Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Дисперснонное уравнение (3,1) относительно неизвестной скорости поперечной (сдвиговой) волны является уран. нением четвертой степени, что ие позволяет точно рассчитать коэффициент Пуассона. Приближенное значение в можно найти, используя близость скоростей волны Рэлея н объемной сдвиговой волны. Подставляя в формулу 1-2 ~~-2 „~~ ~~ ~~ 2 (1) 2(1-с ) вместо с значение с из условия задачи, получаем и = 0,32. Далее уточним значение с, по формуле (3.6) для с; я( ) 3 с = 0 — $~-„-) — -728- и 3,22 10 м/с.
Подстановка уточненного значения с в (1) дает и = 0,28. Сравнение цифровых значений с данными таблицы к задаче 6.1.4 показывает, что наиболее вероятным материалом является железо. Рзб ны соотношением йс М с с помощью (4) находим приближенное выражение для скорости волн Рэлея 0,875+1 125п -и На рисунке сравнивается зависимость с (и), рас- 425 Дз считанная по формуле К задаче 6.2 3 (6), с точным решением (штриховая кривая). Для построения точного решения использовалась обратная зависимость п = п(с ), которая находится точно из дисперсионного (2) 6.2.5.
Определить глубину «о (в длинах волн), на которой волна Рэлея поляризована линейно. Числовое значение рассчитать для дюралюминия (коэффициент Пуассона и = 0,34) Решение. Волна Рэлея становится линейно поляризованной иа глубине «, при которой продольная компонента вектора смещений (и в (1.14)) обращается в нуль.
Отсюда следует, что «2 2 ехр[(х-4) «] = — ~ 0 3«2 (1) или с учетом дисперсионного уравнения Х 2п(4: 2 ~~ ~~ 2~ где Л вЂ” длина рэлеевской волны. Для дюралюминия т) = 0,93, а л «о/«я м 0.19. 6.2.6. Определить характер, направление и параметры движения частиц среды на поверхности под действием волны Рэлея. Получить числовые значения для стекла с и = 0,3. Чем отличается движение на поверхности от движения частиц, находящихся ниже глубины «, определенной в предыдущей задаче? Решение.
Смешение частиц среды под действием волны Рэлея описывается выражениями (см.(1.14)) 2 с и [ехр(да) — — ехр(за)~ «е5 к 2«2 = А 2«2 ехр (Йх-Ьмг). (1) и ~ ~ — й4[ехр(ч2) — —, ехр(зх)]~ Вследствие сдвига фазы колебаний нормальной компоненты смещений и относительно продольной и на + и/2 (наличие множи- х тела у у и ) движение частиц среды происходит по эллиптиче- 2 схим траекториям: и = Р(2) соз (ыг е р), и = Ь(г) з(п (У( э р) (2) Направление вращения определяется знаком отношения Ь/а, зависящим от глубины. На поверхности выражения в квадратных скобках в (1) имеют противоположные знаки.
Отсюда видно, что отношение Ь/а положительно, что соответствует движению по эллипсу по часовой стрелке. Отношение полуосей эллипса на поверхности равно Для и = 0,3 это отношение равно 1,52. На большой глубине слагаемыми, пропорциональными ехр(дг), можно пренебречь по сравнению с ехр(зг), поскольку д ~ ж При этом знаки в квадратных скобках в выражениях (1) для и, и будут одинаковыми, т.е. знак отношения Ь/а и соответственно направление вращения на большой глубине будут противоположны тем, что имеют место на поверхности. О Изменение направления вращения происходит на глубине Ь, рассчитанной в предыду- О шей задаче.
Траектории движения частиц среды в волне Рэлея и зависимости компонент смешений от глубины иллюстрируются иа рисунке. 6.2.7. Плоская объемная волна падает под углом О на плоскую границу однородного изотропного твердого тела с вакуумом. Показать, что если эта волна сдвиговая и поляризована перпендикулярно плоскости падения, то трансформация в другие типы волн отсутствует и коэффициент отражения, определенный через отношение смещений в падающей и отраженной волнах, равен единице. Решение. Как и в задаче 6.2.1, считаем, что твердое тело занимает полупространство г я О.
Плоскость падения считаем совпадающей с плоскостью хг. Смещения в падающей волне и = С ехр1й х з1 п6 э й г созΠ— ГыГ) ! (1) Подстановка (1) в (1,9) показывает, что волна 5Н-поляризации не связана в граничных условиях с волнами, поляризованными в плоскости падения. Поэтому при отражении возбуждается лишь волна той же поляризации, что и исходная, вида и = ЙС ехр(й ха(п6 — й гсозΠ— йМ), Д [ ! (2) где )7 — коэффициент отражения.
Подстановка (1) и (2) в граничное условие ди Т =идя=о при г = О дает Й = 1. 6.2.6. Найти коэффициенты отражения н трансформации в волны других типов (через отношение амплитуд смещений) в (2) (3) и — = созВ ехр(й г созВ ) — )г соьВ ехр(- й гсоьд) ч и., г с ю и ю ! э Т ь(пВ ехр(- й гсоьВ ), где и †амплиту падающей продольной волны, )г †коэффицию н ент отражения, Т вЂ” коэффициент трансформации продольной и волны в поперечную. Волновой множитель ехр (й кь)п — (Ш) опущен.
