Диссертация (1026019), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Форма оси кольца в идеальном и возмущённом состоянии:________идеальная форма кольца _ _ _ _ _ _ возмущённая форма кольца64Рисунок 2.3Матрицы A и B записываются в виде⎛ 0 æ03⎜0⎜ −æ3 0⎜0−10A = L⎜00⎜ 0⎜00⎜ 0⎜ 00 1 EY3⎝⎛⎜⎜B = L ρF ⎜⎜⎜⎜⎝0000000000000000001000000100000000000æ3−æ30000000000 ⎞⎟0 ⎟⎟0 ⎟,0 ⎟⎟1 ⎟0 ⎟⎠(2.58)⎞⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎠где L = ds dϕ – параметр Ламе – масштаб, связывающий дугу s и угловуюкоординату ϕ (Рисунки 2.2, 2.3).Переходкугловойкоординатепроизводитсядлятого,чтобызафиксировать интервал интегрирования в (2.16) – иначе пришлось бы65привлекать более сложную технику вычислений, связанную с возмущениемграниц области [123].В общем случае все геометрические параметры, а также матрицы A и Bпредставим асимптотическими рядами по степеням малого параметра εξ() () ( )L (ϕ ) = L + ε L (ϕ ) + ε L (ϕ ) + …;A (ϕ ) = A (ϕ ) + ε A (ϕ ) + ε A (ϕ ) + …;B (ϕ ) = B (ϕ ) + ε B (ϕ ) + ε B (ϕ ) + … .ξ (ϕ ) – радиальное отклонение точек осевойξ ϕ = εξ1 ϕ − α φ + ε 2ξ2 ϕ − α φ + …;0(ϕ − α ) = 0;φ2012(2.59)2010122где2линии неидеальногорезонатора от идеального кольца (функция несовершенства);α φ – угол взаимного расположения главной оси формы колебаний иотсчётной оси формы несовершенства (Рисунок 2.4).Рисунок 2.4:........

– форма идеального кольца; _____ – форма неидеального кольца;_ _ _ – форма колебанийРассмотрим сначала идеальный кольцевой резонатор, для которого имеемL0 = R,æ3 =01,R(2.60)66где R – радиус осевой линии кольцевого резонатора.Приняв в силу замкнутости кольца перемещение u2 пропорциональным0coskϕ [137], находим из (2.56) с учётом (2.60) собственный вектор исобственную частоту для идеального кольца.Собственный вектор y0 и вектор v0 сопряжённого решения дляидеального кольца имеют вид:()⎛k2 k2 − 1⎜ 2EY3coskϕ⎜ R32k +1⎜⎜⎜ − EY3 k k 2 − 1 sin kϕ⎜R3⎜EY 2y0 ϕ = C ⎜⎜ − 23 k − 1 coskϕR⎜sin kϕ⎜⎜k⎜coskϕ⎜⎜k2 − 1⎜−sin kϕ⎜⎝kR⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛sin kϕ−⎜k⎜− coskϕ⎜⎜k2 − 1⎜sin kϕ⎜kR⎜2 2v0 ϕ = C ⎜⎜ 2EY3 k k − 1coskϕ2⎜ R3k +1⎜⎜EY3⎜ −k k 2 − 1 sin kϕ3⎜R⎜⎜ − EY3 k 2 − 1 coskϕ⎜⎝R2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠()((())()(())((где k – номер гармоники.)(())))(2.61)67Выражение для квадрата k -й собственной частоты идеального кольцазаписывается следующим образом [137]λ0 =k( ).(k + 1)2 2EY3 k k − 1ρFR42(2.62)2Для вычисления Δλ в соответствии с (2.16) необходимо найтивозмущения ΔA = ε A1 и ΔB = ε B1 матриц A и B .

