Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 25
Текст из файла (страница 25)
р 2 2,22. (4) О (2) 145 с наличием разрывов. Для 5-импульса все составляющие спектра уменьшаются как 1/х, Для У-импульса максимум спектра постепенно сдвигается в сторону низких частот; на высоких частотах спектральные составляющие уменьшаются как 1/згх, а на низких †к ьвгх . Рост спектральной плотности на низких частотах связан с параметрической подкачкой энергии при нелинейном взаимодействии высокочастотных гармоник. 5.2.16. Получить систему уравнений, описывающих эволюцию профиля простой волны, содержащей разрыв.
Решение. Получим дифференциальное уравнение, описывающее движение ударного фронта в сопровождающей системе координат. Рассмотрим разрыв, на расстоянии х имеющий координату т (х) Р (см. рисунок). Колебательнан скорость непосредственно перед фронтом (точка А) есть и, непо- и средственно за фронтом (точка В)— и . Когда расстояние увеличится на ах, точка А перейдет в А', координата которой т, = т (х) - (е/со)и! йх, 2 К задаче 8.2.!8 Здесь функция Ф описывает профиль простой волны перед раз- 1 рывом, Ф вЂ” за разрывом (Ф, -обратные к Ф! 2 функции), Три уравнения (2)-(4) для трех неизвестных т (х), и (х), и2(х) Р образуют полную систему для решения поставленной задачи. 5.2.17.
Воспользовавшись уравнениями (2) — (4) предыдущей задачи, найтн изменение с расстоянием амплитуды скачка и длительности треугольного импульса с ударной волной на переднем фронте. При х = О импульс задан так: и/и = 1 — т/Т, при О и т и Т, и = О при всех остальных т. О' Ответ. Величина скачка уменьшается, длительность растет: и 2(х) сио -!/2 Еи 1/2 — [1.— х1, Т(к) = Т [1.— х] . (1) О с ТО с Ото Поскольку количество движения сохраняется, площадь импульса и2(х)Т(х) ио)О сопя!' 5.2.18, Показать, что две попутные слабые ударные волны сталкиваются по закону абсолютно неупругого удара двух частиц; при этом аналогом массы т частицы является амплитуда и скачка и — ит аналогом скорости частицы в — скоиз и рость с(тР/е(х = †(с/2с2)(и +и ) движения фронта в сопровои 1 ждающей системе координат.
Решение. Пользуясь методами графического анализа, показываем, что две ударные волны -скачки возмущений и - и и и — и (см. ри- 2 1 3 2 сунок)-сливаются и образуют одну волну с перепадом и — и. 3 !' Тривиальное соотношение 3 1 (2 1) (3 2) есть аналог закона сохранения массы частиц: т' = т ч т . 1 2' Аналогом закона сохранения количества движения т в + тзв = т'и' будет соотношение (и -и ) — (и +и ) + (и -и ) — (и +и ) = (и'-и ) — (и+и ), е е ' , с 2 12с2 1 2 3 22с2 2 3 3 122 1 3' о О О которое представляет собой тождество. 5.2.19. По невозмущенной среде распространяется слабая ударная волна, за фронтом которой форма простой волны описы- (2) вается функцией и = Ф(тэсих/с ). Найти зависимость "амплиту- О ды" скачка от расстояния ва фронте ударной волны. Решение. Воспользуемся уравнениями задачи 5.2.18; е тй с т = Ф (и) — — их, йй= — — и.
Р ' с2 2 ат с2 2' (1) со Эдесь т (х) описывает положение разрыва в сопровождающей Р системе координат, и (х)-"амплитуду" скачка. Исключая из 2 (1) т (х) н считая х х(и ), получим нелинейное уравнение Р ,2 2 "2П-'" = ГЪ вЂ” Ф ("2). сод Решая (2), найдем общее выражение и с и) 1 (3) 2со и Константа интегрирования может быть выбрана, например, по начальной координате, х образования разрыва (см. задачи 5.2.1 — 5.2.5): х(и ) = х, где и = и (х ) †начальн ампли- 2 р' 2 2 р туда скачка (обычно равная нулю, если только передний фронт исходной простой волны н4 является отрезком прямой).
5.2.20. Пользуясь фориулой (3) предыдущей задачи, найти изменение "амплитуды" и„(х) разрыва при распространении оди- 2 ночного импульса, равного и = и з)п(ь7т) прн О я о7т я и и О и = О прн всех остальных ь7т. Решение. В данной задаче Ф 1 = ы агсз(п(и/и ), и формула (19.3) принимает вид Вычисляя интеграл, найдем )Г ~т1-(7 + с~ = — г/2, где )7 = 2 = и (х)/и, г = (с/с )ь7и х, с-койстанта йнтегрирования. Как 2 О' О О' несложно вычислить (см,задачу 5,2.4), в данной задаче г = 1 Р и разрыв начинает формироваться от нулевого по "амплитуде" скачка )7(г =1) = О. Поэтому константа с = - 1. Таким обра.
