Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Ж 1 Если вместо тока ! ввести заряд д, то (3) запишется в виде Ц - )сг)+ д/С = и. (4) Сравнивая уравнения, которыми описываются колебания в механической системе (см. (1) или (2)) и электрической цепи (см (4) или (3)), видим их полную аналогию. Она имеет практическое значение, так как позволяет сопоставить сложным механическим системам их электрические аналоги н использовать эффективные методы расчета электрических цепей. 8.1.2. Составить таблицу соответствия механических и электрических величин.
Решение. Воспользуемся решением задачи 8 1.1. Сравнение (1) и (4), (2) и (3) позволяет составить таблицу аналогов механических величин электрическим. Здесь и ниже мы считаем, что при гармонических колебаниях все величины со временем изменяются как ехр()й)г), где )' — мнимая единица. Таблина к задаче 812 Электрическая величина Механическая величина х-смепгение е х — колебательная скорость Р— сила иг — масса д — заряд о — ток и — злектродзижущая сила б — индуктивность С вЂ” емкость й — актизиое электрическое с — гибкость и †активн механическое м сопротивление сопротивление дт/дг †скорос изменения тока 2 и/1 в полное электрическое х †ускорен 2 Р/е †поли механическое м сопротивление Л г е)ыж+ 1/((ыс ) )йниг — ииерпиальиое сопротиелеине 1/()бгс ) — упругое сопротивление -1/2 У = (тс ) — собственная О и частота механической системы сопротизленне г - Д ° )И.
° 1/()Ы ) )Ыь — индуктивное сопротивление 1/()ЬГС) — емкостное сопротивление -1/2 И =(ьС) — собственная О частота электрической системы Для изображения механических систем можно внести идеализированные элементы; массу, гибкость (пружину нулевой массы), активное сопротивление (пропорциональное скорости), и по аналогии с индуктивностью, 'емкостью и сопротивлением в электрических цепях представить их в виде двухполюсников а К задаче 8.1.2 (см.рнсунок а). Тогда под переменными х, о в таблице понимается относительное смещение х = х -х и скорость п = о эо 1 2 1 2 концов элемента упругости или элемента трения.
Аналогом напряжения при этом является сила, приложенная к одному нз полюсов механического элемента, причем предполагается, что к другому полюсу (концу) приложена такая же по модулю, но противоположная по направлению сила (так как этн идеальные эле. менты имеют нулевую массу). Изображение механического элемента в том случае, если один из его концов закреплен, приведено на рисунке б, где А — жесткий стержень.
Поэтому скорости его концов одинаковы и в силу третьего закона Ньютона сила реакции опоры равна действующей силе. Для элемента массы естественной точкой отсчета является неподвижная (инерциальная) система координат, и поэтому ее можно считать вторым "полюсом" и изображать штриховой линией (см. рисунок а), а первый полюс есть сама масса. Формальное закрепление второго полюса элемента массы отражает тот факт, что законы движения записаны в инерциальной системе координат.
8.1.3. Показать, что аналогии между электрическими и механическими величинами, установленные в задачах 8.1.1, 8.1.2, сохраняются н в энергетических соотношениях. Решение. Сравним энергетические соотношения для одноэлементных двухполюсников (индуктивности, емкости и сопротивления) н для механических элементов в виде массы, гибкости и сопротивления. Работа, затрачиваемая внешним источником при увеличении силы тока от О до ~', равна кинетической энергии магнитного поля электрического тока проводника с индуктивностью 1.: А %' = 1.1 /2. (1) м Аналогично в случае поступательного движения тела работа внешних сил, вызывающих увеличение скорости от О до и, равна кинетической энергии тела А = Ф' ~~ /2, (2) где т — масса.
Работа внешних источников, идущая на преодоление сил электрического поля прн увеличении заряда от О до д, равна потенциальной энергии электрического поля двухполюсника, содержащего емкость: 2 С 2 А = йг — )".к.г(4 = Я (3) "С 2С 2 О Потенциальная энергия, запасаемая механической системой (упругим элементом), равна К = х~/2с = с Р/2. (4) Следовательно, кинетическая энергия магнитного поля соответствует кинетической энергии механической системы, а потенциальная энергия электрического поля — потенциальной энергии механической системы. На сопротивлении как в электрической, так и в механической системе происходит необратимое рассеяние энергии и превращение ее в тепло. Электромагнитная энергия, превращающаяся в тепло, равна Яг = л1.
(5) Аналогично выражается механическая энергия поступательно движушегося тела, превращающаяся в тепло: (г' =Р и ги. 2 г тр м 8.1.4. Установить аналогии в способах соединения (6) механи- збб ческих и электрических элементов. Решение. Способы соединения механических элементов определяются характером распределения сил и перемещений. Основными являются два способа: соединение цепочкой (см. рисунок а) и соединение в узел (см. рисунок 6). При соединении цепочкой относительная скорость концов всей системы равна сумме относительных скоростей концов отдельных хх хз Ю К задаче ц1Л двухполюсников: (х -х)+(х-х )+...
