Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Общий вид уравнения движения при наличии в кристалле пьезоэффекта не изменится: рд и /д~ = дТ../дх (1) Изменится закон Гука, который будет включать упругие напряжения, создаваемые за счет пьезоэффекта электрическим полем, Тг = сдйгдй,— е,„Е, где е — пьезомодули, Š— напряженность электрического подй ля. Уравнения (1), (2) необходимо дополнить системой уравнений Максвелла. Скорость акустических волн значительно меньше (в 10 раз) скорости электромагнитных волн.
Поэтому при раса четах электрических полей, сопровождающих акустические волны, скорость электромагнитных волн можно считать равной бесконечности. Это приближение носит название квазиэлектростатического и эквивалентно пренебрежению вихревой частью элект ических полей, т.е. (2) Р Е, = — дФ/дх,, (3) где Ф вЂ” потенциал электрического ноля. В этом приближении из всей системы уравнений Максвелла достаточно использовать лишь условие отсутствия в диэлектрике свободных носителей заряда дс)./дх = О, г где 0 — индукция электрического поля, соотношением (4) связанная с Ей и 5 й (5) д й дй )й' 219 Подставляя сюда компоненты теизора Кристоффеля, рассчитанные для кубического кристалла с матрицей упругих модулей (2) по формуле (1.7), 2 2 2 2 Г4 спл1 + с44(лзэлз) Г2 спп2 + с44(п1+пз) Вид уравнений состояния (2), (5) определяется выбором независимых переменных и термодинамического потенциала.
Для уравнений (2), (5) независимыми являются поля 3, и Ег, а термодинамический потенциал записан в виде (6) Поля Т и 0 связаны с термодинамическим потенциалом (6), б называемым электрической энтальпией, соотношениями Т.. = дО/Я, 0 = — дН/Е (Т) О д' ь ь' Этим объясняется равенство модулей прямого пьезоэффекта в (5) модулям обратного пьезоэффекта в уравнении (2).
Уравнения (1) — (5) сводятся к уравнениям относительно смещения и. и потенциала Ф, которые длн плоских гармонических ! объемных воли, соответствующих решениям и. = ивсхр(нйих.-гыГ), Ф = Ф ехр(Гйи,х;ГыГ), (8) принимают вид 2 с. ил и„— ра и, +е ил„Фо = О, (й ) — с.ил Ф +е. и/г и„= О. Исключая отсюда потенциал Ф, получаем уравнение Кристоффеля для пьезоэлектрических кристаллов (Г. + е.е„/с — рытб.„) и„= О, (1О) где с = с. ил„, е. = е,. и.и . Свертку е пьезомодулей с гь~мгсв)х' направляющими косинусами называют пьезоэлектрическим вектором.
Величина Г' = Г, ь е ем/с играет роль эффективного гь м ~м тензора Кристоффеля для пьезоэлектрической среды. Это выражение явлиется основанием для введения эффективных так назы- ваемых ужестченных модулей упругости (11) При использовании ужестченных модулей задача для пьезоэлектрической среды сводится к задаче для чисто упругой среды. Но эквивалентность решений при таком переходе выполняется лишь для объемных волн в безграничной среде и нарушается прн рассмотрении ограниченных сред. 6.4.8. Построить решение задачи о распространении вдоль свободной поверхности в направлении оси к пьсзоактивных по- верхностных сдвиговых волн, поляризованных вдоль осн г, в гексагональном пьезоэлектрическом кристалле класса бгиги у- 220 среза.
Оценить в длинах волн среднюю глубину локализации этих волн (в литературе их принято называть волнами Гуляева— Блюстейна) на металлизнрованной н свободной поверхностях сульфида кадмия (К = е //с с4 — — 0,188; е /со = 9,02) в пренебрежении его проводимостью и пьезокерамики РХТ-4 (К = 0,71; с/с = 730). о Решение. Уравнения состояния (7.2), (7.5) прн использовании свертки индексов (1.4) записываются в форме Т =с 5 — е„Е, Д.=с.
Е -е75. (1) Для кристаллов класса бгпгп матрица упругих модулей такая же, как и для поперечно-изотропных сред (см.(5.1)), а матрицы пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей имеют внд 0 0 0 0 е1 0 0 0 0 е 0 0 е13 егз езз О О О 11 0 е„О 0 0 с (2) и и(у) и(у) (Ф) = ~Ф )ехр(йх-М), (Ф )ехр(ху) (4) приводит к уравнениям (с(к -й )~ры2) и+ е(к -й ) Ф = О, 2 2 2 2 (5) е(к-й)и — с(к-й)Ф = О. Из условия нетривиальности решения системы уравнений находим возможные значения постоянной затухания волны в глубь крис~алла к: к - й н к - «й -я, где й ьгр/(с(1эК ))в /2 2 2 2 2 1 2 г Подставляя (2) и (5.1) в систему уравнений (7.1Н7.5), мож- но убедиться, что для волн, распространяющихся в плоскости ху гексагональных пьезокристаллов с плоским вдоль оси г фа- зовым фронтом, система исходных уравнений (и граничных усло- вий) распадается на две несвязанные системы.