Согласно (2.58) для этогодостаточно найти возмущения параметра Ламе L и кривизны æ3 .Условнорассматриваяпереходотидеальнойформыкольцаквозмущённой как деформирование и используя выражение для деформации[66], получим для возмущённого параметра Ламе:⎛dηξ⎞L = L0 ⎜ 1 ++ ⎟,Rdϕ R ⎠⎝(2.63)где η , ξ – осевое и радиальное отклонения точек осевой линии неидеальногорезонатора от идеального кольца.Следует подчеркнуть, что исходная и возмущённая формы не связаны скаким бы то ни было предварительным нагружением, то есть под η , ξпонимаются не перемещения при деформации идеального кольца в новую,возмущённую, конфигурацию под действием какой-то нагрузки, а компонентывектора, связывающего точки, принятые за тождественные.

Разумеется, выбортождественных точек на двух конфигурациях оси кольца неоднозначен. Вопросо влиянии такого выбора на результат ещё никем не исследовался (насколькоэто известно автору). Проще всего принять, что при возмущении геометрииотклонения происходят строго по радиусу, т.е. η = 0 . В этом случаеΔL = ξ .(2.64)Возмущение кривизны при этом определяется выражением [66]( )Δ æ31 ⎛d 2ξ ⎞= − 2 ⎜ξ + 2⎟ .R ⎝dϕ ⎠(2.65)68Возмущение произведения масштаба на кривизну:()( ) ( )Δ Læ3 = L0Δ æ3 + æ3 ΔL = −0d 2ξRdϕ 2.(2.66)Тогда⎡⎢ 0⎢⎢2⎢ d ξ⎢ Rdϕ 2⎢⎢ 0⎢ΔA = ⎢0⎢⎢⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢⎣−d 2ξ000000000−ξ0000Rdϕ 200000ξEY3⎡⎢⎢⎢ΔB = ρF ⎢⎢⎢⎢⎣−0d 2ξRdϕ02d 2ξRdϕ 200ξ000 0 0 ξ 0 0 ⎤⎥0 0 0 0 ξ 0 ⎥0 0 0 0 0 0 ⎥.⎥0 0 0 0 0 0 ⎥0 0 0 0 0 0 ⎥0 0 0 0 0 0 ⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥;⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.67)(2.68)Выражение (2.16) для возмущения собственного значения принимает вид2πΔλ =∫ ( v0 ⋅ ΔAy0 − λ0v0 ⋅ ΔBy0 )dϕ0TT2π.(2.69)∫ v0 ⋅ B0y0 dϕT0Дальнейшие выкладки и интегрирование выполнялись с помощьюкомпьютерной аналитики (Mathematica).

Проводя вычисления с учётом (2.60) –(2.69), получим69Δλ1=−λ0π2π∫0()⎛⎞ ξ ϕ − αφ4k 2 − 12+cos2kϕdϕ .⎜⎟2R1+k⎝⎠(2.70)()Из (2.70) следует, что только две гармоники разложения ξ ϕвозмущают λ . Нулевая (осесимметричная) гармоника изменяет λ , но неприводит к расщеплению. Расщепление возникает при возмущениях вида(0) cos ⎡2k(ϕ − α )⎤ ,ξ ϕ = ξ2kφ ⎦⎣()(2.71)(0)где ξ2k – амплитудное значение функции несовершенства.Угол α φ в (2.71) показан на Рисунке 2.4.Согласно сказанному выше из всех значений, полученных подстановкой(2.71) в (2.70) следует выбрать экстремальные значения. Очевидно, что этизначения получаются при α φ = j πΔλminλ0Δλmaxλ0(2k ) ( j = 0, 1, 2, …) и составляют(0)4k 2 − 1 ξ2k=−⋅,1 + k2 R=+24k − 11+k2⋅0ξ( )2kR(2.72).Следовательно, собственное значение расщепляется на два:(0) ⎞⎛4k 2 − 1 ξ2k⎟,λ = λ0 ⎜ 1 ± 2⎜⎝k + 1 R ⎟⎠(2.73)собственные круговые частоты неидеальной системы в первом приближенииравныpminmax⎛(0) ⎞2ξ2kΔλ4k−1⎟.= p0 += p0 ⎜ 1 2⎜⎟2p0R2 k +1⎝⎠()(2.74)Расщепление круговой частоты по отношению к частоте невозмущённойсистемы70()pmax − pmin λmax − λmin 4k 2 − 1 ξ2kψ===⋅.p0p02λ01 + k2 R0(2.75)Для наиболее распространенного в практике случая k = 2 получаетсяξ4( )ψ =3p ,R 00(2.76)(0)где ξ4 – амплитудное значение четвёртой гармоники несовершенства.Расчёт расщепления частот неидеального кольцевого резонатора былвыполнен также на основе прямого численного интегрирования системы (2.56).Сопоставлениеполученныхрезультатовпоказало,чторасхождениесоответствующих значений расщепления частоты ψ не превышает 0,1%.2.4.2.

