Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Акустоэлектронное усиление, возникающее при у < О, максимально при у = - (ы,/ы+ ы/ы ) б Оптимальная для акустоэлектронного взаимодействия частота ы прн Еп х О количественно не меняется, а оптимальная проводимость (частота релаксации проводимости) изменится в соответствии с приведенными выше эффективнымн значениями ы' и ьт': и уьт(1+(ы/уи ) 1 8 Акустика в ввввчах 7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 7.1.
Основы теории случайных процессов 7.1.1. Записать выражение для вероятностного распределения случайного процесса о(1) и его характернстической функции, используя скобки статистического усреднения. Получить связь статистических моментов с характеристической функцией. Реп<ение. Если <е (о; г) — вероятностное распределение слуи чайного процесса о(1), то среднее от произвольной функции )(о(г)) равно йо(1)), = 3')( ) ю„(и; 1) дп. (1) Используя фильтрующее свойство д-функции, можно записать (2) <д(о - и(1))> = в (о; 1). Характеристическая функция случайного процесса 6 (к,1) связана с вероятностным распределением фурье-преобразованием: 6 (к;1) ~н>(о;1) е<ко ли <е<ко(1)> (д) Из (3) следует, что статистические моменты случайного процесса о(1) <оля> = )о" ю(о; !) <Ь выражаются через производные характеристической при к=О: (4) функции д"6(к (б) д(гк)" к=О 7.1.2.
Записать вероятностное распределение и характеристическую функцию гауссова (нормального) процесса о(1) со Средним гп <о(1)> и дисперсией о~ = <(и(1) — >л) >. 2 Ответ. ге(и) — ехр (- ,Я з 2о' 6(к) ехр (<к>л - к а~/2) . (2) 7.1.3. В акустике большую роль играют квазимонохромати. ческне сигналы, которые можно представить в виде .(С) - А(С) . (ш,С ° р(С)), (1) где А(С) и (г(С)-медленные функции времени. Найти среднее процесса о(С), считая, что амплитуда постоянна> а р(С) -случайная фаза, имеющая гауссово распределение со средним р и дисперсией о . 2 Решение. Рассмотрим процесс г(С) = гв С+ р(С). Так как линейная комбинация гауссовых процессов остается гауссовой, то г(С) также гауссов процесс со средним <г> и С > <р и 2 О дисперсией о~~ = сг . Из (1.3) следует, что <о(С)> = А <сов(ш С+~р(С))> = А<сова(С)> Ке8 (1, С). О <р г г Находя действительную часть характеристической функции гауссова процесса (2.2), имеем <п(С)> = А ехр( — а~т/2) соз(ш С>р).
7.1.4. Случайный процесс о(С) подвергается нелинейному преобразованию «(С) (О(о(С)). Считая известным вероятностное распределение св(п; С), найти вероятностное распределение процесса и(С). Рещение. Используя определение вероятностного распределения (1.2), напишем ши(»' С) — <б(н н(С))>и <б(и Яи(С)))> )д(н Ф(о)) <и (кч С) Ио. (2) В силу фильтрующего свойства 6-функция "выкалывает" при интегрировании те значения о, где и — у)(о) = О. Пусть о(и)— ~'-й корень этого уравнения, или, другими словами, ~'-я ветвь функции, обратной к функции и = у)(о).
Тогда из (2) получаем ш (и,(и)) ш (и; С) = 1д" (-„— '~„-Г)(' = С,ш (и(и)) )пс(и)(, (3) О Лрилечание. При выводе формулы (3) использовалось следующее свойство д-функции: <р(С,) ')р(С) б(С(С)) <СС = ~~~ (Т-)) ° (4) ! -Ш где С вЂ” корни уравнения С(С) О. 7.1.$. В задачах рассеяния волны на случайных неоднородностях в приближении метода плавных возмущений (метода Рытова) получается, что амплитуда волны имеет вид А = е х, где 8 эет Х вЂ” случайная гауссова величина со средним значением <Х> = Х и дисперсией а . Найти вероятностное распределение амплитуды 2 и ее моменты.
Йайти условие на Х и о', при выполнении кото- рого сохраняется интенсивность волны (второй момент); выра- зить для этого случая моменты через <г 2 Решение. Обратное преобразование Х = (1п А)/а однозначно н из (4.3) получаем (А)- Ап2 2п Это так называемое логнормальное распределение. Моменты амп- литуды удобнее считать, используя характеристическую функцию гауссова процесса 8 (к): <А"> = <е"и"> = 6 (- та) = ехр(паХ э и а<2о /2) . Х Х Интенсивность волн сохраняется (<А > и 1), если среднее и 2 и 2 дисперсия Х удовлетворяют условию Х = -ао .