+(х -х ) = х — х, О 1 1 2 '" л-1 л О л' илн 1 2 л' и через все элементы передается одна и та же сила (на основании закона равенства действия и противодействия) Р=Р =Р ... =Р. (2) 1 2 '" л При соединении механических двухполюсников в узел все они имеют одинаковые относительные скорости концов: (Э) 0 = и = и 1 2 а сила, приложенная ко всей системе, равна сумме сил, прило- женных к каждому элементу, 1 2 л' (4) Очевидно, что электрическим аналогом узла является последовательное соединение электрических двухполюсников, прн котором !'= ! = ! =...= !', и= и+и +...+и.
1 2 "' л' 1 2 "' л' Таким образом, при составлении аналоговой схемы пользуются следующими правилами: элементы, образующие узел, соединяются в электрической схеме последовательно; элементы, образующие цепочку, соединяются в электрической схеме параллельно. 2б7 Так как электрическим аналогом скорости является ток, а силы аналогичны напряжению, то соотношения (1), (2) показывают, что электрическим аналогом цепочки является параллельное соединение электрических двухполюсников, при котором ! = ! е!' +,,,эз, и = и = и = ...
и. 1 2 "' л' 1 2 "' л Таелима и задаче 8.1.4 Мсааиичеслаа система Злеитричесиий аиалег Фсфмула и! ем! сме Си!+ Сма г 1 1 1 + з с„! с„т м2 1 1 1 Е г м! г м2 'м м1 'ма м2 гм! г г +г м и! м2 В таблице сопоставлены некоторые механические системы с их электрическими аналогамн. На электрических схемах здесь и далее приводятся обозначения с использованием символов механических величин. 8.1.5. Даны две последовательно соединенные пружины, имеющие гибкости с и с , смепгеиие которых от положения равм1 м2' 268 новесия под действием общей силы равно соответственно х и 1 х, а также два конденсатора, соединенные параллельно, с электрической емкостью С н С н зарядами о1 и де, полученными от общего источника напряжения.
Показать аналогию между этими двумя системами, рассчитав накопленную энергию. Ответ. Потенциальная энергия механической системы равна хз хз (1) м1 м2 а энергия, запасенная электрической системой, равна "1 "2 %' (2) . 2С 2С 1 2 Из сравнения выражений (1) и (2) видна аналогия между этими системами: х1 +д1, хэ-ейз, с1+СГ смт.+Сэ (см. таблицу к задаче 8.1.2). 8.1.8. Для механических систем, изображенных в левой части рисунка, определить полное сопротивление и построить схему электрического аналога. К задаче 8.!.б Решение.
Механические элементы на рисунках а н б соединены в узел, следовательно, их аналоги в электрической схеме (правая часть рисунка) соединяются последовательно. На рисунке в механические элементы соединены в цепочку. В схеме аналога элементы с и т соединены параллельно. Полные сопро- тивлеиня систем а, б, в равны соответственно , У/41, .
„1 2 к=1 „,, я=1~ "„, г=1 и 0 8.1.7. Для систем, изображенных в левой части рисунка, привести схемы электрического аналога. гм К задаче ВЛ.7 Решение. Механические элементы систем на рисунках а и б соединены в цепочку. На все элементы каждой из систем действует одинаковая сила Р В схеме аналога электрические элементы соединены параллельно. На рисунке в — смешанное соединение механических элементов; элементы с, т между собой м' соединены в цепочку, а с остальной частью схемы — в узел. На рисунке г все механические элементы соединены в узел и движутся с одинаковыми скоростями, соответственно электрические элементы соединены последовательно, 8.1.8. Для каждой из механических систем, изображенных на рисунке, построить схему электрического аналога и определить ее импеданс. Ответ.
Для построения схемы аналога использовать правило замены механических элементов электрическими и правилом сое- 270 гм 2 К задаче 8.1.8 динения их. При нахождении импеданса системы применить правила для электрических цепей. 8.1.9. Изобразить механическую систему, показанную на рисунке а, в виде механических символов и нарисовать электрический эквивалент в случае, если; а) сила действует на массу, а один конец пружины закреплен; б) сила действует на свободный конец пружины.
Найти полное механическое сопротивление системы, если действующая внешняя сила гармоническая. Описать поведение системы на низких, высоких и резонансной частотах. 271 К звкаче 8.1.9 Решение. Возможны различные способы внешнего воздействия на колебательную систему. В связи с этны различают последо- вательный и параллельный механические контуры.
В последова- тельном контуре сила возбуждает массу, а в параллельном сила приложена к пружине. Электрические аналоги н изображение этих систем посредством механических символов приведены на рисунках в н б. Для нахождения полного механического сопро- тивления этих систем используем электромеханические анало- гии. Механический импеданс Л последовательного контура опре- деляется выражением Л = г + гыт+ = г + )м лг и(ы), 1 М )ыс и о (1) где и(ы) = ы/ы — ы /ы, ы = (лгс ) — резонансная частота; -1/2 г — активное, )ыгп -инерциальное и 1/()ыс ) — упругое сопро- тивления. Исследуем зависимость Е от ы, предполагая, что г мал вне м резонанасной области по сравнению с ы тп.
Тогда на низких О (ы и ып) частотах и = - ыо/ы и 2 = 1/(уыс ). Следовательно, импеданс системы и ее поведение полностью определяются упру- гим сопротивлением. На высоких (и э ы ) частотах и м ы/и н выражение (1) принимает вид 2 = )ит, т.е. система "управляется" массой. На резонансной частоте и = О н Л = г, т.е, в м' области резонанса роль активного механического сопротивления очень существенна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