Р зом, 'амплитуда" ударной волны изменяется в пространстве по закону и (х) О при х н х, и 2 Р 2(х)/ио 2~7~-1/г (1) прн г» г =1 (или х» х ). Видно, что амплитуда разры~а Р Р при 1 и г и 2 увеличивается, достигает при г = 2 максимального значения и = и, а затем (в области г» 2) убывает как 2 О' 1/~7г . 147 5.2.21. Найти изменение длнтельностн одиночного нмпуль. са — полупернода сннусонды (см. предыдущую задачу). Решение. Подставляя решение (20.1) в уравнение движения разрыва (19.1),. находим и г д(ыт ) — — ыт = с+2 агс!д~/г-Т-2 ~г — Т. г г г ' р Поскольку фронт начинает формироваться прн г = 1 в точке = О, находим с = О. Итак, длнтельность импульса Р Т = — (г<1), Т = — «--~тг:Т вЂ” агс!ОГг-Т~ (г 1) п и 2Г ы ы и( постоянна до образования разрыва и монотонно увеличивается после образования разрыва нз-за его движения с переменной сверхзвуковой скоростью.
5.3. Нелинейные волны в диссипативных средах. Уравнение Бюргерса 5.3.1. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля (см. задачу 5.1.5), упростить линейное уравнение ди 2д и Ь ди — 2 СО 2 = 2 (1) д! дх Ро д(д х описывающее распространение звука в вязкой теплопроводящей среде. Здесь Ь =. 4т!/3+ с + к(с — с !) — коэффициент днссни Р пацан, С, э) †объемн и сдвнговая вязкость, к †теплопроводность. Найти решения полученного уравнения для сннусондального и однополярного импульсного (на входе в среду) снг- палов.
Решение. Считаем, что днсснцатнвные эффекты приводят к медленному искажению профиля, н переходим к сопровождаюшнм координатам т = ! — х/с, х = )гх Пренебрегаем членами )г, 2 О' 1 и, ...; члены же порядка )г взаимно уничтожаются. В резуль- 3 О тате остаются члены одного порядка малости )г, которые обра- зуют уравнение параболцческого типа (2) дт 2соРО Общее решение (2), отвечающее исходному возмущению произ- вольной формы и(х=О,!) = и(!), выражается с помощью функции Грина; (, ) = ~,(') ~(, -') ', !48 Для гармонического исходного возмущения и (1) = аз!п(ы() имеем и(х,т) = а ехр(- ды х) з)п(Ш) 2 (4) (6) г = (уыи х =— х О х Р— затухающую по экспоненциальному закону.
волну, Величину х, обратную коэффициенту затухания (х 1/ды2), называют характерной длиной затухания. Условие х » й означазкт ет, что амплитуда волны (4) уменьшается незначительно на расстояниях порядка длины волны А. Отношение — — (4 «! яды х 2 (5) горо еоть малый параметр задачи; он порядка отношения правой части (1) к любому из членов левой части этого уравнения. Наличие малого параметра (г оправдывает переход от (1) к (2).
Для однополярного импульса, имеющего на входе характерную длительность (о, на расстояниях 4дх/Г э 1 ширина функции 2 6(х,т) становится много большей 1, и формула (3) упрощается: и(х » (, /4д, т) = 6(х,т) )ио(т') г(т'„ — на больших расстояниях импульс (для которого интеграл (6) не равен нулю) имеет асимптотическую форму гауссовой кривой 5,3.2.
Получить эволюционное уравнение Бюргерса, описывающее медленные процессы иска>кения профиля волны из-за наличия у среды нелинейных и диссипативных свойств. Решение. Методом медленно изменяющегося профиля ранее были получены уравнения простых волн (1.5 3) и параболическое уравнение (1.2): д-„-=Вид —, д — =б —, ди ди ди д и (1) (д = с/с, д = Ь/(2с р )), описывающие эволюцию профиля „з вследствие нелинейных и диссипативных эффектов по отдельности. Поскольку эти эффекты слабые, в исходных уравнениях они описываются независимыми членами; следовательно, в упрощенное уравнение нелинейный и диссипативный члены будут входить аддитивно, в виде отдельных слагаемых.
