Диссертация (1026019), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Следовательно, в силу (2.30) вуказанных квадратичных формах могут содержаться только следующиекомбинации тригонометрических функций:cos2 kϕ, sin2 kϕ, coskϕ sin kϕ .Так как исследуется линейная часть возмущения собственного значения,коэффициенты указанных квадратичных форм линейно зависят от возмущенийформы оболочки. Поэтому при интегрировании по ϕ ненулевыми будут толькослагаемые, содержащие гармоники формы возмущений оболочки с номерами 0и 2k . В дальнейшем нас будут интересовать только гармоники 2k , так какk = 0 представляет собой осесимметричное возмущение формы.Преобразуемсучётомполученныхрезультатоввыражениедляпотенциальной энергии деформации (2.22).После последовательной подстановки (2.30) в (2.25) и (2.25) в (2.26) в()выражении для æ появляются вторые производные функции wk s , чтоприводит к повышению порядка разрешающей системы.

С целью избежатьэтого введём в качестве новой независимой переменной амплитуду углаповорота нормали к срединной поверхности в меридиональной плоскости ϑ1(ϑ1 = t2 ⋅ ϑ = t2 ⋅ ∇ × u)С учётом (2.31) выражение для вектора ϑ (2.25) принимает вид(2.31)54()()1ϑ = ⎡⎣ t1 ⋅ ∇ × u ⎤⎦ t1 + ϑ1t2 + ⎡⎣ n ⋅ ∇ × u ⎤⎦ n2(2.32)В соответствии с (2.31) в функционале энергии (2.22) необходимо учестьпотенциальную энергию, соответствующую новой обобщённой координате, чтопроще всего сделать методом множителей Лагранжа, добавив к выражению(2.22) слагаемоеUL =2π∫ ∫ {Q1 ⎡⎣ϑ1 − t2 ⋅ (∇ × u )⎤⎦} AB sin χ ds dϕ(2.33)s 0где Q1 – множитель Лагранжа.Теперь выражение потенциальной энергии оболочки примет видU =2π∫∫s 0⎧2⎪ Eh⎡⎤Spε−2 1− µ ε ⎥ +⎨⎢2⎦⎪2 1 − µ ⎣⎩2D⎡⎤+ ⎢Sp æ − 2 1 − µ æ ⎥ +2⎣⎦+Q1 ⎡⎣ϑ1 − t2 ⋅ ∇ × u ⎤⎦ AB sin χ ds dϕ .()()(( )()()(2.34))}2.2.3.

