2,1, при возбуждении 277 Ш Сд гм см б К задаче 8.2.2 б резонатора звуковой волной воздух в горле колеблется, как поршень, а объем воздуха в сосуде создает необходимую упругость и обеспечивает возвращающую силу. Таким образом, если размеры резонатора невелики по сравнению с длиной падающей волны, то можно считать, что вся кинетическая энергия сосре- доточена в слое воздуха, который движется в горле резонатора, а потенциальная энергия связана с упругой деформацией воздушного объема полости.
В этом предположении резонатор является колебательной системой с одной степенью свободы, состоящей из сосредоточенных параметров массой т и упругостью с, определяемых формулами (1.2), (1.3), а также активного сопротивления г, обусловленного трением воздуха о м' стенки трубы н потерями колебательной энергии, возникающими вследствие излучения звука открытым концом.
Активное сопротивление пристеиочного вязкого слоя приблизительно равно сопротивлению стоксовских волн (см. (3.2)). На рисунке б дано схематическое изображение механической модели резонатора Гельмгольца. Пусть на резонатор действует периодическое внешнее давление р = р ехр()оМ).
В качестве координаты, характеризующей состояние системы, выберем смешение воздуха в горле резонатора х; тогда уравнение движения имеет внд тх + г х+ х/с = р5. 278 Раскроем значения параметров: р 56.х' + + ур 52/(Г = р5. Введем в это уравнение объемные смещение, скорость и ускорение: о = 5х, п = 5х, и 5х. Подставляя в уравнение объемные переменные о, о, о, имеем (разделив обе части на 3) ай +гй+о/с р. а а а Коэффициенты этого уравнения — акустические масса, гибкость н сопротивление: ро лт 4- О -о б м .
б лт =-тГ-= — (кг/м'1, с = — =с з (м /щ, г — мдН'с)/м ). а 32 ~' а 2'ро м~ ' а 52 (2) Уравнение (1) аналогично уравнению, описывающему колебательиые процессы в электрическом контуре: Ц +Яс)ег)/С = н. (3) Таблнна к задаче 8.2.2 Электрическая величина Акустическая величина о х5 †объемн смещение о — заряд о х5 — объемная скорость о х 5 — объемное ускорение Π— ток ги/г(т †скорос изменения тока р †давлен пг гл/5 †акустическ масса а с с 52 — акустическая а м гибкость г г /52 — акустическое а м сопротивление 2 - г т тьтгп + 1/((тас )— а а а а полное акустическое сопротивление и — напряжение й †индуктивнос С вЂ” емкость й — активное электрическое сопротивление г - г.;Ы(..
1/((ЫС)- полное электрическое сопротивление (Ый †индуктивн сопротивление )хелг — инерпиальное а акустическое сопротивление 1/(!ото ) — упругое акустическое сопротивление !/((вгС) — емкостиое сопротивление 279 Вытекающая из сравнения уравнений (1) и (3) аналогия между акустическими и электрическими величинами, приведена в таблице. Таким образом, аналогом резонатора Гельмгольца является электрический контур с последовательно соединенными параметрами гл, с, г . Установленная связь позволяет применять а' а' а' метод аналогий для анализа и синтеза сложных акустических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
