Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Из равенства нулю детерминанта системы (4) находим днсперсионное уравнение для симметричных волн Лэмба: ЩЩ 4й дэ (5) ! щди) (й2 2)э Поле смещений, как следует из (3) — (5), в данном случае описывается выражениями и н ~с Ь~йЩ 2 ох +Ья Я (6) 6.3.6. Найти выражения для предельных значений фазовых и групповых скоростей низших аитисимметричной (изгибной) и симметричной (продольной) волн Лэмба в пластине толщиной 203 Приравнивая детерминант этой системы нулю, находим дисперсионное уравнение для антисимметричных волн Лэмба 10(эд) 1й +5 (й) 10(дд) 4й йз Поле смещений для этих волн, как следует из (6) и (7), описывается выражениями ;„у Яййф 2й~ сйй~зВаЦ где и — произвольная амплитудная постоянйая.
0 6.3.7. Решить задачу 6.3.6 для симметричных волн Лэмба. Решение. Для симметричных волн на средней плоскости пластины г = О должны выполняться условия (см. задачу 6.3.3) и =Т =Т =О при г=О. (1) В остальном решение этой задачи аналогично решению задачи 6.3.6, Подстановка выражений для компонент смещений (6.4) в условие (1) приводит к уравнениям $(А-С) э — (В-П) = О, д(А-С)+з(В-В) = О. (2) Отсюда следует, что С = А, В = В и и = 2А сп(йа) + 2В сп(эг), и = — 2([А $зп(йг) е  — зп(зг)~. й (3) (3) 42) (3) Ь ч О.
Использовать разложения днсперсионных уравнений (6.8) н (7.5) в ряд по степеням и (до членов порядка л ) з Решение Днсперсионное уравнение для волн Лэмба: иг~~ж 1и~~~~ ) 2' ~ц 18(~гх у Н) ь (2у — 1) Здесь знак плюс отвечает симметричной, минус — антнснмметричной моде, у = с,/с, х = с2/с,, Н = л,л/2 = ыл/(2с). Левую часть (1) преобразуем, используя разложение .(дс м с(1+с~/3).
Для симметричных волн (1) примет вид тц 4у(1-х) — 1 — ((4у(1-х) — 1) (2у-х-1) + у — х~3 — = О. (2) Прн Н -~ О отсюда находим у = (4(1-хЦ илн с = с м 2с х -1 л х (1 — с /с ) 2. Предельное значение с называют скоростью продольной волны в тонкой пластине. (1оскольку с от частоты л не зависит, фазовая н групповая скорости в этом приближении совпадают. Для антиснмметрнчных волн дисперснонное уравнение; ц2 ц2 г ц2 1 4(1-х) -3- у и (4х — 3) 3- у — 1ь1 э -3- х~ = О. Приближенное решение (3) при Н .+ О у = [3(1-х) Н ~ (4) отвечает классической теории Кирхгофа для тонких пластин.
Для квадратов волнового числа и фазовой скорости изгнбных волн из (4) следуют выражения л = 2~/3 й /Ь, с = ылс /21Г3'. 2 ° 2 Групповая скорость в этом приближении с = ~йо/г(й = 2с— х,а и и вдвое превосходит фазовую. 8.3.9. Найти точное решение динамических уравнений теории упругости, описывающее распространение гармонических крутильных волн в круглом изотропном стержне со свободной границей, имеющем произвольный радиус и бесконечную длину. Решение. Удобно использовать систему координат, соот.
встствующую форме границы В этом случае проще добиться выполнения граннчных условий В цилиндрической системе координат г, 12, г уравнения имеют вид д и дТ 1 дТ дТ Т -Т г гг 1 кк г2 гг яя д и дТ 1 дТ дТ 2Т д(2 г +7 % + г + г д и дТ дТ дТ Т 204 а деформации связаны со смеШеииями соотношениями: ди, , и , ди, ди и (4) .=ы,.= (". —,,) =-,," —, Для изотропных твердых тел закон Гука в цилиндрической системе координат имеет такой же обший вид, что и в декартовой: Л+2)г Л Л Л~-2)г Л Л О О 0 0 0 0 О 5 О 5 О 5ге 0 25 0 25 и 25, Л 0 0 Л 0 0 Л+2)г 0 0 0 )г 0 о о и 0 0 0 Т / Г Т ег Т ге (9) (12) и = Сгехр((йг-!ы)), Ю Считаем, что ось г совпадает с осью стер окажем, что уравнения (1) — (5) допускают сушествоваиие в стержне решения в виде крутнльных волн, для которого отлична от нуля лишь одна компонента вектора смешений и„Поиск осесимметричного решения =О, ар~О, (б) для которого производные по углу обращаются в нуль, приводит к равенствам: отличны от нуля лишь следуюшне деформации и напряжения: При выполнении условий (6)-(8) уравнения (1) и (3) удовлетворяются тождественно, поскольку все входящие ц ннх члены обращаются в нуль, а уравнение (2) сводится к виду ди ди 1ди и д и 2 2 2 сгдг2 дг2 г г г2 дг2 Поиск решения уравнения (9) в виде гармонических волн и = и ехр(Мг-иМ) (10) приводит к уравнению относительно и = и(г): ди 1ди Г2 йз 11 (11) С помощью (11) несложно убедиться, что простейшим решением уравнения (9) является решение, соответствующее равенству й= й,: с-амплитудная постоянная.
