Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Решение В первом приближении решение уравнения простой волны (5 3) можно представить в виде (,т) = (т) + ,(,т), (1) "1(" т) = 2»ут У('г) У(т) = ио(т), (2) О т е связь и н и представляет последовательность квадратичного детектора и дифференцирующей цепочки Для корреляционной функции у(т) прн гауссовом входном сигнале имеем 'д (Р) = хУ(т) У(т.Р)' = ВО(О) ° 2ВО(Р) (3) С учетом связи процесса и его производной для корреляционной функции простой волны получаем В (»,р) = (»,т)(»,т+а)> = В (Р) - †" В (Р).
в ' ' ' О 2 4 ( 2 О О Так как возведению в квадрат корреляционной функции соответствует свертка спектров, то для спектра простой волны из (4) следует 2 2 2 К„(»ы) = 2й ~В (" Р) е Ф = ВО(ы)+ 4 ВО(ы)ЭВО(ы) (5) -м О 1бб (ы " о) (ы'ыо) 4 /Гсо — новые спектральные компоненты возникают вблизи нулевой частоты и вблизи удвоенной частоты ы = 2ы. о' 5.5.8. Найти усредненную по времени корреляционную функцию простой волны иа начальной стадии для входного квазимонохроматического сигнала с гауссовыми фазовыми флуктуациями ао(т) = досок(ыот ° Ят)] (1) считая известной структурную функцию флуктуаций фазы Р (р) = <(н(т~-р) — р(т)] >.
Ф (2) Описать качественно спектральный состав волны. Ответ. К (х, Р) = и ао соз(ы р) ехр ~- 2 Р (р))— с2а4к2 2 — соз(2ы р) ехр(-2Р (р)], (3) о 32с4 Лр2 % О нли, учитывая медленность флуктуации фазы, К (х,р) = 2 ао соз(ы р) ехр (- 2 Р (р)) + 1 2 Г 1 4 соз(2ы р) ехр[-2Р (р)) (4) о Нелинейное взаимодействие в этом случае приводит к появлению спектральных составляющих вблизи удвоенной гармоники сигнала. 5.5,9. В условиях задачи 5 5 8 найти спектр простой волны на начальной стадии для сигнала с ограниченными и малыми фазовыми флуктуациями (Р (р) = 2[о2 — В (р)], а к 1), считая известным их спектр д (и) Ответ 2 4+~ )г (~~о)' (~"о)]+к (~"о)'и ("'"о)] ' 22 42 + 4 (1-4о.р) (д(ы-2ыо) + 5(ы 2ыо)]+ 48 (ы-2ы ) е 4д (ьн-2ы ф 64 со 5.5.10. Найти спектр простой волны на начальной стадии дли входного сигнала с малыми амплитудными флуктуациями о(~) о( а(т)] ~~з(~о ро)' 169 считая известным спектр амплитудных флуктуаций и (ы).
Сравнить полученный спектр со спектром в случае малых фазовых флуктуаций (см. задачу 5.5.9). Ответ. 2 о г йи(»'ы) = 4 !(5(~ ыо)+б(~"ыо)+Мы ыо) йа(!в'ыо)~+ с2ы2 !»2 си ао + 44д (ы) + 5(ь 2ыо) + д(ы+2ыо) ' 4аа(и-2ыо) + 4аа(ы+2ыо)~. 64,4 !. а В этом случае в отличие от сигнала с фазовыми флуктуацнямн происходит детектирование сигнала н появление низкочастотных компонент — первое слагаемое во вторых квадратных скобках. 5.5.11. Найти спектр простой волны, используя выраженне для ее фурье-образа (см.задачу 1.16.4), считая, что на входе задан стационарный шум с характеристической функцией 82(71,72,Р) <ехр [йу Ф(т) + <> Ф(т+р))>, (1) где Ф(т) = и (»=О,т). Рассмотреть повеление спектра на начальной стадии.