Геометрия возмущённой поверхностиКак следует из (2.23) и (2.34), для построения функционала ГамильтонаΠ = T −U оболочки необходимо определить дифференциальные операторы навозмущённой срединной поверхности и параметры её геометрии.Исследуем геометрические характеристики возмущённой срединнойповерхности, исходя из её близости к поверхности вращения.Без ущерба для общности примем, что положение точек срединнойповерхности возмущённой оболочки определяется радиусом-вектором( )r = r0 + ξ s, ϕ n0 ,(2.35)где r0 , n0 – радиус-вектор и вектор нормали срединной поверхности идеальнойоболочки вращения, соответственно;55( )ξ s, ϕ– малое отклонение возмущённой срединной поверхности отосесимметричной формы (Рисунок 2.1).Учитывая малость возмущений во всех последующих выкладках будемудерживать только линейные слагаемые по ξ .Проводя с учётом вышесказанного вычисления, получим следующиевыражения для характеристик геометрии возмущённой срединной поверхностив линейном приближении:( )⎛∂ ξ n0∂rA== ⎜ t10 +⎜⎝∂s∂s2⎞ξ;⎟ ≈1+⎟⎠R10( )⎛∂ ξ n0∂rB== ⎜ t20r0 +⎜⎝∂ϕ∂ϕ2⎞⎛ξ sin θ0 ⎞≈r1+⎟⎟;0⎜⎟⎠r⎝⎠0( ) ⎞⎟ 1 ≈ t⎛∂ ξ n0∂rt1 == ⎜ t10 +A ∂s ⎜⎝∂s⎟⎠ A+10∂ξn;∂s 0( ) ⎞⎟ 1 ≈ t⎛∂ ξ n0∂rt2 == ⎜ t20r0 +B ∂ϕ ⎜⎝∂ϕn=t1 × t2t1 × t2≈−⎟⎠ B+20(2.36)1 ∂ξn;r0 ∂ϕ 0∂ξ1 ∂ξt10 −t + n0;∂sr0 ∂ϕ 20cos χ = t1 ⋅ t2 ≈ 0,где t10, t20, n0 – орты срединной поверхности идеальной оболочки;t1, t2, n, A, B – орты и параметры Ламе возмущенной срединнойповерхности, соответственно;r0 – радиус параллельного круга срединной поверхности идеальнойоболочки (Рисунок 2.1);θ0 – угол между нормалью к идеальной срединной поверхности и осью еёсимметрии (Рисунок 2.1);56R10 – радиус кривизны меридионального сечения идеальной срединнойповерхности.Как видно из (2.36), с точностью до малых 2-го порядка (в линейномприближении) координатные линии на возмущённой поверхности можносчитать ортогональными.Для дифференцирования единичных векторов возмущённой поверхностинеобходимо получить выражения «геометрических» угловых скоростей Ω1, Ω2[66]:Ω1 = ω11t1 + ω12t2 + ω13n;Ω2 = ω 21t1 + ω 22t2 + ω 23n.(2.37)Проводя вычисления по формулам [66], получим для компонентоввекторов Ω1, Ω2 следующие выражения:ω11⎛ cos θ ∂ξ 1 ∂2ξ ⎞1 ∂t2=⋅n ≈ ⎜− 2 0+⎟;⎜⎝A ∂sr0 ∂ϕ r0 ∂s ∂ϕ ⎟⎠ω12⎛ 11 ∂t1ξ∂2ξ ⎞=−⋅n ≈ ⎜−− 2⎟;⎜⎝ R10 R2A ∂s∂s ⎟⎠10ω13 =1 ∂t11 ∂ξ⋅ t2 ≈ −;A ∂sR10 r0 ∂ϕω 21⎛ sin θsin2 θ0cos θ0 ∂ξ ⎞1 ∂t2∂2ξ0=⋅n ≈ ⎜−+ξ++⎟;222⎜⎝⎟⎠B ∂ϕr0r∂sr0r0 ∂ϕ0ω 22⎛ cos θ ∂ξ1 ∂t1∂2ξ ⎞0=−⋅n ≈ ⎜ 2−⎟;⎜⎝ rB ∂ϕ∂ϕ r0 ∂s ∂ϕ ⎟⎠0ω 23⎛ cos θsin 2θ0sin θ0 ∂ξ ⎞1 ∂t10=⋅t ≈ ⎜−ξ+⎟.B ∂ϕ 2 ⎜⎝ r0r0 ∂s ⎟⎠2r02(2.38)В выражение для потенциальной энергии деформации (2.34) входят()градиенты и роторы векторов u, ϑ, ϑ × n .

Эти дифференциальные операциина возмущённой поверхности определим следующим образом:57⎛ ∂f⎞⎛ ∂f⎞∇f = t1 ⎜+ Ω1 × f ⎟ + t2 ⎜+ Ω2 × f ⎟ ;⎝ A ∂α⎠⎝ B ∂β⎠(2.39)⎛ ∂f⎞⎛ ∂f⎞∇ × f = t1 × ⎜+ Ω1 × f ⎟ + t2 × ⎜+ Ω2 × f ⎟ .⎝ A ∂α⎠⎝ B ∂β⎠Контрольосуществлялсяправильностиполученныхнепосредственнойгеометрическихпроверкойтензорноговеличинтождества,справедливого для произвольной криволинейной поверхности [132, 133]:()∇ × K = n × K⋅K ,(2.40)где K = ∇n – тензор кривизны возмущённой поверхности [133].В выражении (2.40) ротор тензора кривизны вычисляется следующимобразом⎛ ∂K⎞∇ × K = t1 × ⎜+ Ω1 × K − K × Ω1 ⎟ +⎝ A ∂α⎠⎛ ∂K⎞+t2 × ⎜+ Ω2 × K − K × Ω2 ⎟ .⎝ B ∂β⎠(2.41)При вычислении правой и левой частей (2.40) используются всегеометрические величины, найденные выше, что позволяет выявить возможныеошибки в описании геометрии.2.2.4. Функционал Гамильтона неидеальной оболочки иуравнения движения оболочкиКак было показано выше, в линейном приближении расщеплениесобственной частоты, соответствующей волновому числу k , может бытьвызвано лишь гармониками возмущения формы оболочки с номером 2k .

