Диссертация (1026019), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Далее такие параметры будем называть проектными.Для полусферических резонаторов ВТГ к основным конструктивнымпараметрам относятся радиус оболочки R , её толщина h , радиус ножки rH ,коэффициент Пуассона µ , модуль Юнга E , плотность ρ .Сточкизренияпрактикипроектированиянаибольшийинтереспредставляет анализ влияния этих параметров на величину расщепления ψ ,вызванного отклонениями формы срединной поверхности от осесимметричнойи неосесимметричной разнотолщинностью.Рассмотрим некоторые результаты расчётов по изложенному алгоритмуна примере полусферического резонатора из плавленого кварца со следующиминоминальнымизначениямиосновныхпараметров:радиусполусферыR0 = 30 мм, толщина оболочки h0 = 0,5 мм, радиус ножки rH = 2 мм,086коэффициент Пуассона µ0 = 0,17 , модуль Юнга E0 = 75 ГПа, плотностьρ0 = 2600 кг/м3 (Рисунки 3.1 – 3.24).3.1.Спектрчастотэлементовсоболочечныхмалымиупругихотклонениямичувствительныхформысрединнойповерхности от осевой симметрииНа основе литературных данных [56, 57] для функции несовершенства(2.42) было принято:ξ s, ϕ = ( )( )0ξ2k(s − s )2(sminmax− s mincos2kϕ ,)2(3.1)(0)где ξ2k – амплитуда несовершенства по окружной координате;()s min = R arcsin rH R – значение координаты s в ножке резонатора;s max = π R 2 – значение координаты s на кромке резонатора.Нижеприведены(зависимостивеличинырасщеплениявторой)собственной частоты k = 2 от параметров геометрии (Рисунки 3.1 – 3.4) при( ) = 1 мкм.ξ2k03.53.5h = 0,3h = 0,5h = 0,7h=1ê2.52.52.0y,y,2.0R = 25R = 30R = 353.0ê3.01.51.51.01.00.5262830R,32340.50.30.4а)0.50.6h,0.70.80.9б)Рисунок 3.1.
Зависимость величины расщепления частоты от радиуса итолщины оболочки1.087рад/с31.020.81250.6мммм300.435Рисунок 3.2. 3D-изображение зависимости величины расщепления от2.22.22.02.01.81.8ê1.6ê1.6y,1.4y,изменения радиуса и толщины оболочки1.4r =1r =2r =31.21.0h = 0,3h = 0,5h = 0,7h=11.21.00.80.80.30.40.50.6h,0.70.80.91.01.01.52.0r,2.5Рисунок 3.3. Зависимость величины расщепления частоты от толщиныоболочки и радиуса ножки резонатора3.02.01.81.81.61.6ê2.01.4y,y,ê88r =1r =2r =31.21.0R = 25R = 30R = 351.41.21.00.80.8262830R,32341.01.52.02.53.0r,Рисунок 3.4. Зависимость величины расщепления частоты от радиуса оболочкии радиуса ножки резонатораКак видно из Рисунков 3.3, 3.4, радиус ножки не оказывает значимоговлияния на величину расщепления, что согласуется с результатами работы [56].Следовательно, при проектировании этот параметр может быть отнесён кразряду вспомогательных.Как следует из Рисунков 3.1, 3.2, параметры R и h относятся кпроектным,хотяхарактеризуемаястепеньихвлияниякоэффициентаминавеличинурасщепления,KψR = ∂ψ ∂RчувствительностииKψh = dψ dh , различна для различных диапазонов значений самих этихпараметров и падает с уменьшением амплитуды несовершенства.Эти выводы подтверждается графиками Рисунков 3.5 – 3.7.-0.053.52.5ê Lê-0.15KyR , Hê Lê3.0Kyh , H-0.10R = 25R = 30R = 352.0-0.20h = 0,3h = 0,5h = 0,7h=1-0.25-0.30-0.351.5-0.400.30.40.50.6h,а)0.70.80.91.0262830R,б)Рисунок 3.5.
Коэффициенты чувствительности Kψh и KψR323489На Рисунках 3.6, 3.7 показаны зависимости величины расщепления приизменении значения амплитуды несовершенства формы.y,6x 2H0Lk = 0,5x 2H0Lk = 110x 2H0Lk = 2,58êê8h = 0,3h = 0,5h = 0,7h=14x 2H0Lk = 56y,1042212x 2H0Lk ,340.350.40.5а)0.6h,0.70.80.91.0б)Рисунок 3.6. Зависимости величины расщепления от амплитудынесовершенства и толщины резонатора10x 2H0Lk = 1x 2H0Lk = 2,584x 2H0Lk = 56ê6y,y,ê8x 2H0Lk = 0,510R = 25R = 30R = 3542212x 2H0Lk ,3426528а)30R,3234б)Рисунок 3.7.
Зависимости величины расщепления от амплитудынесовершенства и радиуса оболочки3.2.ВлияниенаспектрчувствительныхчастотэлементовоболочечныхмалойупругихнеосесимметричнойразнотолщинностиРасщеплениенеосесимметричнойчастотыполусферическогоразнотолщинностьюбылометодом Рэлея в работе И.В.