Подставляя (3) в граничные условия (2) и используя соотношение случае, если в условии предыдущей задачи заменить падающую сдвиговую волну на продольную. Решение. Для выполнения граничных условий в любой точке поверхности необходимо, чтобы проекции волновых векторов, участвующих в процессе отражения волн, были на поверхности равны друг другу. Из этого условия следует, что для продольной волны угол падения 9~ равен углу отражения, а угол 6, под которым отражаются сдвиговые волны, связан с углом 9 соотношением й,ыпВ, = й,ь(пВ, или ь|пВ, = (с /сг)ь(пВ,. (1) Лучевая картина для рассматрива- г емой задачи отражения изображена на рисунке. Из граничных условий для свободной поверхности (1.19) следует, что падающая продольная вол.
в на ие возбуждает отраженную вол- 8 г ну 5гг'-поляризации, но может воз- К задача 8.28 буждать отраженную продольную волну и отраженную сдвиговую волну 5У-поляризации (волну, поляризованную в плоскости падения; 5У вЂ” ьЬеаг чег1(са1). Поэтому граничные условия сводятся к двум уравнениям: ди ди с,ди ди дгл+дх' = О, (1-2 — 2)д — +д- — ' = О. Суммарное поле смещений в полупространстве с учетом изложенного можно представить в виде и — = ь(пд ехр(й гсоьд) + )г ь(пВ ехр(- й г соь9) + и~о + Т„соь9 ехр(- й,г соьд,), 1 — 2(с,/с2) ь(п В = соь(29,), (4) следующее из уравнения (1), получаем систему уравнений относительно козффнциентов Й н Тн.' )7, й,ып(26,) е Т, Й сов(28 ) й,ы(п(28,), (5) К„й(с/с ) сов(29!) — Т й,в(п(28,) — й(с/с ) соь(28 ). Из (5) легко найти: ып(26,)ып(26,)-(с /с,) сов (26 ) Н ° 2 2 (б) в(п(26,)ып(26,)+(с,/с,) сов (28,) 2(с,/с,) в ! п(28,) сов(26,) з!п(26 )ь(п(26,)+(с /с,) сов (26,) 6.2.9, Найти козффицнеит, отражения и трансформации в волны других типов в случае, когда в условии задачи 6.2.7 падающая сдвиговая волна по- (7) лярнзована в плоскости падения.
Сравнить результат с ответом п редыдущей задач и. поле смещений имеет вид К задаче Ь 2 9 Решение. В данной задаче и — = — совВ ехр(й г сов9 ) + Я, соьВ, ехр(-й,г совВ,)— — Тпь!пВ, ехр(-й г созВ,) (3) (5) 190 (1) — - з(пб,ехр(йг совВ)+ )7, в!пб,ехр(-й гсовВ,)+ + Т„совб, ехр(-йг совВ ) (лучевую картину см, на рисунке). Подстановка (1) в гранич- ные условия (8.2) приводит к системе уравнений )7,й,сов(29,) — Т„й, ы'п(26,) = — А,соь(29 ), Яид,ь(п(26„) + Т„Щс!/с ) сов(29,) й з(п(26 ), Из (2) получаем в(п(26,)ып(26 )-(с,/с,) соь (26,) в(п(29,)в(п(29,)~(с,/с,) соь (26 ) ( с,/с,) ь1п(46,) (4) ь! п(29 )ы п(26, )+( с,/с, ) соь (26,) Сравнивая (8,6), (8.7) с формулами (3), (4~ находим, что ы п(26 и и' н вгпп(2й,) и й = й 5(пВ = й - й 5)ПВ н й, Ы ! ! Сг й! = й! созВ1, !г й,со 6, (1) При этом соз(26) с учетом (1) преобразуется к виду соз(26,) = 1 — 2(й/й,), (2) и для с()п в итоге имеем (2 (2 -2 )(2 2 )-(2 -222) н (2 (2,-2 )(2,-2 ) (2,-222)2 При 6» 6' й» й н первое слагаемое в числителе и зиаменас с ! теле (3) становится чисто мнимым, а !ссп! = 1 Этот случай соответствует полному внутреннему отражению 5)с-волн Углы падения, при которых Вп и )т ! обращаются в нуль, по аналогии с оптикой называют углами Брюстера длн объемных акустических волн.
Соответствуюшее этим углам условие обра. щения в нуль числителя формулы (3) отличается от днсперсионного уравнения для волн Рэлея (1.13) лишь знаком перед вторым слагаемым. При возведении уравнений в квадрат (для исключения радикалов) это различие исчезает. В итоге получаем, что углы Врюстера для объемных акустических волн определяются тем же уравнением, что и скорость волн Рэлея.
Входящая в это уравнение скорость с для брюстеровских углов является (3) 191 6.2.10. При каких условиях коэффициенты )1!! и Рсс, рассчитанные в згшачах 6.2.8 и 6.2.9, обращаются по модулю в единицу, и нуль и в бесконечность. Решение. Условие !)т ( = ()сп) = 1 выполняется, если первое или второе слагаемое, входящее в числитель и знаменатель (8.6) и (9.3), обращается в нуль. Отсюда с учетом взаимосвязи углов (8.1) приходим к следующим возможным вариантам: о 1) нормальное падение объемных волн, 6, = 9 = 0; 2) падение сдвиговых 5(с-волн под углом 9 = 46; 1 3) падение сдвиговых волн под критическим углом 6' = агсз(п(с/с ), при котором отраженная продольная волна ! ' скользит вдоль Поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