Одна из них описывает непьезоактивные волны, поляризованные в плоскости ху, и совпадает с уравнениями для изотропных сред. Вторая система уравнений, описывающая пьезоактивные сдвнговые вол- ны, поляризованные вдоль оси х, имеет вид р(д и/д! ) = сЬ и~-еЬ Ф, (3) — сЬ ФэеЬ и = О, где Ь = д /дх- + д /ду, с = с , е = е , с = с , и = и 2 э 2 2 1 44' 1Б' 11' х ' Поиск решения уравнений (3) в виде гармонических поверхност- ных волн (ось у направлена вне кристалла) квадрат волнового числа объемной сдвиговой волны, которая может распространяться в плоскости ху; К вЂ” коэффициент электромеханической связи, К = е /(сс).
Эти значения к соответ- 2 2 ствуют двум парциальным волнам с убывающей при удалении от границы кристалла амплитудой. Решение граничной задачи ищется в виде суперпозиции этих парциальных волн: и(у) = и, ехр(к у), Ф(у) = (еи /с) ехр(к у) э С ехр(йу), (е) где и — амплитуда механических смещений на поверхности крисп талла; С вЂ” постоянная, определяющая соотношение амплитуд парциальных волн, находится из граничных условий. Механическое смешение и потенциал электрического поля связаны для каждой парциальной волны уравнениями (5). Причем для парциальной волны с к = я амплитуда смещения, как следует из (5), равна нулю, т.е.
поле механических смещений в этом кристалле для волны Гуляева-Блюстейна является однопарциальным. К граничным условиям относятся обращение в нуль иа механически свободной поверхности нормальной компоненты тензора. упругих напряжений Т = к ди/ду + е дФ/ду и непрерывность уг нормальной компоненты индукции 0 = — с дФ/ду э е ди/ду и тангенциальной компоненты напряженности Е = — (я Ф электрик ческого поля. Вместо двух указанных граничных условий для электрических полей удобней использовать их комбинацию — непрерывность отношения У = ТЭ /Е, называемого поверхностным электрическим адмиттансом.
В качестве второго граничного условия удобно оставить условие непрерывности Е . Адмиттанс У в линейной задаче не зависит от амплитуды волны, т.е. он может служить в качестве характеристики свойств среды. Для вакуума решение уравнения Пуассона записывается в виде Ф = Ф ехр(йх-гыг'-лу), а 0 = с аФ, гле с -диэлектрическая о о о постоянная. Отсюда следует, что для вакуума у = (с . Если о' поверхность кристалла металлизирована, то в этом случае Е =О, а У=и.
к Подставляя решение (6) в граничные условия Т = О, уе 0 /Е = У прн у = О, где У вЂ” поверхностный электрический аду х миттанс внешней среды, получаем с((+К2)~/й2-йэи +ейС О, — йгеи +(с-ит)С = О. (7) с о и о Отсюда 1' = <г Š— Здр/дх о 6Р/дх Р (выражение для тока проводимости), (уравнение Пуассона), Т = с да/дз — еЕ, Р = сЕ+еди/дг (уравнения состояния), ,/й2 й2 = ЛК2Л(1 К2)(1 /7уи, (8) С = — (е/с)ио/(1-с/1У) . (9) Выражение для скорости волн Гуляева-Блюстейна несложно найти нз уравнения (8).
Для слабых пьезоэлектриков (с малым коэф- фициентом электромеханической связи) скорость этих волн мало отличается от скорости пьезоактивных объемных волн той же поляризации -отличие составляет величину порядка К . Средняя 4 глубина локализации у рассматриваемой волны совпадает с глу- биной, на которой амплитуда механических колебаний, создава- емых волной, спадает в е раз и в длинах волн Л равна у/Л = (1+К )(1-с/У)/(2пК~) . (10) В сульфиде кадмия данное отношение равно 4,6 для металлнзн- рованной поверхности и 46,7 для свободной поверхности. Приведенные соотношения применимы не только для крястал- лов, но и для пьезотекстур и пьезокерамик. Для РЕТ-4, как показывают расчеты, у/Л = 0,47 для металлизированной поверх- ности н у/Л = 347 для свободной поверхности.
