Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Следовательно, третий член мал всюду, за исключением малой окрестности фокуса г = 0 размером порядка длины волны Л. Отбрасывая третий член в (2), придем вместо уравнения (1) к упрощенному уравнению ди/дг+ и/г = О. (3) 5.4.2. Получить аналог уравнения Бюргерса (3.2.2) для сходящихся сферически-симметричных волн, обобщая упрощенное уравнение (1.3) (см. задачу 5,3.2). Считать, что нелинейные и диссипативные эффекты медленно искажают профиль волны.
Ответ. щ = И дБ. э Г ехр [- Р 1 — (/ . (2) Здесь Г ды/ди — обратное число Рейиольдса (см. (3.2.5)), = дыи г — безразмерный исходный радиус фронта волны. Видо оо но, что использование уравнения (2) сводит задачу о распро. странении сферических возмущений к задаче о плоских волнах в эквивалентной среде, диссипативные характеристики которой экспоиенпиально убывают с увеличением пройденного расстояния (с ростом г, от О до м). 5.4.4. Получить аналог уравнения Бюргерса для сходящихся пилиндрически-симметричных волн. Действовать по аналогии с задачами 5.4.1, 5.4.2.
Ответ. 07" 77 ридт д з О. ди и ди д и Обозначения здесь такие же, как в уравнении (2.1). 5.4.5. Преобразовать уравнение (4.1) с помощью замены пе. ременных — — 6 ыт, ~ = 2Б~ ~1-~~1 (1) ио га о Указать смысл полученного уравнения (так, как это сделано в задаче 5.4.3). Ответ. д(/ (/д(/ Г~1 Я ~ д и (2) Видим, что уравнение (2) эквивалентно уравнению Бюргерса для плоских волн в среде, диссипативные характеристики которой убывают по линейному закону при изменении г от го до О (при 2 3- т — - (3и Б-+ д — О, ди и ди ди г г Т дт2 (1) Здесь, Б = е/с, д = Ь/(2с р ), как н в задаче 5.3.2, 5.4.3. Преобразовать уравнение Бюргерса (2,1) для сфери- чески-симметричных воли с помощью замены переменных го и =- — "-', Е= т, 5- Быиг (п-".
Оо г (1) Сравнив с уравнением (3.2.4) полученное уравнение, указать, какой смысл имеет последнее. Ответ. (2) этом Е возрастает от 0 до 2хо, где х Выи г -безразмерный исходныМ радиус фронта), 5.4.6. Найти расстояние, которое необходимо пройти исход- ной гармонической сферически-симметричной волне в среде без дисснпапии, чтобы в ее профиле образовались разрывы. Рас- смотреть сходящиеся (а) и расходящиеся волны (б).
Решение. Поскольку при Г = 0 уравнение (3.3) совпадает с обычным уравнением простых волн, координату образования раз- рыва г в исходной гармонической волне нужно находить из ч = Рыи г ((п(г/г )( = 1 (см. (5.2.4)), Случай г, < г < м О О Р О р соответствует расходящейся волне, а случай 0 < г < г— О волне, сходящейся к фокусу г = О. Расстояние )г -г ~, котор о' рое должна пройти волна, чтобы стать разрывной, равно а) )г го( о~1 — ехР ~-)т,,„п (1) б) (г -го) го(ехр пр„— — — 1], ! Видно, что для сходящихся волн (1) выполняется неравенство )г -го! < ((3ыио), т.е.
разрыв образуется на меньших раср о стояниях, чем в плоской волне. Напротив, из формулы (2) сле. дует, что (г -г (» (Выи ), т.е. для образования разрыва р а О расходящейся волне нужно пройти большее расстояние. Измене. ние темпов накопления нелинейных искажений связано с тем, что в сходящихся сферических волнах амплитуда возрастает при уменьшении г (от г до 0), а в расходящихся убывает (когда увеличивается от г до и). 5.4.7.