Меркурьева [117].резонаторарассчитаносмалойприближённо90С целью дополнительного тестирования было выполнено сравнение сэтим результатом. Рассчитывалась полусферическая оболочка без ножки соследующими параметрами: радиус сферы R = 20 мм, толщина оболочкиh0 = 1 мм, модуль упругости E = 7,36 ⋅1010 Па, коэффициент Пуассонаµ = 0,17, плотность ρ = 2210 кг/м3.Функция толщины задавалась в следующем виде [117]:h = h0 ⎡⎣1 + εh cos4ϕ ⎤⎦ ,(3.2)где ε h – безразмерное отклонение от номинальной толщины, εh = 10−4(максимальное отклонение от номинальной толщины составляет 0,1 мкм) [117].Сравнение результатов расчётов приведено в Таблице 2.Таблица 2И.В.
МеркурьевПредлагаемый алгоритмСобственная частота, рад/с2,02⋅1041,854⋅104Расщепление частоты, рад/с0,7290,754Собственная частота, полученная в [117], выше, так как при вычисленияхиспользовался метод Рэлея, который даёт верхнюю оценку частоты. При этомзначения расщепления частоты близки (разница составляет около 3,4%).Дальнейшие расчёты проводились для резонатора со следующиминоминальнымизначениямиосновныхR0 = 30 мм, толщина оболочки hHOMпараметров:радиусполусферы= 0,5 мм, радиус ножки rH = 2 мм,0коэффициент Пуассона µ0 = 0,17 , модуль Юнга E0 = 75 ГПа, плотностьρ0 = 2600 кг/м3.Функция разнотолщинности резонатора задавалась в виде:( )()h s, ϕ = hHOM + h2k s cos2kϕ ,()Здесь h2k s(3.3)– размерная функция отклонения от номинальной толщины,91задаётся в мкм или долях hHOM .Некоторые результаты расчётов приведены в виде графиков зависимостей()расщепления второй k = 2 собственной частоты от основных конструктивныхпараметров (Рисунки 3.8 – 3.14).Расчёты проводились для двух вариантов функции разнотолщинности:(0)(0) ⋅ ⎡cos π s 2sh2k s = h2k = const и h2k s = h2k+ 1⎤⎦ .max⎣()()()0.50R = 25R = 30R = 35ê0.35R = 25R = 30R = 350.40.3y,ê0.40y,0.450.20.300.10.250.30.40.50.60.70.80.91.00.30.40.5hном,h,мм0.60.70.80.91.0hномh,, мм(0)(0)а) h2k = const = 10−4 ммб) h2k = const ,для всех hHOMh2k hHOM = 10−4(0)0.60.60R = 25R = 30R = 35êê0.50R = 25R = 30R = 350.50.4y,0.550.3y,0.450.400.20.350.300.10.30.4()0.5(0)0.60.7hном,h,мм(0.80.91.0(0)0.40.50.60.70.80.91.0)⎦hном,h,мм)в) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣0.3h2k = 10−4 мм для всех hHOM⎦()(0)(г) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣(0)h2k hHOM = 10−4Рисунок 3.8.
Влияние разнотолщинности на величину расщепления приизменении номинальной толщины и разных радиусах оболочки92hhном== 0,30,3 ммhhном== 0,50,5 мм0.4ê0.40==0,7hhном0,7 мм==11 ммhhном0.30.35hhном== 0,70,7 ммhhном== 11 ммy,ê0.45==0,3hhном0,3 мм==0,5hhном0,5 ммy,0.500.20.300.10.25262830R,3234262830R,32(0)(0)а) h2k = const = 10−4 ммб) h2k = const ,для всех hHOMh2k hHOM = 10−4(0)0.60.5hh= 0,30,3 ммном=hh= 0,50,5 ммном=0.50hh= 0,70,7 ммном=hh= 0,70,7 ммном=hh= 11 ммном=0.45hh= 11 ммном=ê0.40.3y,ê0.55hh= 0,30,3 ммном==0,5hh=ном 0,5 ммy,0.60340.400.20.350.300.126()28(0)30R,(3234)в) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,(0)⎣h2k = 10−4 мм для всех hHOM⎦2628()(0)30R,32(34)г) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣(0)h2k hHOM = 10−4Рисунок 3.9.
