Диссертация (1026019), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

При этом прямые измерения дают лишьпредварительные сведения. Для получения вероятностных характеристикуказанных отклонений эти данные должны быть обработаны тем или инымспособом.Алгоритм обработки, использованный нами при численных расчётах,состоит в следующем.()По результатам обмеров осевых сечений sm m = 1, 2, …, M реальныхУЧЭ и сопоставления координат соответствующих точек направляющейреального и идеального упругого элемента получаем массив значений функции( )ξ s, ϕ (2.35) возмущения формы, заданный на сетке M : s1 < s2 < … < sM ,N : ϕ1 < ϕ2 < … < ϕN{ξ } = ξ (smnТаккакm) (m = 1, 2, …, M; n = 1, 2, …, N ) .

(2.83)ξ (s, ϕ ) является периодической по окружной, ϕn ,функциякоординате, она может быть представлена рядом Фурье по ϕ . При этом, какбыло установлено выше, расщепление частоты, соответствующей волновому76числу k , в линейном приближении может быть вызвано лишь гармоникамивозмущения формы с номером 2k .Следовательно, в представлении Фурье( )∞()()()ξ s, ϕ = c0 s + ∑ ⎡⎣al s coslϕ + bl s sinlϕ ⎤⎦l =1()(2.84)()нас будут интересовать только коэффициенты a2k s и b2k s :a2k()π()π( )1s = ∫ ξ s, ϕ cos2kϕ dϕ,π −π(2.85)( )1ξ s, ϕ sin 2kϕ dϕ .π −∫πb2k s =()Для функции ξ2k s будем иметь()()()22ξ2k s = a2ks + b2ks .(2.86)( )Поскольку по результатам измерений функция ξ s, ϕ задана на сеткеM : s1 < s2 < … < sM , N : ϕ1 < ϕ2 < … < ϕN своими дискретными значениями,необходимо определить максимальные значения шагов дискретизации Δs иΔϕпомеридиональнойиокружнойкоординатам,соответственно,обеспечивающие необходимую точность задания функции возмущения формыи дальнейших вычислений с ней.Для определения этих параметров ключевое значение имеют скорости ихарактеризменения( )функции ξ s, ϕвмеридиональномиокружномнаправлениях.Как показывает анализ геометрии реальных УЧЭ, характер зависимостивозмущений формы от меридиональной координаты в пределах одной партиислабо изменяется от образца к образцу.

Это даёт основание воспользоватьсяметодом канонических разложений случайных функций [139].77Всоответствиисэтимметодомслучайнаяфункция( )ξ s, ϕпредставляется суммой [139]ξ s, ϕ = ∑ ξ ν( ) ϕ X ν s ,( )(0) ϕ( )где ξ ν0ν( ) ()(2.87)– случайная функция окружной координаты;()X ν s – неслучайная функция меридиональной координаты.При этом, в абсолютном большинстве случаев для скорости изменения( )ξ s, ϕ в меридиональном направлении выполняется сильное неравенствоL( )ξ s, ϕ∂ξ 1,∂s(2.88)где L – характерный размер по меридиану (например, длина меридиана УЧЭ).Последнее обстоятельство позволяет ограничиться в представлении (2.87)первым слагаемым0ξ s, ϕ = ξ ( ) ϕ X s ,( )где ξ(0) ϕ( )( ) ()(2.89)– случайная функция ϕ ;()X s – неслучайная функция s .Все возможные реализации такой случайной функции по s являютсяподобными кривыми, отличающимися только масштабом.

Функции ξ(0) ϕ и( )()X s заданы соответствующими дискретными значениями (2.83).Условие (2.88) обусловливает возможность аппроксимировать функцию()X s кубическими сплайнами [140, 141], выбирая интервал Δs дискретизации,исходя из разрешающей способности средства измерения геометрии УЧЭ.78Что касается дискретизации по окружной координате, то, удерживая вразложении (2.84) N слагаемых (здесь значение N определяется разрешающейспособностью средства измерения)( )N()()ξ s, ϕ = ∑ ⎡⎣al s coslϕ + bl s sinlϕ ⎤⎦l =1,получаем очевидное равенство для определения интервала дискретизацииΔϕ =π.N(2.90)Производя измерения конкретных упругих элементов и выполняявычисления по (2.85) и (2.86) в соответствии с изложенным алгоритмом,получим⎧1⎪a2k s = X sπ⎪⎨1⎪bs=X s⎪ 2kπ⎩( ) ∫ ξ ( ) (ϕ ) cos2kϕ dϕ ,()()=()1X sπ−ππ0(2.91)( ) ∫ ξ ( ) (ϕ ) sin 2kϕ dϕ ,()ξ2k s =π0−π22⎛π 0⎞⎛π 0⎞()()⎜ ∫ ξ ϕ cos2kϕ dϕ ⎟ + ⎜ ∫ ξ ϕ sin 2kϕ dϕ ⎟ =⎜⎝⎟⎠⎜⎝⎟⎠(2.92)−π−π()()1(0)X s ξ2k .π()Используя результаты обмеров (2.83) достаточно большого числаоднотипных элементов и применяя изложенный алгоритм, получим набор()значений ξ2k s(2.92), который можно рассматривать как эмпирическуюслучайную выборку генеральной совокупности, имеющей некоторую плотностьраспределения.