Определить, всегда ли может образоваться разрыв в сходящейся первоначально гармонической волне, распространяю. щейся в среде без диссипации, Решение. В пилиидрической сходящейся волне условие обра- зования разрыва согласно (Б.1), имеет вид Е = 2В«диого(1- ~~/го) - 1 (1) Поскольку 0 < г < г, максимальное значение Е достигается О' при г = О и равно 2йыи г, Если параметры на излучающей пи- О О' лиидрической поверхности выбраны так, что мыного < 1/2 Ус ловие (1) не может быть реализовано ни при каких г и разрыв при схождении к фокусу г = 0 не образуется. Для сферической волин условие (1) имеет вид (см.
(2.2)): Е = Выиог, !п(г /г) 1. Здесь ситуация обратная: какой бы малой ни была комбинация параметров (3ыи г на излучающей поверхности, найдется столь малое г вблизи фокуса г = О, где разрыв все же образуется. 5.4.8. Обобщить решение Хохлова (см. (3.14.1)) на сферические волны и проанализировать процесс формирования ударно.
го фронта в сходящейся волне с учетом влияния диссипации. Решение. Используя обозначения задачи 5.4.3 и сопоставляя обычное уравнение Бюргерса (см, (3.2.4)) н "сферическое" (см. (3.2)), придем к выражению для профиля одного периода сферической сходящейся волны: -1 [- Вь и1)э[ и В ~еь/гоЦ. (1) Ширина ударного фронта определяетси из аргумента гиперболического тангенса: 58 = — (1~6) ехр[- ~ = — [1 + г 1п †) — . 2Г фр и ! гО! и ! О гагО (2) Как следует из анализа выражения (2), при г = дыи г ь 1 функция ЬЭ (г) имеет максимум.
Это означает, что при гО ь 1 фр наблюдается явление двукратного формирования ударного фрон та. Вначале узкий фронт начинает расширяться из-за диссипа. ции. Его ширина достигает максимального значения (2Г/п)г х х ехр(1/го-1) в точке г = гпехр(1/г„-1). Затем вновь усиливается действие нелинейности и ширина фронта стремится к нулю при схождении волны к фокусу. Заметим, что требование г ~ г (см (6.1)) приводит к более сильному ограничению гп ах р (г ~ 2) на область существования эффекта.
0 5.4.9. Пользуясь квазиоптическим приближением теории дифракции и методом медленно изменяющегося профиля (см.задачу 5.1.5), вынес~и упрощенное уравнение для волновых пучков в линейном приближении. Решение Исходим из линейного волнового уравнения, записанного в декартовых координатах: дидиди!ди — ь —,+ — — — — "= О. дх' ду' д ' с'д10 0 Пусть волна распространяется вдоль оси пучка х.
В квазиоптнческом приближении обычно рассматривают гармонический сигнал. При этом полагают, что амплитуда волны' изменяется медленно как вдоль оси х (пропорциональной )ьх), так и поперек пучка (пропорциональной хГД у, /)г г): и = А(х = )ах, у = гну, г = ага) ехр(-(ьц+ йцх/с ). (2) 100 Если рассматриваются широкополосные сигналы илн распространение в нелинейной среде, где спектр сигнала обогащается гармониками, то волну нельзя считать гармонической.
Нужно предположить, что ее профиль и спектр медленно изменяются при распространении. Формулу (2) следует обобщить: и = и(т = -х/с, х = (хх, у = г)!у, г = юг). О' 1 ' 1 ' 1 (3) Подставляем (3) в (1). Члены порядка (х взаимно уинчтожаюто ся, а членами порядка (х мы пренебрегаем. В результате все 2 сохраненные члены имеют одни н тот же порядок малости (х . 1 Эти члены образуют упрощенное уравнение д и 0 д д д-д — = 2 — Ь и, Ь = — + —.
хтх'хд202 у г Для гармонических сигналов и = А ехр(- тыт) из (4) следует известное параболическое уравнение теории дифракцнн дх х ' с (5) 5.4.10. Используя метод предыдущей задачи, вывести упрощенное уравнение Хохлова-Заболотской нз нелинейного волнового уравнения (4) 161 Ьи — — — = — — —.
1 ди с ди (1) с2 012 сз дг2 0 О Решение. В предположении медленности изменения профиля волны и формы пучка (см. (9,3)) получим д (ди с ди! о 2 дт(дх 2 "дт) = 2 Ьхи' () со Это †уравнен Хохлова-Заболотской. Если пренебречь зависимостью от поперечных координат (Ь и = О), то уравнение (2) переходит в уравнение простых волн (1.5.3). Если пренебречь нелинейностью (с = 0), то уравнение (2) переходит в уравнение (9.4) линейной теории дифракцнн. Таким образом, уравнение (2) описывает волну при одновременном учете нелинейных и днфракцнонных эффектов. 5.4.11.