используя (8), несложно убедиться, что для этого решения нормальная компонента упругих напряжений Т всегда равна нулю, т е. решение (12) удовлетворг ряет граничным условиям свободной поверхности и существует в круглых стержнях любого радиуса. Соответствующую этому решению волну называют нулевой крутильной модой. Скорость ее распространения совпадает со скоростью объемных сдвиговых волн и от частоты не зависит, т.е. волна является бездисперсионной, и ее групповая скорость равна фазовой. Амплитуда угловых перемещений для нее пропорциональна радиусу, а и = О и и = О, т,е смещениям в этой волне соответствуют повороты г каждого поперечного сечения стержня как целого вокруг оси г.
При й я й, решение уравнения (11), ограниченное на оси цилиндра, записывается через функцию Бесселя 1-го порядка: и = Су,(8г), (13) где (3 = й - й~. Подставляя это решение в граничное условие Т (г=а) = О, где а — радиус стержня, и воспользовавшись со. р~ отношением Ы (х)/Ыг = Х (г) — 7 (г)/г, получаем дисперснонное уравнение Ба То((3~) - 2у1((3о) (14) С помощью таблиц значений функций Бесселя можно показать, что уравнение имеет решения Ва = ги, где т-набор положительных чисел; первые члены этого, ряда: т = 5,1, т = 8,4 и ! ' ' 2 т.д. Этим значениям соответствуют высшие крутильные моды В отличие от нулевой высшие моды обладают дисперсией.
В предельном случае тонкого стержня существует лишь нулевая безднсперсионная крутильная мода, С увеличением радиуса стержня высшие моды возникают пороговым образом, так что, чем толще стержень, тем большее число мод в нем существует. Свойства крутильных мод в круглом стержне сходны со свойствами БН-волн в пластине.
8.3.10. Построить решение, аналогичное решению задачи 6.3.9, для случая распространения в стержне "продольных" (аксиально-радиальных) волн, поля которых симметричны по углу, а угловая компонента вектора смещения отсутствует. Решение. Данную задачу можно решать, используя уравнения в цилиндрической системе координат. Однако для пояснения принципа разделения уравнений движения, которые для радиаль- ной н акснальной компонент оказываются связанными, целесообразно использовать иной подход, основанный на представлении уравнения Ламе в векторной форме. Это уравнение, исходя из (1 1.7) и известного из векторного анализа тождества йтаб йчи и Ьи+ го1 го1 и, (1) (3) (6) где а = й — й, А -произвольная амплитудная постоянная.
2 2 2 Подействуем иа уравнение (3) оператором го1. В результате р д†'" + сэ го1 го1 Й = О. (8) дг2 Это уравнение с помощью тождества (1) можно преобразовать к волновому уравнению, в которое, однако, будет входить лапласиан не от скалярной, а от векторной функции Й Для нахождения вида векторного уравнения (8) при его записи для компонент й в цилиндрической системе координат предпочтительней использовать само уравнение (8), ие преобразуя его в волновое. В цилиндрической системе координат для го1 ы справедли- запишем в виде д и р — = (Л-г2)з) вагаб йч и -)г го1 го( и (2) д( илн, вводя обозначения 8 = йч и, гч = (1/2) го1 и, д и р — (Л.г2)г) пгаб 6 — 2)г го1 Й д( Скалярная величина 6 имеет смысл относительного изменения объема элемента среды при его деформнровании, а вектор Й характеризует поворот этого элемента.
Для гармонических волн из уравнения (3) получаем и = -(1/(г ) йтаб 6+ (2/й ) го1 гг. (4) Для того чтобы определить вид решения для 8, подействуем на уравнение (3) оператором йч и воспользуемся тождеством (1). В результате получаем волновое уравнение д О/д( = с,б6. (5) В цилиндрической системе координат для гармонических осесим- метрнчных волн, бегущих вдоль оси г (и и ехр (гйа — гьх)), О уравнение (5) принимает вид д6 1д6 д2 гог — — е(й-й )8 = О. Решение уравнения (6), ограниченное при г О, выражается через функцию Бесселя нулевого порядка: 8 = А У (аг) ехр (йг-(ьк), (7) во представление г! ! г»р г го1 й 1 д д д (9) у гы ы г Й г Поскольку рассматриваются осесимметричные волны (д/дй = О), (121 (14) и = — А У (йг) — — В У (Вг) й 2(й го 22 1 й2 1 (17) Граничные условия на свободной поверхности цилиндра при г = а в соответствии с (1.1.5) можно записать в виде ,ди ди ди Т, = цЯ+у-2) О, Т, = й6+ 2(зд — ' = О.
(18) для которых и = О, то из (9) следует, что отлична от нули только одна компонента вектора Й (10) Компоненты вектора го1»з в этом случае принимают вид ды -э 1 4го1 Й) — — В-Й, (го1 ь») — О, (го1 й) — — — В-Й-, (11) т.е. у го1 й отличны от нуля те же компоненты, что и у век- тора смещения. Поэтому согласно (9) у вектора го1 го1 ьь кав и у ьх не равна нулю лишь угловая компонента э д»э д г(д(™ )т (го( го1 й) (э д 2 ог 1г ог Подставляя (12) в (8), для гармонических волн получаем ды ды ы 2 Йе Й- Й (22»»2)»,» — О дг2 г г г2 с 4» (13) Ограниченное прн г = О рещение уравнения (13) имеет вид »э = В У (Вг) ехр(»йг — »ы!), »р 1 где 7 -функция Бессели первого порядка, В = й, — й, В— 2 2 2 1 амплитудная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