Решение. Для стационарного процесса фурье-образ С(ы) и спектр мощности д(ы) связаны соотношением <С(и) С'(ы')> = п(и) д(ы-ы'). (2) Умножая фурье-образ простой волны С(»,ы) иа комплексно сопряженную величину С (»,ы') н усредняя, получаем <С(ы) С(ы')> = 2 2 2 Яв ~ыЦ», — ы' Ц»; ь2-~~— о — 8! [<вЦ»~ — Я! ~-и' [ — 2~»~ + 1). ехр( !"%!>!и'ч2) <(ч!<(ь2 0 'о здесь 8(у) = <ехр((уФ(т))> — одномерная характеристическая функцня. Переходя к интегрированию по г, = г. — г, и ~ и 2 1 1 учитывая, что м 2й )ехвь !зг", = д(ы), -м для спектра интенсивности получаем м и(»,.) — 2 Я~2~ыЯ», -~[ — )' «1— о -81~иЯ»~ — 9,)-ыЦ»~+1~ехвчдР. (3) Са 0 !70 Пусть для простоты <Ф> = О, тогда, разлагая характеристиче- скую функцию в ряд по моментам, имеем 82(в'рв,ч) = 1 — 27'од-2узод- 21Т2 во(ч) +.„, 1 2 9 (4) 9,(т) = 1 — оу о-+ ..., где о = <Ф >, Вф) = <Фо(т) Фо(т+6>.
Из (3) при х > О имеем Ф(х '4 = 2й,)Во(~) е "~ = йо(") -м где й (ы) — спектр сигнала на входе. о 5.5.12. Найти спектр простой волны, считая, что иа входе задан стационарный гауссов шум с нулевым средним и корреля- ционной функцией Во(с). Ответ. Используя выражения для характеристической функции гауссова процесса, из (11.3) получаем ехр( ы (с/хО) оОх ) 2 с 2 д(х,ы) = О, Яехр)ы [~ — ~ х2 ВО(г)~ — 1)ег~<ГС, (1) 2пы (с/с ) х где о2 = В (0) -дисперсия входного сигнала. о о Примечание. Двухточечную характеристическую функцию гаус- сова процесса легко получить, вспомнив, что для гауссовой случайной величины а справедливо равенство <е > = ехр117<а> — 2 т о ~, где о = <(а — <а>) >. Оуа Г. 1 2 21 2 2 а) ' а 5.5.13.
Считая, что корреляционная функция гауссова сиг- нала характеризуется единственным временным масштабом т = 1/ь> и имеет внд В (Ч) = о~~В(~ы ), написать выражение для спектра простой волны (см.(12.1)) в безразмерном виде. Ответ. К(х,ы) = Фо К('") " - ы/ыо х = (с/с',) ооыо' 2()2 03 а(г,(<) = 2 2 Ясара () Р(т))) — 1)е' <(7).
(2) 5.5.14. Проанализировать зволюцию спектра и корреляционной функции простой волны, представляющей на входе квазимонохроматический сигнал с корреляционной функцией Во(ч) = о Ьо(ч) соз(ь>оч), Ьо(ч) = Ь(йч), (1) где ь (г) — медленная (в масштабе соз(ыос)) функция, характе. ризующаяся масштабом Т = 1/а таким, что )Г = а /ы «1. < ° о (3) (5) Решение. Используя замену переменных (13.1), для безразмерного спектра из (13.2) получаем е ' д(г,(1) = ~(ехр [г ()2 ЬО(НО) созт1~ — 1~ е е(!).
(2) 2нг 1)2 Используя разложение экспоненты по модифицированным функциям Бесселя ) (г), можно представить (2) в виде суммы спектров н на гармониках сигнала и низкочастотной компоненты: Ш а(га) = ао(га)+ 1ан(га) и 1 но( ' ) 2 Я О[ 0(~ -й 2е Кп(г й) 2 Я [гзя ЬО(Н+ соз(лт))2 ут) Поскольку Н к 1, то спектр л-й гармоники сосредоточен вблизи Я и и и в аргументах (5) можно заменить Й иа л, и тогда 2 2 а (г,а) - 2 2 ~)„[гзн ь (нт))1 е'™соз(лт)) ич. (6) -Ф Из (6) следует, что корреляционная функция может быть представлена как сумма корреляционных функций отдельных гармоник: 2 2 В (г,~) = 2 2 ) ~Рл ЬО(Нт!)1 соз(пЕ) (7) и низкочастотной компоненты. Используя разложение функций Бесселя, можно показать, что эффективность генерации гармоник на начальной стадии для шума в и! раз больше, чем для регулярного сигнала (см.