Действуя по аналогии с задачей 5.3.2, получить выражение для безразмерного комплекса параметров †чис Ь1, позволяющего оценить относительный вклад нелинейных и дифракционных эффектов в искажение волны. Решение. Пусть на входе х = 0 сигнал описывается функцией и(х=О,!) = и, )(г/а) Ф(ы!). (1) Здесь г = (у, г) — координаты в поперечном сечении пучка, ив характерная ширина пучка; и, ы — характерные амплитуда и ча- О' 6 Акустика в задачах стога. Имея в виду функцию (1), перейдем к безразмерным переменным вида (3.2.3): (4) (5) (г' и/и, 9 ыт, х рыи х = х/х г (1 г/а.
(2) о о = р'' Уравнение (10.2) сведется к форме б ~Ю (,Ю~ А1 (/ (3) Здесь Ь -оператор Лапласа по нормированным координатам Р<. Единственный комплекс параметров, входящий в (3), зто число з Ф = „г г 2„2 Моаг "о Запишем У как отношение нелинейной н дифракциоиной длин: (5) "диф ыа /(2с ) те, прн 1У « 1 преобладает нелинейность, при А1 и 1 — дифракция. 5.4.12. Рассчитать в линейном приближении изменение характеристик круглого гауссова пучка гармонических волн и(х=о,г,!) = и ехр(- гг/а ) з(п(ыГ) (1) вследствие дифракции. Решение. Для пучков с круглым поперечным сечением уравне. иие (9.4) примет вид (2) Решение (2) с граничным условием (1) можно получить методом разделения переменных или методом интегральных преобразований Можно также проверить непосредственной подстановкой, что решение (2) имеет вид дн г гг а2 т г г2 к/х к ди (3) где х = ыа /2с — характерная дифракциоииая длина.
Решение 2 диф О (3) описывает превращение исходной плоской волны в сферичес ки расходящуюся. Амплитуда на оси пучка уменьшается по закону и = и,(1+ хг/к ) . (4) При х э х амплитуда убывает как и и и х . Ух-по закодиф мак о диф' ну к сферически расходящейся волны. Ширина пучка растет: а(х) а(1 + хг/хг )1 2. 162 (3) и = А (х) з(п (ыт~р (х)1+ А (х) з1п [2ыт~-р (х)). Очевидно, что вторая гармоника, рождающаяся в среде, имеет амплитуду А, малую по сравнению с А. Поскольку частота При х э х ширина увеличниается с ростом х линейно: а(х) и диф м ах/х, и все излучение локализуется в конусе с углом при лиф' вершине ЬВ = 2а(х)/х = 2а/х 4с /(ыа). Заметим также, киф что фаза волны на оси пучка приобретает фазовый сдвиг агс1п (х/х ).
Это означает, что скорость распространения киф ' волны на оси пучка несколько выше, чем скорость плоской волны той же частоты. При увеличении частоты и исходного сигнала (1) процесс дифракцни ослабевает и все отмеченные явления проявляются на больших расстояниях. 5.4.13. Пользуясь решением (12.3), показать, что широкополосный сигнал (импульс) изменяет свою форму в дальней зоне (х ъ х ). Дифракция приводит к дифференцированию формы хиф профиля на осн пучка. Решение Каждая из гармоник исходного сигнала описывается выражением (12 3), которое при х э х, г = О принимает вид диф' и = и (ы) —" з1п(ьгт - й) = 2 — — „- ио(ы) соз(ыт) (1) Форма сигнала определяется суммой всех гармоник (1): м м а2 а д 2г х ) иа(~) ысоз(ь'т) ~~ ~~ х дт .'ио(ы) з1п(ыт) ~ы' (2) со» сох т о Последний интеграл есть исходная форма импульса; м ~ио(а) з1 п(ыт) Ны и(»=0, т). Сравнивая (3) и (2), находим и(хвх «~,т) = 2 — — 3=" н(»=О,т), (4) т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