Всоответствии с этим выражение для функции возмущения формы принимает вид( )()()ξ s, ϕ = ξ2k s cos2k ϕ − α φ ,где α φ =(2.42)πj, j = 0, 1, 2, 3, ….2kПодставляя в (2.23) и (2.34) выражение (2.30) для вектора перемещений и58используя выражения (2.36), (2.38) и (2.42), можно записать функционалыпотенциальной энергии деформации и кинетической энергии оболочкиследующим образом()U = ∫ ΦU s,uk ,vk ,wk , ϑ1k , uk′ , vk′ , wk′ , ϑ1k′ ,Q1k , ξ2k ds ,s((2.43))T = λ ∫ ΦT s,uk ,vk ,wk , ξ2k ds .s(2.44)Здесь и далее штрихом обозначена производная по s .Объединяя (2.43) и (2.44), получим для функционала действия поГамильтону оболочки [134]()Π = ∫ L s,uk ,vk ,wk , ϑ1k , uk′ , vk′ , wk′ , ϑ1k′ ,Q1k , ξ2k ds ,sгде()L = λΦT s,uk ,vk ,wk , ξ2k −((2.45)(2.46))− ΦU s,uk ,vk ,wk , ϑ1k , uk′ , vk′ , wk′ , ϑ1k′ ,Q1k , ξ2k .Подынтегральноевыражение(2.46)весьмагромоздко.Дляеговычисления был разработан специальный программный комплекс «Operator»,позволяющий с использованием компьютерного пакета Wolfram Mathematicaосуществлять в аналитическом виде все необходимые преобразования.Система уравнений Эйлера для функционала (2.46) имеет вид⎧ d ⎛ ∂L ⎞ ∂L⎪ ⎜⎟ − ∂u = 0;ds∂u′⎝⎪k⎠k⎪ ⎛⎞⎪ d ∂L − ∂L = 0;⎪ds ⎜⎝ ∂vk′ ⎟⎠ ∂vk⎪⎪ d ⎛ ∂L ⎞ ∂L⎨ ⎜⎟ − ∂w = 0;ds∂w′⎝⎪k⎠k⎪ ⎛⎞⎪ d ⎜ ∂L ⎟ − ∂L = 0;⎪ds ⎝ ∂ϑ1k′ ⎠ ∂ϑ1k⎪⎪ ∂L = 0.⎪ ∂Q⎩ 1k(2.47)59Последнее уравнение в (2.47) является геометрическим и выражает собойгипотезу Кирхгоффа.Для преобразования системы (2.47) к стандартной форме Коши введёмновые переменные, имеющие смысл внутренних силовых факторов:T1k B =*Q1kB∂L;∂uk′∂L=;∂wk′*S1kB=∂L;∂vk′∂LM1k B =.∂ϑ1k′(2.48)Аналитически разрешая с помощью комплекса «Operator» систему (2.47)– (2.48) относительно производных основных неизвестных и исключаядополнительную переменную Q1k , получим разрешающую систему уравненийв стандартной формеdy= Ay − λ By,ds(**где y = uk , vk , wk , ϑ1k , T1k B, S1kB, Q1kB, M1k B(2.49)).TОператоры A0 и B0 идеальной оболочки получаются из A и Bподстановкой ξ2k = 0 .

Соответствующие возмущения ΔA и ΔB операторов A0и B0 вычисляются какΔA = A − A0;ΔB = B − B0.Для контроля матрицы ΔA используется условие симметрии (2.10).Контроль матрицы ΔB осуществляется с использованием выражения длякинетической энергииT =λ Ty ⋅ Byds .2 ∫s(2.50)Из равенства выражений (2.23) и (2.50) вытекает, что все элементыматрицы B нулевые, кроме трёх, которые связаны с перемещениями60∂2 ΦTB5,1 =∂uk2∂2 ΦTB6,2 =∂vk2;;(2.51)∂2 ΦTB7,3 =∂wk2Приведём ненулевые элементы матрицы B для ρ = const , разделив их наидеальную и возмущённую составляющие.(B )0 5,1( )( ΔB)( )= B06,2( )= B07,3= h ρr0(2.52)⎛ 1sin θ0 ⎞1ξ2k s h ρr0 ⎜+;2r0 ⎟⎠⎝ R10()(2.53)= − ( ΔB) ; ( ΔB) = ( ΔB) .Компоненты матриц A и A ( ΔA = ε A ) приведены в Приложении П.1.ΔB5,1=6,25,10Полученныематрицы7,315,11A0, ΔA, B0, ΔBявляютсяосновойдлянахождения расщепления частоты произвольной оболочки вращения свозмущённой геометрией срединной поверхности (2.16).2.3.