Вид соответствующей функции плотности вероятностей можноустановить, пользуясь известными статистическими методами [142].Цель расчёта вероятностных характеристик расщепления ψ = 2Δpсобственных частот неидеального УЧЭ состоит в определении плотностивероятностей, а также математического ожидания и дисперсии ψ по79плотностямвероятностейслучайныхнеосесимметричныхотклоненийпараметров геометрии упругого элемента.Для построения алгоритма расчёта воспользуемся методом Монте-Карло[143].

Изложим указанный алгоритм применительно к неосесимметричнымнесовершенствам формы срединной поверхности (для отклонений толщинырезонатора алгоритм полностью сохраняется).При разработке алгоритма следует принимать во внимание, что вреальных условиях из-за трудоёмкости процедуры обмеров и необходимостииметь в наличии большое количество номинально одинаковых элементов,статистическая информация о несовершенствах параметров геометрии иматериала УЧЭ ограничена.В связи с этим необходимо предусмотреть два варианта алгоритмарасчёта вероятностных характеристик расщепления собственных частот: приотсутствии априорной информации о плотностях вероятностей случайныхотклонений параметров геометрии и материала и при её наличии.Рассмотрим ситуацию, когда плотность распределения неизвестна.Пусть имеется партия K номинально одинаковых чувствительных(0)элементов, для которых измеренные значения ξ2k заключены в пределах( ) ≤ ξ( ) ≤ ξ( ) ,ξ2kmin2k j2k max000j = 1, 2, …, K .(2.93)Проводя детерминированный расчёт в соответствии с алгоритмом,(0)изложенным в разделе 2.2, получим зависимость ψ ⎛ ξ2k ⎞ расщепления ψ⎝⎠(0)(0)(0)частоты от ξ2k в интервале ⎡ξ2k min , ξ2k max ⎤ (Рисунок 2.6).⎢⎣⎥⎦(0)(0)Далее, разобьём интервал ⎡ξ2k min , ξ2k max ⎤ на равные интервалы длиной⎢⎣⎥⎦Δξ (величина Δξ определяется, исходя из разрешающей способности средстваизмерения)иопределимколичествоnγ , γ = 1,2,…, Γ80(n)( ) , попавших в каждый такой+ n2 + … + nγ + … + n Γ = K значений ξ2k1j0интервал (Рисунок 2.6).

Частота fξγ попадания в тот или иной интервалопределяется выражениемfξγ =nγK,γ = 1, 2, …, Γ(n1)+ n2 + … + nγ + … + n Γ = K . (2.94)Строя над каждым интервалом Δξ прямоугольник, высота которогоравна fξγ Δξ , получаем гистограмму, которая служит приближением к(0)(0)неизвестной плотности P ⎛ ξ2k ⎞ распределения случайной величины ξ2k .⎝⎠Рисунок 2.681Заметим,чтоврамкахданногоалгоритмадляприближённогоопределения плотности распределения расщепления ψ частоты, вообще говоря,(0)нет необходимости находить плотность распределения ξ2k .Действительно, определив nγ , γ = 1,2,…, Γ и используя зависимость( ) ⎞ (Рисунок 2.6), легко сразу определить параметры гистограммы,ψ ⎛ ξ2k⎝⎠0( )служащей приближением к плотности P1 ψраспределения случайнойвеличины ψ , в частностиfψ =nγKγ,hψ =γnγKψ γ,(2.95)где ψ γ – интервал разбиения по ψ (Рисунок 2.6);fψ – частота попадания значения ψ в интервал ψ γ ;γhψ – высота гистограммы в интервале ψ γ .γПоэтойгистограммеопределяютсяприближённыезначенияматематического ожидания и дисперсии ψ [142].Еслиплотность(0)P ⎛ ξ2k ⎞⎝⎠распределения()ξ2k0определенапутёмстатистической обработки результатов измерений параметров готовых УЧЭ,изложенный алгоритм модифицируется следующим образом.Разбиваем интервал ⎡⎣ψ min ,ψ max ⎤⎦ (Рисунок 2.6) на равные интервалы(0)длиной ψ γ .

