Диссертация (1026019), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

То, что извсего интервала нужно выбирать именно экстремальные значения, следует изсвойствотношенияРэлея[125,127].Минимальноеимаксимальное47собственные значения определяются выражениями:λmin = λ0 + Δλmin ;(2.18)λmax = λ0 + Δλmax .а соответствующие круговые собственные частоты:Δλminpmin = p0 +2p0pmax = p0 +;Δλmax2p0(2.19).В (2.18) – (2.19) имеется в виду суммирование в алгебраическом смысле.Искомая величина расщепления круговой частоты равнаψ = pmax − pmin =Δλmax − Δλmin2p0.(2.20)2.2. Возмущённый матричный оператор тонкостенной оболочки смалыми отклонениями формы срединной поверхности отосевой симметрии2.2.1.

Некоторые особенности структуры системы уравнений,описывающих колебания оболочки с малыми отклонениямиот осевой симметрииКак уже отмечалось выше, адекватной моделью реального УЧЭ ВТГявляется модель замкнутой по параллели тонкостенной оболочки, срединнаяповерхность которой имеет отклонения от осевой симметрии. При этомнеобходимо иметь в виду, что в силу произвольного (нерегулярного) характератаких отклонений координатные линии на срединной поверхности оболочки неявляются линиями кривизны.Существующие уравнения, описывающие малые деформации оболочки снеосесимметричной срединной поверхностью, как правило, записаны вгауссовых координатах, совпадающих с линиями кривизны [66].

Это налагаетсущественные ограничения на геометрию допустимых к рассмотрению48оболочек и делает эти уравнения неприменимыми в нашем случае. К тому же,даже в таком упрощённом виде указанные уравнения чрезвычайно громоздки иедва ли могут быть использованы в расчётной практике.В то же время существует подход, основанный на использовании прямоготензорногоисчисления,позволяющийзаписатьразрешающуюсистемууравнений малых деформаций произвольной оболочки в любых, в том численеортогональных, гауссовых координатах [128 – 130].Воспользуемся указанным подходом для вывода разрешающей системыуравнений малых свободных колебаний неидеального резонатора, учитываяпри этом малость отклонений формы его срединной поверхности от осевойсимметрии.Имея в виду применить вариационный подход, получим, прежде всего,выражения для потенциальной энергии деформации и кинетической энергииоболочки.

В связи с тем, что срединная поверхность рассматриваемой оболочкиотнесена к произвольной неортогональной системе координат, во избежаниегромоздких преобразований все выкладки будем проводить в прямой тензорнойформе.2.2.2. Потенциальная энергия деформации и кинетическаяэнергия оболочкиВыражение для потенциальной энергии деформации оболочки, срединнаяповерхность которой отнесена к ортогональным гауссовым координатам α , β ,может быть записана в виде [66]⎧⎡⎛γ2⎞⎤2⎪ Eh12⎢U = ∫∫⎨ε + ε2 + 2 1 − µ ⎜− ε1ε2 ⎟ ⎥ +2 ⎢ 1⎜⎟⎠ ⎥⎝ 4α β ⎪2 1 − µ ⎣⎦⎩2D⎡⎤⎫2+ ⎢ æ1 + æ2 + 2 1 − µ æ12− æ1æ2 ⎥ ⎬ ABdαd β ,2⎣⎦⎭(())()(()(где A, B – параметры Ламе;ε1, ε2, γ 12 – компоненты тензора деформаций;))(2.21)49æ1, æ2, æ12 – компоненты тензора приращений кривизны;E, µ – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки,соответственно;h – толщина оболочки;()D = Eh 3 12 1 − µ2 – цилиндрическая жёсткость.В связи с тем, что координатные линии на срединной поверхностинеидеальной оболочки, вообще говоря, не являются линиями кривизны,перепишем (2.21) в прямой тензорной (инвариантной) форме [130]U =2π∫∫s 0+⎧⎪ Eh⎛Sp ε⎨2 ⎜⎝⎪2 1 − µ⎩()( )D⎛⎜ Sp æ2⎝()22()⎞−2 1− µ ε ⎟ +⎠(2.22)⎞⎫− 2 1 − µ æ ⎟ ⎬ AB sin χ ds dϕ,⎠⎭()где s, ϕ, A, B – гауссовы координаты и параметры Ламе возмущённойповерхности, соответственно;ε – тензор деформацийæ – тензор приращений кривизны;χ – угол между координатными линиями;Выражение для кинетической энергии оболочки принимает вид:λT = ∫2s2π∫ ρhu AB sin χ ds dϕ ,2(2.23)0где ρ – плотность материала оболочки;u – вектор амплитуд перемещений произвольной точки срединнойповерхности.Тензор деформаций запишем в виде [131](ε = Sym ∇u ⋅ a)где ∇ – оператор-градиент на возмущённой поверхности;a = E − nn – единичный тензор возмущённой поверхности;(2.24)50E – единичный тензор;n – единичный вектор нормали к возмущённой поверхности;Sym – оператор взятия симметричной части тензора.Здесь и всюду в дальнейшем отсутствие знака между векторами означаетдиадное произведение.Вводя, согласно [131] вектор ϑ поворота элемента поверхности⎛1 ⎞ϑ = ⎜ a + nn ⎟ ⋅ ∇ × u ,2 ⎠⎝()(2.25)запишем выражение для тензора приращений кривизны()æ = Sym ⎡⎣∇ ϑ × n ⋅ a ⎤⎦ .(2.26)Перед тем, как перейти к дальнейшим преобразованиям, исследуемнекоторыефизическиеособенностисвободныхколебанийоболочек,отклоняющихся от осевой симметрии, использование которых позволитмаксимально упростить построение возмущённого оператора неидеальнойоболочки и избежать чрезмерно сложных формальных выкладок.Прежде всего заметим, что выражение (2.16) определяет линейную частьвозмущениясобственногозначениядифференциальногооператоравобыкновенных производных.

В силу этого для использования указанноговыражениязадачадолжнабытьсведенаксистемеобыкновенныхдифференциальных уравнений.Для осуществления такого перехода в первую очередь воспользуемся тем,что свободные колебания оболочки являются гармоническими. Это позволяетисключить время, записывая все соотношения для амплитудных значенийсоответствующих переменных. Всюду в дальнейшем под искомыми функциямибудем подразумевать их амплитуды без дополнительных пояснений.Далее, для идеальной оболочки вращения разложением искомых функцийв ряды Фурье по угловой координате ϕ оказывается возможным разделитьпеременные и свести задачу к системе обыкновенных дифференциальныхуравнений (точнее, к бесконечному набору независимых систем, каждая из51которых содержит восемь обыкновенных дифференциальных уравнений) [66].Это достигается благодаря тому, что каждая форма колебаний оболочкивращения всегда содержит одну гармонику по ϕ , характеризующуюсясоответствующим волновым числом k .Так как рассматривается неидеальная оболочка, замкнутая по параллели,для неё все искомые функции также являются периодическими по ϕ и могутбыть представлены соответствующими рядами Фурье.Однако, в отличие от оболочки вращения, форма колебаний неидеальнойоболочки в общем случае содержит бесконечное множество гармоник вразложении в тригонометрические ряды по координате ϕ .

Вследствие этогособственный вектор y и разрешающая система уравнений (2.4) являютсябесконечномерными. При этом собственный вектор (2.5) будет иметь вид{⎛y = ⎜ u, v, w, ϑ1 , BT1 , BS1* , BQ1* , BM1⎝{u, v, …, BM }( ) , …⎞⎟⎠1}( ) , {u, v, …, BM }( ) , …10Tk1(2.27),где k – волновое число (номер гармоники ряда Фурье).В соответствии с этим возмущения матриц системы (2.4) также будутбесконечномерными и распадутся на блоки ⎡⎣8 × 8⎤⎦ :⎡⎢⎢⎢⎢⎢ΔA = ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎣ ΔA ⎤⎦(0,0)⎡⎣ ΔA ⎤⎦(0,1)…⎡⎣ ΔA ⎤⎦(0,k )…⎡⎣ ΔA ⎤⎦(1,0)⎡⎣ ΔA ⎤⎦(1,1)…⎡⎣ ΔA ⎤⎦(1,k )………………⎡⎣ ΔA ⎤⎦(k,0)⎡⎣ ΔA ⎤⎦(k,1)…⎡⎣ ΔA ⎤⎦(k,k )…Матрица ΔB будет иметь аналогичную структуру.⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ .

(2.28)⎥⎥⎥⎥⎥⎦52Такимобразом,длянепосредственноговычислениявозмущениясобственного значения необходимо построение бесконечномерного матричногооператора. Однако заметим, что в выражение (2.16) возмущения ΔA и ΔBоператоров A0 и B0 входят только в виде скалярных произведений v0T ⋅ ΔAy0 иv0T ⋅ ΔBy0 .

При этом, в силу отмеченного выше свойства идеальной оболочкивращения при колебаниях по форме с волновым числом k бесконечномерныевекторы y0 и v0 будут содержать только по одному ненулевому блокуy0 =({0, 0, …, 0} , {0, 0, …, 0} , …,{u, v, w,v0 =({ϑ1 , BT1 , BS1* ,} {BQ1* ,}} {T⎞BM1, 0, 0, …, 0 , …⎟ ;(k )⎠}(2.29)0, 0, …, 0 , 0, 0, …, 0 ,{−BT ,1− BS1* ,− BQ1* ,} {T⎞− BM1 , u, v, w, ϑ1, 0, 0, …, 0 , …⎟ .(k )⎠}Таким образом, при вычислении Δλ все блоки бесконечномерныхматриц ΔA и ΔB , за исключением блоков ⎡⎣ ΔA ⎤⎦, ⎡ ΔB ⎤, будут(k,k ) ⎣ ⎦(k,k )умножаться на нулевые элементы.Следовательно, для нахождения первого приближения возмущениясобственного значения, соответствующего волновому числу k , достаточнознания двух блоков ⎡⎣ ΔA ⎤⎦, ⎡ ΔB ⎤бесконечномерных матричных(k,k ) ⎣ ⎦(k,k )операторов.Полученный результат может быть сформулирован следующим образом:если на оболочку наложить связь, разрешающую движение только погармоникесволновымчислом k ,толинейныйчленвозмущениясоответствующего собственного значения не изменится.Это фундаментальное свойство свободных колебаний неидеальнойоболочки позволяет существенно упростить решение задачи о возмущении еёсобственных частот.53Прежде всего, в силу указанного свойства вектор перемещений u можнопредставить в виде()()()u = uk s coskϕ t1 + vk s sin kϕ t2 + wk s coskϕ nИспользуя(2.30),можнопоказать,чторасщепление(2.30)частоты,соответствующей волновому числу k , в первом (линейном) приближенииможет быть вызвано лишь гармониками возмущения формы оболочки сномером 2k .Действительно, потенциальная энергия деформации (2.22) и кинетическаяэнергия оболочки (2.23) представляют собой интегралы от квадратичных формперемещений и их производных по s и ϕ .

Характеристики

Список файлов диссертации