Некруговой цилиндр с граничными условиями НавьеЕщё одним достаточно распространённым типовым УЧЭ ВТГ являетсяцилиндрический оболочечный резонатор [8, 10, 13].Некруговая цилиндрическая оболочка с граничными условиями Навье(Рисунок 2.5) допускает прямое численное решение. Это позволяет также, как вслучае кольца, использовать данную модель в качестве тестовой.Рисунок 2.5. Некруговой цилиндр с закреплениями Навье:______Невозмущенная геометрия; ________ Возмущённая геометрия71Рассмотрим,следуя[138],расщеплениечастотнеидеальнойцилиндрической оболочки с закреплениями Навье, вызванное отклонениямиформы срединной поверхности от кругового цилиндра.Условия Навье допускают решение в виде одной гармоники померидиональной координате [66, 137]:πslπs,v s,ϕ = v 1 ϕ sin()lπsw s,ϕ = w 1 ϕ sin()l( )( )( )( )()( )()u s,ϕ = u 1 ϕ cos(2.77)( ) ( ) ( )где u s, ϕ , v s, ϕ , w s, ϕ – проекции перемещения на орты естественноготрёхгранника [66].Пользуясьизвестнойсистемойобыкновенныхдифференциальныхуравнений 8-го порядка [66] для определения коэффициентов w 1 , v 1 , u 1 и() ()()заменяя в ней внешние нагрузки q1 , q2 , q3 динамическими нагрузкамиq1 1 = −u 1 p 2ρh , q2 1 = −v 1 p 2ρh , q3 1 = −w 1 p 2ρh()()()()()(),получим систему длярасчёта частот и форм колебаний неидеальной цилиндрической оболочки сграничными условиями Навье.Эта система уравнений имеет стандартный вид (2.6)()dy= A − λB y ,dϕ{ ()где y = u 1 ,v 1 ,w 1 ,ϑ2 1 ,S() (),T2 1 ,Q2* 11() ()()( ) ,M 2(1)}(2.78)T;S – сдвигающая сила;T2 – мембранное усилие в окружном направлении;Q2* – приведённая поперечная сила;72M 2 – интенсивность момента в окружном направлении;ϑ2 – угол поворота нормали в окружном направлении;λ = p2 ;()⎡2 1+ µπ⎢0−00000⎢lEh⎢11 − µ2⎢ µπ0−0000lR2Eh⎢⎢1⎢00−10000⎢R2⎢2⎢12 1 − µ 2⎛π ⎞00 −µ ⎜ ⎟0000⎢⎝l⎠Eh 3⎢A = L⎢2⎛π ⎞π⎢000−µ00⎢ Eh ⎜⎝ l ⎟⎠ 0l⎢⎢π100000−0⎢lR2⎢42⎢⎛π ⎞Eh 3 ⎛ π ⎞1⎢00000µ⎜ ⎟⎢12 ⎜⎝ l ⎟⎠R2⎝l⎠⎢2⎢Eh 3 ⎛ π ⎞0000010⎢6 1 + µ ⎜⎝ l ⎟⎠⎢⎣((⎡⎢⎢⎢⎢B = ρhL ⎢⎢⎢⎢⎢⎣000010000000010000000010000000000000000000000000)0000000000000000⎤⎥⎥⎥⎥⎥;⎥⎥⎥⎥⎦)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ (2.79)⎥⎥;⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.80)h, l, R – размеры оболочки (Рисунок 2.5);1 R2 – кривизна в окружном направлении деформированной поверхности;L – параметр Ламе (масштаб).