Разыгрывая случайную величину ξ2k в соответствии с алгоритмомметода Монте-Карло [143](0)ξ2k max∫(0)ξ2k min()P x dx = E,(2.96)82(0)()где P x – плотность распределения случайной величины ξ2k ;E – случайная величина, равномерно распределённая в интервале ⎡⎣0, 1⎤⎦ ;(0)и, используя зависимость ψ ⎛ ξ2k ⎞ , получаем значения случайной величины⎝⎠ψ ∈ ⎡⎣ψ min , ψ max ⎤⎦ .Далее определяем количество nψ значений расщепления, попавших в тотили иной интервал ψ γ , вычисляем соответствующие частоты попаданий истроим гистограмму, служащую приближением к плотности распределения( )P1 ψ случайной величины ψ .Следует иметь в виду, что на практике во многих случаях плотностираспределения случайных несовершенств оказываются близкими к финитной(усечённой) нормальной или нормальной [83, 144].Физическиэтообъясняетсятем,чтопроцессформированиятехнологических несовершенств определяется довольно большим количествомпримерно равнозначных по степени влияния случайных факторов.

Это, всоответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей,определяет нормальный характер результирующих случайных величин [145].Заметим также, что, в соответствии с известным свойством нормальногораспределения, его использование при расчёте ψ даёт верхнюю границувеличинырасщеплениядлявсехнесовершенств,имеющихданноесреднеквадратичное отклонение [146].Что касается исследования влияния на расщепление собственных частотслучайных разбросов характеристик E, µ, ρ материала, то соответствующийалгоритм полностью повторяет изложенный выше алгоритм метода Монте-(0)Карло для случайной величины ξ2k .Такимобразом,изложенныеалгоритмыпозволяютопределятьвероятностные характеристики расщепления частот неидеальных УЧЭ как83непосредственно по результатам измерений случайных несовершенств ихгеометрии и разбросов характеристик материала, так и при наличии полныхстатистических данных об указанных несовершенствах.Это обусловливает возможность использования данной методики как вусловиях производства серийной продукции, так и при разработке и созданииновых типов ВТГ.2.6.

Выводы по Главе 21. Обоснованы применимость теории оболочек Кирхгофа – Лява ивозможность использования асимптотического подхода для построенияматематической модели и численного расчёта расщепления частотнеидеального УЧЭ ВТГ.2. Проведён анализ физических особенностей свободных колебанийоболочек, геометрия которых слабо отличается от осевой симметрии.Наосноверезультатованализапостроенывозмущённыедифференциально-матричные операторы в обыкновенных производныхтонкостенной оболочки с произвольными малыми отклонениями отосевойсимметрииформысрединнойповерхностиималыминеосесимметричными возмущениями толщины.3.

Разработан алгоритм численного расчёта расщепления собственныхчастотоболочечногоУЧЭ,имеющегопроизвольныеразбросыхарактеристик материала и малые неосесимметричные погрешностипараметров геометрии.Разработано программное обеспечение, реализующее указанныйалгоритм.4. Разработанный программно-алгоритмический комплекс проверен натестовых задачах.5. Разработан алгоритм численного расчёта расщепления частот свободныхколебаний оболочечных УЧЭ ВТГ с учётом случайного характера84технологическихпогрешностейпараметровэлементов и разбросов характеристик материала.геометрииреальных85ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ОСНОВНЫХ КОНСТРУКТИВНЫХПАРАМЕТРОВ ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВНА РАСЩЕПЛЕНИЕ ИХ ЧАСТОТEquation Chapter 2 Section 2Equation Section (Next)Изложенный в Главе 2 метод обеспечивает выполнение численныхрасчётоврасщепленияψчастотыпроизвольныхоболочечныхчувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов с малойнеосесимметричностью в широком диапазоне их типоразмеров, в том числе сучётом случайного характера технологических погрешностей.

Это позволяетполучитьзависимостирасщепленияотосновныхконструктивныхпараметров УЧЭ ВТГ.Наличиетакихзависимостейдаётвозможностьвыявитьобщиезакономерности влияния важнейших параметров геометрии и материалачувствительных элементов на их динамические характеристики, а такжеустановить,влияниекакихизэтихпараметровявляетсянаиболеесущественным.

Характеристики

Список файлов диссертации