Влияние разнотолщинности на величину расщепления приизменении радиуса оболочки и разных номинальных толщинах⎦930.3480.3460.300.340ê0.3420.25y,y,ê0.3440.20r =1r =2r =30.3380.3360.3340.30.40.5r =1r =2r =30.150.60.7h,hном, мм0.80.90.101.00.3б) h2k = const ,для всех hHOMh2k hHOM = 10−40.91.00.400.35ê0.30y,0.418ê0.8(0)0.420y,0.60.7hномh,, мма) h2k = const = 10−4 мм0.4220.4140.5(0)(0)0.4160.40.25r =1r =2r =30.4120.4100.150.4080.3()0.40.5(0)0.60.7hномh,, мм(0.80.9)1.0в) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,(0)⎣r =1r =2r =30.20h2k = 10−4 мм для всех hHOM⎦0.3()0.40.5(0)0.60.7hномh,, мм(0.80.9)1.0г) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣⎦(0)h2k hHOM = 10−4Рисунок 3.10. Влияние разнотолщинности на величину расщепления приизменении номинальной толщины и разных радиусах ножки резонатора940.3480.346hном= 0,3hном= 0,5hном= 0,7hном=10.30hном= 0,3h = 0,5номhном= 0,7hном=10.3400.3380.3360.3341.0ê0.3420.25y,y,ê0.3440.200.151.52.0r,2.50.103.01.0б) h2k = const ,для всех hHOMh2k hHOM = 10−40.40ê0.30y,êy,hном= 0,3hном= 0,5hном= 0,7hном=10.350.4180.25hном= 0,3hном= 0,5hном= 0,7hном=10.4100.4081.0()1.5(0)2.0r,(0.200.152.53.0(0)1.01.52.02.53.0r,)в) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣3.0(0)0.4200.4122.5(0)а) h2k = const = 10−4 мм0.4220.4142.0r,(0)0.4161.5h2k = 10−4 мм для всех hHOM⎦()(0)()г) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣⎦(0)h2k hHOM = 10−4Рисунок 3.11.
Влияние разнотолщинности на величину расщепления приизменении радиуса ножки резонатора и разных номинальных толщинах95рад/срад/с0.4200.3453.03.00.4150.3402.52.50.4100.3352.02.00.40.40.61.5мммм0.6мм0.81.00.81.01.0(0)()мм1.5(0)1.0()а) h2k = const = 10−4 ммб) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,для всех hHOMh2k = 10−4 мм для всех hHOM⎣⎦(0)Рисунок 3.12. 3D-изображение зависимости величины расщепления частот отразнотолщинности при изменении радиуса ножки резонатора и номинальнойтолщины0.500.60y,0.350.50y,ê0.400.450.400.300.25R = 25R = 30R = 350.55êR = 25R = 30R = 350.450.351.01.5(0)2.0r,2.5а) h2k = const = 10−4 мм3.00.301.01.52.02.53.0r,()(0)()б) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣(0)h2k = 10−4 ммРисунок 3.13.
Влияние разнотолщинности на величину расщепления приизменении радиуса ножки резонатора и разных радиусах оболочки⎦960.450.550.350.300.250.50ê0.40y,ê0.60y,0.50r =1r =2r =3260.45r =1r =2r =30.400.352830R,32(0)0.3034а) h2k = const = 10−4 мм26()28(0)30R,32(34)б) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣⎦(0)h2k = 10−4 ммРисунок 3.14. Влияние разнотолщинности на величину расщепления приизменении радиуса оболочки и разных радиусах ножки резонатораАнализируя представленные зависимости, прежде всего, можно сделатьвывод о том, что расщепление частоты, вызванное разнотолщинностью,существенно, практически на порядок, меньше расщепления, обусловленногоотклонением срединной поверхности от осесимметричной.
Это означает, чтоуменьшение несовершенств последнего типа является задачей первостепеннойважности.Полученные результаты говорят о том, что переменность толщины померидиануувеличиваетрасщеплениепосравнениюсослучаемеёпеременнойпонеизменности в меридиональном направлении на 15 – 20%.Также,коэффициентчувствительностиKψhдлямеридиану толщины практически вдвое больше, чем для постоянной(Рисунок 3.15).При этом, на характере зависимостей расщепления от конструктивныхпараметров переменность толщины по меридиану не сказывается.97Кроме того, остаётся справедливым сделанный выше вывод о том, чтокоэффициенты чувствительности расщепления к различным конструктивнымпараметрамсущественноразличнывразличныхдиапазонахзначенийпоследних (Рисунки 3.15, 3.16).0.500.02ê Lêê LêKyh , H-0.02Kyh , HR = 25R = 30R = 350.450.00R = 25R = 30R = 35-0.04-0.060.30.40.400.350.300.250.50.60.7hh,ном, мм0.80.91.00.30.60.7hном,ммh,0.8а) h2k = const = 10−4 ммб) h2k = const ,для всех hHOMh2k s hHOM = 10−40.91.00.91.0)⎦()0.600.04R = 25R = 30R = 350.55ê Lê0.020.000.500.45Kyh , Hê Lê0.5(0)(0)Kyh , H0.4R = 25R = 30R = 35-0.02-0.040.3()0.40.350.300.5(0)0.60.7hh,ном, мм(0.80.9)1.0в) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,(0)0.40⎣h2k = 10−4 мм для всех hHOM⎦0.3()0.40.5(0)0.6h,0.7(0.8г) h2k s = h2k ⋅ ⎡cos π s 2s max + 1⎤ ,⎣(0)h2k hHOM = 10−4Рисунок 3.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
