Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При достаточно большом значении квантового числа и, например при л =10, функция ~у„(х)~ приблюкается к классической кривой распределения. Она достигает максимума вблизи точек поворота и резко спадает вне классической области движения (рис. 4.27, б). При л — > плотность вероятности ~ц~„(х)~, как 2 того и требует принцип соответствия, переходит в классическую функцию распределения плотности вероятности.
Отметим, что модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении часпщы в параболической потенциальной яме является идеализацией, справедливой лищь при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. Во всех Реальных ситуациях потенциальная энергия у(х) частицы, со'ерщающей колебания около положения равновесия, имеет более 241 руо! 2 РО1О~ 2 — 2ао — ао О ао 2ао ао х а б Рис. 4.У7. Плотности вероятности обнаружения часпщы для квантового (сплошная линия) и классического (пунктирная линия) осциллятора: а — прка=о; б — прка= 10 Выполненный в этой главе анализ движения частиц в прямоугольной и параболической потенциальных ямах показывает, что, несмотря на различие форм ямы, в поведении частицы в яме имеется много общего: 1.
Энергетический спектр частицы, находящейся в яме в связанном состоянии, является дискретным, т. е. энергия частицы квантуется. 2. Частица, находящаяся в основном состоянии, т. е. на самом низшем энергетическом уровне, обладает не равной нулю энергией. 3. Плотность вероятности обнаружения частицы Ц имеет 2 максимумы в области между классическими точками поворота и экспоненциально убывает вне классической области.
Это означает, что с определенной вероятностью частица может находиться вне ямы (за исключением ям с непроницаемыми стенками). 242 сложный по сравнению с (4.77) вид. Поэтому прн возрастании амплитуды колебаний движение частицы будет все больше отличаться от гармонических колебаний.
Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор — ангармоническим осциллятором. Однако в случае малых колебаний влияние ангармонизма ничтожно малб, что позволяет использовать модель гармонического осциллятора для описания колебательного движения квантово-механических систем. 4. При увеличении квантового числа л на единицу волновая функция, описывающая поведение частицы в яме, приобретает дополнительную точку пересечения с осью х.
Подчеркнем, что отмеченные свойства не зависят от формы потенциальной ямы, т. е. от вида потенциальной энергии 0(х). Следует отметить еще одно важное обстоятельство: энергетический спектр частицы является дискретным (энергия квантуется) только в тех случаях, когда частица находится в потенциальной яме в связанном состоянии.
Если же частица движется в области потенциального порога, потенциального барьера или над потенциальной ямой (при Е > Уо), то квантование энергии отсутствует и ее энергетический спектр является непрерывным. Этот результат согласуется с общей теоремой квантовой механики, в соответствии с которой энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходить на бесконечность, и не квантуется у систем, способных уходить в бесконечность, т. е. у которых плотность потока вероятности не равна нулю в бесконечно удаленной точке. Задача 4.10. Гармонический осциллатор находится в основном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы вне пределов классической области, т. е. вне области — аэ < х < аю где ае — амплитуда классических колебаний. Решение. Поскольку осциллятор находится в основном состоянии, 1 то,согласно (4.81) и(4.85), егоэнергияравна Еа= — Яоь, аволио- 2 вая функция, описывающая его состояние, имеет вид ~яэ(х)= 1 ( х ехр — .
Здесь ха = , а щь = — — частота ДЛ ~24 классического гармонического осциллятора. При максимальном отклонении классического осциллятора от положения равновесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т. е. Ы ~/2 = «оэ /2. Отсюда следует, что амплитуда классических колебаний 243 Найдем вероятность обнаружения частицы в классической области Х 1 ~ з 1 г 2 г Р„, = ) 'ррс(х)( Ых = ) е " дх = — ')е ~ ф = — ) е ~ Иу. lп (к, /к Интеграл !(г)= — ~е ' Ыу час называется интегралом вероятностей.
Он широко используется в теории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, его значения для различных пределов интегрирования г приведены в справочниках специальных функций. В данном случае, при г = 1, 1(1) = 0,8427, следовательно, Р = 0,8427 = 0,84. Соответственно вероятность Р того, что частица будет обнаружена вне классической области, равна Р =1 — Р,„= 0,16. Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области составляет 1б %.