Таким образом, приходим к обобщению уравнений (1): ди Ради дд и (2) называемому уравнением Бюргерса. Если перейти в (2) к безразмерным переменным — 8 = ыт, (3) ио 149 где и — характерное значение возмущения (например, амплитуда о гармонической волны или пиковое возмущение в импульсе), ыхарактерная частота периодического сигнала (или обратная длительность импульса), уравнение примет вид = р„,г — '. др дУ д 17 3 д82 ' (4) Здесь число Ьы 1 07 д " " '"о~о"0 = "П' = "0 П вЂ” единственный безразмерный комплекс параметров, входящий в уравнение (1) и тем самым полностью определяющий процесс эволюции. Иногда вместо Г используют акустическое число Рейнольдса Ке = (20Г) .
Можно записать Г как отношение характерных нелинейной и диссипативиой длин: 2 2 3 Отсюда следует, что величина Г оценивает относительный вклад нелинейных и диссипативных эффектов в искажение профиля волны. При Г «1 преобладает нелинейность, при Г ъ 1 — диссипация. 5.3.3.
Принимая, что коэффициент поглощения звука в воде определяется значением д = 0,6 10 с /см, а в воздухе -17 2 д = 0,5 10 с /см, оценить акустическое число Рейнольдса в задачах 5.2.5, 5.2.6, 5.2.6. Ответ. Примерно 22, 13, 300. 5.3.4. Пусть Л(х,т) — известное решение уравнения Бюргерса (2.2), соответствующее условию на границе П(х=О,т) = П (т). Найти решение, отвечающее наложению постоянного "течения" со скоростью 17 = сонэ( на исходное возмущение П, т.е.
полагая о и(х=О, т) - (70 е По('г). (1) Ответ и(х.т) " 1', э П(х т+Й'ох) (2) Скорость распространения волны П "по течению" на Ьс и (дс (7 = 2 0 0 = с(7 больше, чем по невозмущенной среде а 5.3.5. Найти стационарное решение уравнения Бюргерса, удовлетворяющее условиям симметричного скачка: и(т э -м) — и и и(т ~м) = и, Используя преобразование (4.2), по- 0' строить стационарное решение, которое удовлетворяет условиям и(т -~ -и) и и и(т -~ и) = и и и . 1 2 1' Ответ.
Стационарная волна отыскивается в виде и(х,т) = = и(т+Сх), где константа С определяется из условий при т -+ -» + и В первом случае стационарное решение имеет вид ди и и(т) = ио()» 2 (1) и описывает симметричную ударную волну, бегущую со скоростью звука. Ширина фронта обратно пропорциональна "амплитуде" скач»а и, . Полагая У, = (и(»из)/2, ио = (из-и!)/2, из (1) и (4.2) получаем для движущегося ударного фронта - '"""-"Ф Ф("О~*)) (2) Полезно убедиться в том, что скорость движения фронта слабой ударной волны (2) не зависит от его ширины и совпадает со скорсстью (см.
(2.16.2)) движения разрыва. 5,3.5. Показать, что уравнение Бюргерса заменой переменных и = д —, 5 = -~1п(/ д5 26 (1) или и = -Р-д— 25 д1п(/ (2) (замена Хопфа — Коула) сводится к линейному уравнению диффу;зии. Найти общее решение уравнения Бюргерса. Решение. Из уравнения (2.2) для 5 получаем уравнение которое после перехода (1) к (/ сводится к линейному парабо- лическому уравнению д(/ д (/ д — д —, дт совпадающему по форме с (1.2). Решение этого уравнения с условием на границе (/(х=б,() = (/ (/) запишется аналогично (1.3): 2 (/(х,т) = — )г(/о(/) ехр ~- Я) ~ с(/.
(4) С учетом замены (1) (/о(/) = ехр$55~(/)], 5~(/) = )'ио(Р) е(Р (5) цепочка преобразования (5)» (4) -» (2) дает общее решение уравнения Бюргерса — выражает поле и(х,т) в произвольном сечении х через исходное поле и (т). Приведем еше одну форму записи общего решения. Пользуясь (2), из (4), (5) имеем и Ю -! и(х,т) = Я ехр(2Б Р(т,(,х))с(/ [ )ехр [25 Е(т,(,х)~ с(/~, (6) где (7) !5! 2 Р = (55О(/) — (2 — )-, 5О(Е) = (ив(Р) !/Р. 5.3. г. На основании общего решения уравнения Бюргерса, полученного в предыдущей задаче, рассмотреть эволюцию гармо- нического исходного сигнала и (!) = и з!п(ь>!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