Возмущённый матричный оператор тонкостенной оболочки вслучае малых неосесимметричных возмущений толщиныПрименительно к малым неосесимметричным возмущениям толщиныоболочки результаты проведённого выше анализа сохраняют силу.В соответствии с этим возмущённая величина представляется в виде:( )()()h s, ϕ = h0 + h2k s cos2k ϕ − α φ ,(2.54)где индексом "0" обозначены величины, соответствующие идеальной оболочке61вращения, индексом "2k " – малые возмущения соответствующих параметров;αφ =πj, j = 0, 1, 2, ... .2kПометодическимсоображениямкаждыйразрассматриваетсявозмущение одного параметра, хотя расчёт УЧЭ при одновременномвозмущении нескольких характеристик не вызывает каких бы то ни былодополнительных затруднений.Например, в случае возмущения толщины ненулевые элементы матрицыB0 имеют вид (2.52), а ненулевые элементы матрицы ΔB выглядят следующимобразом:( ΔB)( ΔB)5,16,2()( ) ( )1ρh s r0;2 2k= − ΔB ;ΔB=5,1(7,3( )= ΔB5,1(2.55).)Элементы матриц A0 и A1 ΔA = ε A1 (идеальная и возмущённая части)приведены в Приложении П.2.Таким образом, разработанный алгоритм позволяет проводить численныйрасчёт расщепления собственных частот оболочечного УЧЭ, имеющегопроизвольные малые погрешности параметров геометрии, зависящие отокружной координаты.2.4.

Верификациядинамическоймоделинеидеальногооболочечного упругого чувствительного элемента волновоготвердотельного гироскопа2.4.1. Кольцевая модель волнового твердотельного гироскопаКак отмечалось выше, в некоторых реальных ВТГ резонатор выполнен ввиде упругого кольца [2, 13, 51]. Адекватной моделью такого УЧЭ являетсястержень кольцевой формы.62Относительная простота этой модели, допускающей получение рядарезультатов в аналитической форме, позволяет использовать её как тестовуюдля проверки состоятельности предлагаемого подхода. В частности, кольцеваямодель позволяет исследовать влияние на частоты и формы свободныхколебаний резонатора отклонений его осевой линии от идеальной окружности[135], неравномерности распределения плотности [13].Для расчёта частот и форм свободных колебаний неидеальногокольцевогорезонаторавоспользуемсяизвестнымиуравнениямималыхсвободных колебаний плоского криволинейного стержня (ось стержня –произвольная плоская кривая) в собственной плоскости [136].dQ1dsdQ2= æ3Q2 − p2ρFu1;dsdM 3dsdu1dsdu2dsd ϑ3ds= −æ3Q1 − p2ρFu2;= −Q2;(2.56)= æ3u2;= −æ3u1 + ϑ3;=M3EY3,где e1 – единичный вектор, направленный по касательной к осевой линиирезонатора (Рисунки 2.2, 2.3);e2 , e3 – единичные векторы, ортогональные e1 и друг другу, направленныепо главным центральным осям сечения резонатора (Рисунки 2.2, 2.3);Q1 , Q2 , M 3 – проекции главного вектора Q и главного момента Mвнутренних сил в произвольном сечении резонатора на оси e1 , e2 , e3 локальнойсистемы координат (Рисунки 2.2, 2.3);63u1 , u2 , ϑ3 – проекции на оси e1 , e2 , e3 вектора u перемещения центратяжести и вектора ϑ поворота относительно центра тяжести произвольногосечения резонатора;æ3 – кривизна осевой линии резонатора;E , ρ – модуль Юнга и плотность материала резонатора;Y3 – момент инерции поперечного сечения резонатора относительно осиe3 ;F – площадь поперечного сечения резонатора;p2 – квадрат собственной частоты колебаний стержня.В этом случае собственный вектор y имеет вид()yϕ ={ Q (ϕ )1()Q2 ϕ()M3 ϕ()u1 ϕ()u2 ϕ( )}ϑ3 ϕT,(2.57)где ϕ – угловая координата произвольного сечения резонатора (Рисунок 2.2).Рисунок 2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации