Диссертация (1026019), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Цель работыВ соответствии с результатами проведенного анализа современногосостояния проблемы динамического расчета УЧЭ данного класса может бытьсформулирована цель работы, которая состоит в повышении точности иметрологической надёжности волновых твердотельных гироскопов различногоназначения.381.5.Основные задачи, рассматриваемые в работеПоставленная цель достигается путём решения комплекса следующихзадач:− разработкаметодоврасчётарасщеплениясобственныхчастотоболочечных упругих чувствительных элементов ВТГ, имеющихдетерминированныеислучайныенесовершенствагеометрии,зависящие от окружной координаты, и разбросы характеристикматериала;− создание комплекса алгоритмов и программ для расчёта спектрачастот УЧЭ с учётом разброса характеристик их материала инесовершенств геометрии в детерминированной и вероятностнойпостановках;− верификацияразработанногопрограммно-алгоритмическогообеспечения;− проведениетеоретическогоанализаивыявлениеосновныхзакономерностей влияния важнейших конструктивных параметровнеидеальных оболочечных УЧЭ на расщепление спектра частот ихсвободных колебаний;− применениеразработанногопрограммно-алгоритмическогообеспечения к расчёту и проектированию резонаторов ВТГ.1.6.Выводы по Главе 11.

Исследованы области применения УЧЭ ВТГ и проанализированырежимы их работы в условиях эксплуатации.2. Определён современный уровень требований к точности работы УЧЭданного класса.3. Определены основные задачи расчёта УЧЭ ВТГ, решение которыхнеобходимо для анализа работы и проектирования ЧЭ этого класса в реальныхусловиях.394. Проведён анализ современного состояния проблемы расчёта спектрачастот УЧЭ с учётом несовершенств различной природы, в том числезависящих от окружной координаты.5. Сформулированы цель и основные задачи, рассматриваемые в работе.40ГЛАВА 2.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕИДЕАЛЬНОГООБОЛОЧЕЧНОГО УПРУГОГО ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТАВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА2.1. Асимптотический подход к вычислению расщепления частот2.1.1. Основные исходные положенияВажнейшим условием высокой достоверности результатов решениясформулированныхматематическойвышемоделизадачявляетсяпервичногообоснованныйизмерительноговыборпреобразователя(резонатора), с максимальной полнотой отражающей реальную геометрию иинерционныесвойствачувствительногоэлемента,атакжесвойстваматериала.Наиболее отвечающей условиям изготовления и эксплуатации УЧЭВТГ является модель тонкостенной оболочки с распределённой массой,срединная поверхность которой имеет отклонения от осевой симметрии,замкнутой по параллели, переменной по меридиану и параллели толщины(Рисунок 2.1, а, б).При этом все отклонения геометрических параметров от номиналов,зависящиеотокружнойкоординаты,будемполагатьмалыми,чтосоответствует реальному положению вещей.

Что касается геометрии меридианаи законов изменения параметров оболочки в меридиональном направлении, тоони могут быть произвольными.Колебания резонатора будем считать малыми, его материал – линейноупругим, что отвечает реальным условиям эксплуатации и изготовления.Соотношения геометрических размеров реальных резонаторов ВТГтаковы [13, 20, 21, 28, 106 – 108], что они практически идеально удовлетворяютусловиям применимости теории оболочек Кирхгофа–Лява [66]. Это даётвозможность при составлении уравнений движения исходить из положенийуказанной теории.41а)б)Рисунок 2.1Как уже отмечалось, среди несовершенств геометрии выделяют двегруппы. К первой относят несовершенства, изменяющиеся только вдольобразующей УЧЭ. Они приводят только к количественным изменениямзначений собственных частот, не меняя характера спектра.Несовершенства второй группы – несовершенства геометрии, зависящиеот окружной координаты, – качественно меняют характер спектра собственныхчастот.

Эти изменения выражаются в так называемом расщеплении спектра, тоесть появлении вместо одного собственного значения кратности два (видеальной оболочке вращения собственные частоты для синусоидальных икосинусоидальных гармоник по окружной координате ϕ одинаковы) двухпростых собственных значений.При этом, поскольку на практике указанные отклонения малы поотношению к номинальным значениям соответствующих параметров, эффектрасщепления выражается в появлении двух близких собственных частот вместоодной, что, с одной стороны, может стать причиной отказа прибора, а с другой– обусловливает серьёзные трудности при численном моделировании УЧЭ снесовершенствами второй группы.42Дело в том, что два близких собственных значения чрезвычайно трудноразделить при прямом вычислении частот.

Погрешности численного расчётаискажают обе близкие частоты и могут поглотить разницу между ними (близкиечастоты могут различаться на величину погрешности численного счёта).Крометого,численныйрасчётпроизвольнойнеосесимметричнойоболочки сам по себе представляет сложную задачу и едва ли может послужитьбазой для проектирования реальных УЧЭ.В связи с этими обстоятельствами возникает необходимость разработкиалгоритма непосредственного определения расщепления частот оболочек смалой неосесимметричностью.Учитывая вышеизложенное, а также принимая во внимание очевидноеналичие в задаче естественного малого параметра в виде малых отклоненийпараметров геометрии, представляется рациональным построение такогоалгоритма на базе аппарата теории возмущений линейных операторов [123].2.1.2.

Расщепление собственных значений системы обыкновенныхдифференциальных уравнений в задачах динамикиВ общем случае для самосопряжённых линейных операторов задача насобственные значения имеет вид [123]Ty = λGy ,(2.1)где T, G – линейные самосопряжённые операторы;y – собственный вектор;λ – соответствующее собственное значение.Для возмущения Δλ собственного значения λ , вызванного малымивозмущениями операторов T, G , имеет место выражение [123]ΔT − λΔG) y, y )((,Δλ =(Gy, y)(2.2)где ΔT, ΔG – возмущения соответствующих операторов.В случае несамосопряжённых операторов выражение для возмущения43Δλ имеет вид [124]ΔT − λΔG) y, v )((,Δλ =(2.3)(Gy, v)где v – сопряжённое решение.Задачанасобственныезначениядлямеханическойсистемыводномерном случае может быть записана в видеdy= Ay − λ By;dxx = x H : CH y = 0,x = x K : CK y = 0,(2.4)где λ = p 2 – квадрат собственной круговой частоты системы;y – собственный вектор системы (вектор амплитуд обобщённыхперемещений и обобщённых внутренних сил в произвольном сечениисистемы);A, B – квадратные матрицы;CH , CK – прямоугольные числовые матрицы;x H , x K – начальное и конечное значения переменной x .В частности, для тонкостенной оболочки x = s ( s – длина дугимеридиана, Рисунок 2.1), а собственный вектор имеет видy={u v w ϑ1 BT1BS1*BQ1*BM1}T,(2.5)где u, v, w – амплитуды перемещений произвольной точки срединнойповерхности в направлениях её единичных векторов;ϑ1 – амплитуда угла поворота нормали к срединной поверхности вмеридиональной плоскости;B – параметр Ламе срединной поверхности;T1, S1*, Q1* – амплитуды отнесённых к единице длины параллелиобобщённых мембранной, приведённых сдвигающей и поперечной сил впроизвольной точке оболочки, соответственно;44M1 – амплитуда отнесённого к единице длины параллели обобщённогомеридионального изгибающего момента в произвольной точке оболочки.Для полусферического резонатора, жёстко закреплённого на ножке вкорпусе ВТГ, матрицы CH и CK имеют вид{ }H,KCH,K = C i,j, i = 1,...,4; j = 1,...,8;C i,jH⎧⎪ 1, i = j = 1,2,3,4;=⎨⎩⎪ 0, i ≠ j;C i,jK⎧⎪ 1, i = 1,2,3,4; j = i + 4;=⎨⎩⎪ 0, i = 1,2,3,4; j ≠ i + 4.Для определения сопряжённого решения необходимо рассмотретьсопряжённую систему.

Представляя (2.4) в видеdy= Fy,dxF = A − λB ,(2.6)получим сопряжённую систему [124]dv= −FT v ,dx(2.7)где v – вектор сопряжённого решения.Системы (2.6) и (2.7) можно представить в блочном виде [66]⎛ yd ⎜ ⎡⎣1⎤⎦dx ⎜⎜ y ⎡ ⎤⎝ ⎣2⎦⎞ ⎡ F⎟ = ⎢ ⎡⎣11⎤⎦⎟ ⎢ F⎟⎠ ⎢ ⎡⎣21⎤⎦⎣F⎡12⎤ ⎤ ⎛ y ⎡1⎤⎣ ⎦ ⎥⎜⎣ ⎦⎥F⎡22⎤ ⎜⎜ y ⎡2⎤⎣ ⎦ ⎥⎦⎝ ⎣ ⎦⎞⎟,⎟⎟⎠(2.8)где скалярное произведение векторов yT⎡1⎤ ⋅ y ⎡2⎤ пропорционально работе.⎣ ⎦⎣ ⎦Сопряжённая система будет иметь вид⎛ vd ⎜ ⎡⎣1⎤⎦dx ⎜⎜ v ⎡ ⎤⎝ ⎣2⎦⎡ FT⎞⎟ = − ⎢ ⎡⎣11⎤⎦⎢ T⎟⎟⎠⎢ F⎡⎣21⎤⎦⎣F⎡T12⎤ ⎤ ⎛ v ⎡1⎤⎣ ⎦ ⎥⎜⎣ ⎦⎥F⎡T22⎤ ⎥ ⎜⎜ v ⎡2⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎝⎞⎟.⎟⎟⎠(2.9)Блоки матрицы F обладают следующими свойствами симметрии(К.А.

Китовер) [66]F⎡T11⎤ = −F⎡22⎤ ,⎣⎦⎣⎦F⎡T12⎤ = F⎡12⎤ ,⎣⎦⎣⎦F⎡T21⎤ = F⎡21⎤ .⎣⎦⎣⎦(2.10)45В силу этого систему (2.9) можно переписать в виде⎛ v⎡⎣1⎤⎦d ⎜dx ⎜⎜ −v ⎡ ⎤⎣2⎦⎝⎞ ⎡ F⎟ = ⎢ ⎡⎣22⎤⎦⎟ ⎢ F⎟⎠ ⎢ ⎡⎣21⎤⎦⎣F⎡12⎤ ⎤ ⎛ v ⎡1⎤⎣ ⎦ ⎥⎜⎣ ⎦F⎡11⎤ ⎥ ⎜⎜ −v ⎡2⎤⎣ ⎦ ⎥⎣ ⎦⎦⎝⎞⎟.⎟⎟⎠(2.11)Сопоставляя (2.8) и (2.11), получаем для решения сопряжённой системы(2.11)⎛ v⎜ ⎡⎣1⎤⎦⎜ v⎜⎝ ⎡⎣2⎤⎦⎞ ⎛ −y⎡⎣2⎤⎦⎟ =⎜⎟ ⎜ y⎟⎠ ⎜⎝⎡⎣1⎤⎦⎞⎟.⎟⎟⎠(2.12)Отсюда в соответствии с (2.5) получаемv={−BT1−BS1*−BQ1*−BM1 u v w ϑ1}T,(2.13)Собственное значение λ , собственный вектор y , вектор сопряжённогорешения v и матрицы A и B коэффициентов системы (2.4) представим в видерядов по малому параметру ε :λ = λ0 + ελ1 + ε 2λ2 + …;y = y0 + ε y1 + ε 2y2 + …;v = v0 + ε v1 + ε 2v2 + …A = A0 + ε A1 + ε 2A2 + …B = B0 + ε B1 + ε 2B2 + ….(2.14)Здесь индексом 0 отмечены соответствующие объекты для идеальной системы,а индексами 1, 2, … – их возмущения.Если v0 – вектор идеального сопряжённого решения, т.е.

такой вектор,который удовлетворяет сопряжённому уравнению−dv0Tds= v0TA0 − λ v0T B0 ,(2.15)то, умножая скалярно (2.4) с учётом (2.14) на v0 слева и отбрасывая всестепени ε , кроме первой, придём к выражению первого приближения длявозмущения собственного значения46lΔλ =∫ v0 ⋅ ( ΔA − λ0ΔB) y0 dsT0l,(2.16)∫ v0 ⋅ B0y0 dsT0где ελ1 = Δλ , ε A1 = ΔA , ε B1 = ΔB .Возмущениесобственногозначениялинейновыражаетсячерезвозмущения матричных операторов системы уравнений (2.4).Аналогичные выражения приведены в [123 – 125], однако ни одним изних не удаётся воспользоваться напрямую по различным причинам.

В [123,125] предполагается, что оператор по умолчанию является самосопряжённым.Для того, чтобы воспользоваться результатом из [124], необходимо в (2.4)обратить матрицу B , что в общем случае невозможно, так как эта матрицачасто бывает вырожденной.Возмущение Δp круговой частоты связано с Δλ следующим образом:(Δλ = Δp2 = p0 + Δp)2− p02 ≈ 2p0Δp;(2.17)ΔλΔp =,2p0где p0 – собственная круговая частота идеальной системы.Если λ0 не является кратным корнем, то (2.16) даёт одно определённоезначение.Как известно [126], кратным корням соответствует не один собственныйвектор, а семейство собственных векторов. Следовательно, для кратных λ0выражение (2.16) будет давать ряд значений, лежащих в некотором интервале.Границы этого интервала – экстремальные значения Δλmin , Δλmax , а величинарасщепления собственного значения равняется длине интервала.

Характеристики

Список файлов диссертации