6.4.9. Продольная акустическая волна распространяется вдоль оси г гексагонального пьезополупроводника. Найти зави- симость скорости и акустоэлектронного затухания этой волны от параметров среды, используя гидродинамическую модель для тока в пролупроводнике с учетом его диффузионной составляв- шей и малость коэффициента электромеханической связи. Прн какой проводимости и частоте звука коэффициент акустоэлект- ронного затухания максимален? Чему равна эта частота прн комнатной температуре для кристалла сульфида кадмия (подвиж- ность электронов проводимости )г = 300 см /(В с); диэлектри- 2 в ческая проницаемость с = 9,5 со; упругий модуль с = 9,38 10 днн/см; плотность кристалла р = 4,82 г/см ) с 11 2, 3 концентрацией свободных электронов и = 10 см ? 12 -3 о Решение. Соответствующая система уравнений имеет внд: р д и/61 дТ/дг (уравненне движения), др/61 э д)/дз = 0 (уравнение сохранения зарядов), (6) где с = с, с = с, е е, р-плотность свободных электронов, и — проводимость, 3 — коэффициент диффузии электронов.
о Дырочная компонента тока проводимости пренебрежимо мала и в этой системе уравнений не учитывается, поскольку подвижность дырок существенно меньше подвижности электронов, и и Й прямо пропорциональны подвижности, а равновесные концентрации электронов и дырок вследствие электронейтральности пьезополупроводника равны между собой. При поиске решения в виде гармонической волны, изменяющейся по закону ехр(йг-пШ), уравнения движения и сохранения зарядов с помощью остальных уравнений системы сводятся к следующим уравнениям относительно переменных и и Е: (сй -р ы )и е гйеЕ = О, (лй — цз)ейи е (о'+И с — йзс)Е О.
(1) 2 2 2 2 т о Из равенства нулю детерминанта системы уравнений (1) находим дисперсионное уравнение 2 2 й2 Ы й2~ 2 гы-,'Пй (2) 1~2% -~ / где К = е /(сс). Уравнение (2) является биквадратным уравнением относительно волнового числа й и описывает связанные за счет пьезоэффекта акустические и плазменные волны. Его решение для акустических воли в первом приближении по К2; йй) йй К2 1 "Я/ыд ' (' г) г г гчг,т — ~тюк~ где й = ы/с, с = с/р, с †скорос акустических волн в 2 О о' о ' о отсутствие пьезоэффекта; ы и и -так называемые частота релаксации проводимости и диффузионная частота, определяемые соотношениями и .
= о' /с, ы, с /3. Представляя Ьй/й в виде 2 дй йс — — — 'ейх, (4) о О где Лс /с — относительное возмущение фазовой скорости вкусо тическнх волн из-за наличия в среде пьезоэффекта, а-коэффициент акустоэлектронного затухания, находим Ь К2 1 — (ы/ыб)(ыс/ы мlы0) 'о 1 (ыс/ /цв)' йК2 с/" з (6) 1+ (~ /~~/~ ) Из (6) следует, что максимум а по частоте достигается при ы = ыо = (ы./ы,), а максимум по проводимости соответству- 1/2 ет выполнению условия ы, .= и[1 т (ы/и,) ] . В пренебреже- 2 1Л2 иин диффузией последнее условие эквивалентно равенству ы, = = ьх Для сульфида кадмия при выполнении условий задачи и = и/с = (з ел/с = 57МГц, где е = 1,610 Кл — заряд С 0 е О о о электрона, а необходимое для расчета с значение диэлектрнче- -12 ской постоянной с = 8,85 10 Ф/м.
Учитывая далее, что Э = -23 = )и йдТу(/ео, где 28 = 1,38.10, Дж/К вЂ” постоаннаа Больцмана, еВ К при комнатной температуре (ТК = 300 К), находим Э = 7,7 х х10 м/с, ы = с/л = 25,3ГГц, ыо = (ыа,) = 1,2ГГц. б.4.10. Как изменятся результаты, полученные в предыдущей задаче, если вдоль направления распространения волны приложено постоянное дрейфовое электрическое поле напряженностью Е .
При каких значениях Е коэффициент акустоэлектронного затухания равен нулю и максимален и прн каких Ео достигает максимума акустоэлектронное усиление? Решение При наличии вдоль направления распространения волны постоянного электрического поля с напряженностью Е приведенные выше выражения, как нетрудно показать, остаются справедливыми, если в них вместо параметров ыС, ы использовать эффективные значения и., и',, равные ы'. = ы./7, и', = = 2теб, где 2 = 1 — рЕ /с; скорость дрейфа электронов и равна и„= )тЕ . Из анализа формулы для коэффициента а в пьезополупроводнике с постоянным дрейфом носителей заряда . следует, что а обращается е нуль при 7 = 0 нли, что эквивалентно, при равенстве скорости дрейфа скорости звука, а максимален прн 2 = и /ые ы/и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