где х =. )( ееозэ Операторы потенциальной У и кинетической рассматриваемой задаче имеют вид Е„энергий в Задача 4.11. Квантовый гармонический осциллятор с частотой колебаний щ~ находится в первом возбужденном состоянии. Найдите средние значенияпотенциальной (У) и кинетической (Е„) энергий осциллятора. Решение. В силу того что осциллятор находится в первом возбужденном состоянии (л =1), его энергия, согласно (4.81), равна Е, = 3 = -йгаэ, а соответствующая ему волновая функция имеет вид (4.85): 2 ъясоъо х - р й~ й= Средниезначенияпотенциальной (У) и кинетической (Е,) энергий осциллятора„находяшегося в состоянии, описываемом волновой функцией ъ(ъь(х), согласно (3.62), могут быть представлены следуъошим образом: (У) = ~ ъръ'(х)й(ъь(х)ъ(«, (Е„) = (~ ъръ'(х)Е„ъ(гъ(х)Им. Найдем среднее значение потенциальной энергии гармонического осциллятора 2 2 2+ (У) = ~ърь (х) — — ънъ(х)Н«= — ~х )ъ)ъь(х)( Их.
2 2 С учетом явного внда волновой функции ъ(гъ (х) получаем „г р 'яъъоъв «О 4 — у (у лъооъо хо г зъ.', 2 г з где интеграл 1ъ = ) у е аъу = -оп. Таким образом, среднее знаг 4-«ъ 3 о 8 чение потенциальной энергии гармонического осциллятора, находящегося в первом возбуяоъенном состоянии, равно ((() = '"' —,Б =-йш,. 2 л 3 3 ,Я вогць 8 4 Теперь найдем среднее значение кинетической энергии (Е„) = ~ъ(г,(х)Е„ърь(х)с1«= — ~ ъ)ъь(х) ъ ъ(х. 2ъць 1 ъ(«2 Вторая производная волновой функции у,1х) по координате х равна азу,(х) 1 2( Зх х'~ Подставляя ц~,*(х) и ' в выражение для (Е„), получаем д зя~(х) ,г дз 1 4 ~ ( Зхг х4 1 з 2дга (Е„) = — — ~~ — з+ — е ' 4х= (Зà — Г,), 2щ 2х 1и хо2 ~ 2 4! 1 2 1 1 ггде интегРал )з = 1 у е ~ Иу = — /Я.
Подставляя сюда значения 4 1~ и 1з, находим, что (Е„) = ( — lп — — Я~=-Ащ . 2Ма~ ГЗ 3 1 3 ч'и 4 8 ) 4 Таким образом, средние значения потенциальной энергии (У) и кинетической энергии (Е„) гармонического осциллятора, находящегося в первом возбужденном состоянии, равны между собой и состав- 3 лают половину полной энергии осциллятора Е = — люс. Можно по- 2 казать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора.
Полученный результат подтверждает вывод, сделанный в 2.3, о том, что в квантовой механике равенство полной энергии частицы сумме ее потенциальной и кинетической энергий выполняется только для средних значений энергии. Задача 4.12. Частица массой тс движется в трехмерном потенци- альном поле У(х,у,х) = — (х +у +х ), 2 где /с — постоянная величина (трехмерный изотропньш гармониче- ский осцнллятор). Найдите собственные значения энергии частицы и кратность вырождения л-го энергетического уровня. рещение. Посколькудвижениечастицывдоль осей х, у и г про- исходит независимо, будем искать волновую функцию в виде произ- ведения Чг(х, У г) = Чч(х)Ч/г(У)Ч/з(г) где Чг, зависит только от координаты х; Чгг — только от координаты у; грз — только от координаты г . Подставляя Чг(х,у,г) в уравнение Шредингера (4.б), получаем Ы Чк,(х) Ч~г (У) ~( Ч'э(г) Ч'г(У)Ч'з(г) г +Чгг(х)Чгз(г) г +%(х)Ч'г(У) г + Ых Ну Нг 2, + — ~Е- И (х, У, г ))Чгг(х)Чгг(У)Чгз(г) = О.
йг Разделив это уравнение на Чг(х, у, г) и подставив данный в условии задачи внл зависимости (7(х, у, г), приходим к соотношению с (гЧг (У) 2гл (Уг ~ Чгг(У) ИУ йг 2 ~ с 1 Н~Чг,(х) 2в~ /сР ~ Чг,(х) с(х~ лйг 2 ~ 1 Н Чгз(г) 2е~ яг 1 [ Чгз(г) ~й л 2 ) 2лгс Е. Й (гзр,(х) 2а ~хг 2лг ( х ) ~ г й г 2 й ~~гЧг (у) 2гл' яуг 2гле Ег 1 г 1г 2 йг 1 Н Чгз(г) 2лго яг 2гао г Ез Ч/з(г) с(г й 2 Я 247 Первое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства является функцией только координаты х, второе — только координаты у, третье — только координаты г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