При этом Х' <в (А) = 1 1 2 22 а ехр ~- — (!п А е а а 1 — 1и А~, 2 Х /2пп~а 2 Х <А > = ехр(а <г я(н-2)/х1. а 2 2 Х Особенностью распределения является то, что его максимум смещается с ростом и в сторону малых А: А ехр(- 2а <г ), 2 2 мах Х' в то время как высшие моменты быстро растут.
7.1.6. Найти вероятностное распределение квазимонохрома- тнческого сигнала о(Г) (см. (3.1)) для: а) А(1) = А = сопз1, а фаза р равномерно распределена в интервале (О, 2н); б) А— случайная амплитуда, имеющая рэлеевское распределение: А Г А <в(А) = — ехр ~- — ), (1) а 2 о~ фаза <р независима от А н распределена равномерно в 10, 2и). Решение. Пусть <в (А, р) — совместное распределение амплнту- 2 ды н фазы. По определению вероятностного распределения гв (о,1) = <б(в-Асов(ы 1<р))> = )<в (А,р) б(о-Асов(ж Г>Ю)) <(А <(р. (2) В силу условий задачи <в (А, р) = ш(А)/2п, если р н [О, 2п), и <в = О, если 2г и (О, 2п). Учитывая, что в (2) обратная функция имеет две ветви, после интегрирования по р получаем „(', ) = „-' ~ (~'-"Г"' (А) И, )ч) т.е, вероятностное распределение не зависит от времени.
22а а) В этом случае <л(А) = д(А-А ) и ги (и1 1) = (н (Ао-и )1 (4) б) если ги(А) имеет рэлеевское распределение (1), то, вво- дя новую переменную А = )и) с)> у, получаем 2 ю(и;1) = 1 )<и()и) с)>у) <(у, <и(и) = 1 ехр1- — "1 (5) » ' П Таким образом, вероятностное распределение сигнала гауссово. 7.1.7 В ЭВМ имеется датчик случайных чисел, генерирующий независимую пару чисел Ч н ~2, каждое нз которых равномерно распределено в интервале (О, Ц Используя результаты преды- дущей задачи, построить преобразование, которое дает пару чисел, имеющих гауссово распределение с дисперсией од, Ответ. Случайные числа и = Асов(э, и = Аэ)п4>, 1 2 А - -2 ~~ (1-<), > = 2 <, (2) независимы и имеют гауссово распределение с дисперсией 02.
При этом величина А имеет рэлеевское распределение (6.1)„а (э распределено равномерно в интервале (О, 2я). 7.1.8. Квазнгармоннческнй сигнал и(1) представляет сумму квадратурных составляющих:. и(1) = А (1) соз(ь>ОГ) . А (1) з1п(ь>О1), (1) где А (1) и А (1) — статистически независимые гауссовы слус $ чайные процессы с нулевыми средними н с одинаковыми диспер- сиями о 2. Этот же сигнал может быть записан в виде (3.1), где р = — агс1д(А /А ) н А = (А +А ) — случайные фаза н 2 21/2 амплитуда.
Найти вероятностные распределения: а) случайного процесса и(1), б) случайной интенсивности 1(1) = (А +А )/2, < > в) случайной амплитуды А. Ответ. а) ш (и) = — ехр[-"— ~, б) <и(7) = — ехр [- — ), 7 ° О, (2) в) вероятностное распределение амплитуды А = »7 имеет рэ- леевское распределение (см.
(6.1)). 7.1.9. На вход сумматора поступают два независимых гаус- совых сигнала и = и+и с одинаковым средним <и> = <и > = щ 1 2 1 2 и одинаковыми дисперсиями о2. Отношение «постоянной» состав- ляющей к среднеквадратичному значению г = <и>/о назовем и отношением сигнал/шум Найти вероятностное распределение сигнала и, его среднее значение, дисперсию отношение сигнал/шум на выходе г = <и>/о' . 1 и' Решение. Если в (о,о ) — совместное вероятностное распределение о и о, то в (и) = <б(и-(о+о ))> = и 1 2 П 1 2 2 1' 2) 1 2 ~ 2( 2' 2) 2' При независимых о, и о вероятностное распределение есть свертка распределений в (и) = ~в (и-о ) в„(о ) д~~, (1) и легко получить, что распределение в (и) будет гауссовым со и средним <и> = 2т и дисперсией ад = 2о2, так что отношение и сигнал/шум на выходе возрасте~ в ~72 раз; г/г <>2' .