задачу 5.5.5). 5.5.15. Используя результаты задачи 5.5.14, найти выражение для низкочастотной части спектра, возиикаюшей из-за детектирования модулированного высокочастотного сигнала, и оценить ширину спектра а-й гармоники йы на начальной стадии, н считая, что на входе Ь (~) = ехр(-С д /2), Ь(т!) = ехр(-'О/2). 2 2 Решение. Для низкочастотной компоненты при г 1 (приближение простой волны) имеем ! (у) = 1+ у /4, и тогда 2 0 г21)2 ()2 КО(г'!)) ~ г»1 ~ЬО(Нт!) е е(т! ехр [ 2)' (1) 4 /4пН2 Для высших гармоник при г к 1 имеем 1 (г) г", и тогда и н йй (г,ье) ~~Ь~(Нт)) е~соз(л~) е(т) ехр~-» — — 2)-'), 2лН Дге(О) таким образом, я згл)а или Ьы Ьзгл. Прн Ьы ~ ы спект- л л л О ры гармоник сливаются. 5.5.16.
Используя решение простой волны, показать, что для стационарного шума одноточечное вероятностное распределение сохранится. Предположить, что выполняется условия зргоднчности. Ответ. Для эргодичного процесса вероятностное распределение совпадает с относительным временем пребывания процесса в интервале и, и + Ьи (см. рисунок): Ф„(и,х) = !!гп (ТЬи) !) Ы, (1) т-,й «- о Здесь Т вЂ” общая длина интервала, Ы вЂ” длина интервала, где л функция находится в промежутке и, и+ Ьи. Из-за нелинейных искажений длина каждого из интервалов будет меняться. Так как для каждой точки про- и(т,х) филя в сопровождающей системе координат Г = ! — и Ьи 2 О и — (с/с ) хи, то О Ы (х) Ы (О) + — х Ьи, (2) ее дз„( ! дз„„„!х)ч, дз„м(о) и сумма двух любых соседних временных интервалов К задаче ЬЗ,!6 постоянна: Ы е Ы = сопз(; следовательно, не меняется н л ле! вероятностное распределение.
К изменению вероятностного распределения приводит образование разрывов. 5.5.17. Найти вероятностное распределение гармонического на входе сигнала и (т) = а з!п(ьз т ч 2!) со случайной фазой, равномерно распределенной в интервале [-и,п1 Рассмотреть стадию до образования разрывов (х с х = с /сы а) и стадню 2 р О развитых разрывов (х < х ). Р Ответ. (Здесь Ьг' = иго/сьзх.) 2 )и) с Ь:г', )р(и,х) = и !(а2-и2) !'2, х х; (р(и х) = х эх, 10, ( (-ЬР, 5.5.18. Используя предельное решение уравнения Бюргерса при бесконечно малой вязкости (см.
задачу 5.3.10), показать, что стационарный непрерывный иа входе шум превращается на достаточно больших расстояниях в последовательности пилообразных ямпульсов с одинаховым наклоном, Найти скорость отдельного разрыва. (2) Решение. Пасть входной шум имеет дисперсию ОР = <и (т)> н з и О характеризуется масштабом т . Тогда характерная кривизна функции Р5 (т), входящей в предельное решение, равна Р5"(т) )уа /т. Кривизна параболы а в этом же решении равна и 1/х.
При (За х/т ъ 1 парабола а(йт,х) — плавная функция 1 в и О масштабе )з5О(1). Поэтому точки касания Р5 (1) и а((,т,х) близки к некоторым максимумам )55О(1) (см. рисунок). Поле Рво и(т,х) полностью опреде- ляется системой критиче- 1 ских парабол †параб, ! имеющих двойные точки и(тэ") $ касаи ия с (35 (1). Коорзаа' Ьер динаты центров критичез)л а а ел+а т т скнх парабол определяют К задаче 55 18 положение разрывов «, и точки пересечения критических парабол (совпадающие с некоторыми максимумами (15 (1)) определяют нули з) поля и(х,т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