Для идеального кругового цилиндраL = L0 = R = const .73ВозмущенияΔLмасштабаикривизны(Δ 1 R2)возмущённойповерхности формально совпадает с аналогичными параметрами для кольца.ΔL = ξ ;⎛ 1⎞1 ⎛d 2ξ ⎞Δ ⎜ ⎟ = − 2 ⎜ξ + 2⎟ ;R ⎝dϕ ⎠⎝ R2 ⎠(2.81)⎛ L⎞d 2ξΔ⎜ ⎟ = −.Rdϕ 2⎝ R2 ⎠По аналогии с (2.16) возмущение собственного значения2πΔλ =∫ ( v0 ΔAy0 − λ0v0 ΔBy0 )dϕT0T2π.(2.82)∫ v0 B0y0 dϕT0Идеальное решение λ0 , y0 получалось путём подстановки вектора{ ()y0 = u 1 k coskϕ , v 1 k sin kϕ , w 1 k coskϕ , ϑ2 1 k sin kϕ , S 1 k sin kϕ , T2 1 k coskϕ ,()Q2* 1 k( ) sin kϕ , M 2(1)k coskϕ()}T()()()в систему (2.78) при R2 = R, L = L0 = R , врезультате чего вместо системы дифференциальных уравнений получилизадачу на собственные значения для системы линейных алгебраическихуравнений.При расчёте неидеальной оболочки несовершенство задавалось в виде( ) cos2kϕξ = ξ2k0( ξ2kвданномслучаепринятонезависящимотмеридиональной координаты), поскольку как было показано выше, именно дляэтой гармоники расщепление частоты в первом приближении отлично от нуля.Вычисление расщепления частот цилиндрической оболочки с условиямиНавье по изложенной выше методике (первое приближение) сравнивалось срезультатом, полученным прямым численным интегрированием по окружнойкоординате при следующих параметрах: модуль упругости E = 7,36 ⋅104 МПа,74коэффициент Пуассона µ = 0,17 , плотность ρ = 2210 кг/м3 (материал –плавленый кварц); радиус срединной поверхности R = 40 мм, длина l = 80 мм,толщина стенки h = 1 мм, максимальная величина отклонения радиуса от(0)номинального значения ξ2k = 0,01 мм; волновое число k = 2 .

Результатырасчётов приведены в Таблице 1.Таблица 1Прямое численноеМетод возмущенийинтегрирование(первое приближение)Собственная частота, рад/с49,963 ⋅10349,991 ⋅103Расщепление частоты, рад/с149,878149,755Как видно из таблицы, погрешность вычисления величины расщепления спомощью метода возмущений по первому приближению составляет около 0,1%.2.5. Алгоритм расчёта расщепления частот свободных колебанийнеидеальногооболочечногочувствительногоэлементаволнового твердотельного гироскопа, имеющего случайныеотклонения параметров геометрии и случайный разбросхарактеристик материалаКак уже отмечалось, современные технологии не в состоянии обеспечитьабсолютную точность изготовления таких объектов, как чувствительныеэлементы ВТГ.

Вследствие этого параметры геометрии и материала любогореального резонатора имеют случайные, как правило, малые отклонения отноминальных значений, что приводит к соответствующему случайномуразбросу значений динамических характеристик УЧЭ [55 – 59, 98].При этих обстоятельствах возможность расчётной (теоретической)оценки динамической точности упругих элементов обусловлена знанием75вероятностных характеристик случайных отклонений параметров их геометриии материала.Хотя задача получения информации об этих характеристиках являетсячрезвычайнотрудоёмкой,статистическийотносительновматериал,характеранастоящеевремяпозволяющийраспределенийнакопленсделатьслучайныхопределённыйнекоторыеразбросоввыводыосновныххарактеристик резонаторов ВТГ [55 – 59, 122].Рассмотримэтотвопросприменительнокнеосесимметричнымотклонениям формы срединной поверхности (для толщины резонаторапроблема решается совершенно аналогично).В настоящее время единственным источником исходных данных длястатистическогоанализатехнологическихпогрешностейУЧЭявляетсянепосредственное измерение конструктивных параметров готовых упругихэлементов [55 – 59, 122].

Характеристики

Список файлов диссертации