о 7.1.10. Отношение сигнал/шум в каждом из каналов сумматора равно г - 0,1 (см.задачу 7.1.9). Каково должно быть чисо ло каналов сумматора Ф, чтобы отношение сигнал/шум на входе равнялось г = 22 1 Ответ. У = (г/г ) = 400. 7.1.11. Для эргодического процесса его статистические средние совпадают с временными средними.
Исходя из определения вероятностного распределения (см. (2.2)), найти оценку вероятностного распределения в (о) через временное среднее. Т Решение. Заменим в (1.2) статистическое среднее <...> иа временное среднее <...> = — ~" (...) Ш. т Используя фнльтрующее свойство б-функции, получаем для оценки вероятностного распределения в (о): Т 1 1д)д (1„) ! 1 = 4 - (~э - — (В -<!ВЖ - — ~ ~ — и — ~ . о) Ть! где 1 — корни уравнения о = о(1 ), т.е.
моменты времени, где а ь' процесс о(1) пересекает уровень о. Записывая в (2) производную через предел конечных приращений, получаем выражение для в (о) через относительное время пребывания: Т Т 1 Ф в (о) = — 1 1т-„— ~, Ьо .+ О, (3) т,~,1 "~' где Ы -время пребывания процесса о(1) в интервале о, о+Ьо. а 7 1.12. Найти относительное время пребывания гармонического сигнала (3.2) (А = сопз1, р = сопз1), Ответ.
ш~(о) описывается выражением (6.4) и совпадает со статистическим средним сигнала, имеющим случайную фазу, равномерно распределенную в интервале (О, 2и). о т, т, т, т а ть те К задаче 7 1.13 7.1.13. Реализации периодического случайного процесса имеют вид, изображенный на рисунке. Считая, что процесс зргодический, найти плотности вероятности случайного процесса. Ответ. а) ю(о) = (Т /(Т+Т )'13(о)'+ [Тт/(Т <Т )) Ь(и-А), 1/А, 0<и <А, б) в(и) = О, 0<А, и <О,' (Т~/(Т1+Т2))д(о-А) > (Т1/(71 72))А, 0 о А, в) ю(о) = О, о<0, о>А. 7.1.14. Показать, что если случайный процесс о(Г) стационарен и его корреляция равна <О(1') и(1<)> = К(Р-1") = К(т), т = 1'-1", то фурье-компоненты етого процесса С(ы) = 2п ~о(1) е ' Ж (2) д-коррели рованы, т.е. <С(ы') С"(ыа)> = 5(ы') б(ы>-ыа), (3) 231 а спектральная плотность мощности (спектр) 5(ы) связана с функцией корреляции фурье-преобразованием Ш Ш 5(ы) = 2-й )К(т) е '~ пт, К(т) = )5(ы) е'~ Ны (4) Решение.
Учитывая стационарность случайного процесса, из (2) для статистического среднего произведения фурье-компо- нент имеем ~С(ы') С (ыв) = 2 Ц<и(1') и(1") е <ы ~ <11'й" = (2п) 1 ПК(1' -1') е 1(ы У )1 е 1ьУ(1 1 ) <11 Ж» (2п) Вводя новую переменную т = 1'-1" и учитывая, что <(1 б(~), -ф (5) которая связана с В фурье-преобразованием (см. среднее значение равно нулю, то В(т) = К(т), п(ы) = 5(ы). (4)). Если 7.1.15.
Стационарный сигнал и(1) с функцией корреляции К (т) и спектром мощности 5(ы) записан на магнитофон со скои ростью (» . Сигнал и(1) получен при воспроизведении сигнала )1(1) со скоростью )» = а)» . Найти функцию корреляции н спектр сигнала и(1). Как они изменяются при а ° 1? Ответ К (т) = К (ат), 5 (<е) = 5 (ы/а)/а. При воспроизведении с большей скоростью (а > 1) корреляционная функция сжимается, а спектр уширяется с одновременным уменьшением амплитуды спектра ЧЛ.16. Прохождение сигнала и(1) через линейную систему (радиотехническую цепь, канал распространения звука в океане и т.п.) полностью характеризуется коэффициентом передачи системы К(1ы), который равен отношению комплексных амплитуд сигнала на выходе и и входе и при гармоническом входном 232 получаем I <С(гв') С"(ыв)> = 2п- ~К(т) е ' йт .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
