Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Описывая атом законами классической физики, Бор просто "запретил" электрону, движущемуся по стационарной орбите, излучать электромагнитные волны. При этом условие квантования момента импульса электрона (5.3) не имеет общего физического обоснования и фактически угадано (в дальнейшем будет показано даже, что угадано не совсем верно) для атома водорода.
Попытки Бора обобщить теорию и сформулировать постулаты квантования для более сложных атомов не увенчались успехом. Однако, будучи первой квантовой теорией атома, теория Бора имела большое значение для развития правильных физических представлений об атомных явлениях. С позиции современной физики атом является физической системой, которая заведомо не может быть описана классической теорией, не учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона. В последующих параграфах этой главы будет рассмотрено, как в современной квантовой теории формулируется и решается проблема описания атомных систем. Задача 5.1.
Покажите, как условие квантования момента импульса электрона в теории Бора атома водорода можно сформулировать с учетом гипотезы де Бройля о наличии у электрона волновых свойств. Реыелие. Для электрона, движущегося по круговой орбите радиуса г, момент импульса Ь связан с импульсом Р простым соотношением: Ь = = рк Поэтому условие квантования (5.3) можно преобразовать к виду 260 2кл 2кг=л —. Р Согласно гипотезе де Бройля, движение электрона следует связать с волновым процессом, длина волны которого л 2кл ав = — = —. Р Р Следовательно, условие квантования Бора можно записать как 2кг = лХв„л =1, 2, 3, ...
Это соотношение утверждает, что стационарными являются только такие орбиты, на длине которых укладывается целое число длин волн де Бройля движущегося по орбите электрона. Задача 5.2. Покажите, как изменится частота излучения атома водорода, если учесть конечное значение массы ядра.
Реиилие. В такой постановке задачи электрон и ядро вращаются вокруг неподвижного центра масс. Если через г, и г, обозначить радиусы круговых оебит электрона и ядра, то, согласно определению центра масс, шаг, = Мг,'Кгде то и М вЂ” массы электрона и ядра соответственно. Из равенства ускорений электрона и ядра вытекает условие равенства их угловых скоростей вращения: ю е г а — = — =Щ где е, и е„— скорости электрона и ядра соответственно.
С учетом движения ядра момент импульса атома 1 =шее,г,+Мп„г„=шею«, +Мшг,. В качестве основных уравнений теории запишем условие вращения электрона по круговой орбите и условие Бора квантования момента импульса атома: ез «лого «, 4яао (гг + ~а ) глою)«+Ма~к = лй, л =1, 2, 3, ... 261 е 12ю'г = 4пеог 12юг~ = лй, л = 1, 2, 3, ... Здесь введена приведенная масса системы электрон — ядро Решая полученную систему уравнений, находим для стационарных состояний атома (л = 1, 2, ...) ~е 2 Н Юл )2е 1бх вой л Полная энергия атома воо~ Мою е2 ршг е 2 2 4яас(г,+г,) 2 4яеог Подставляя значения г„и ю„получаем формулу квантования энер- гии атома Е„=— 1 †, л = 1, 2,...
З2пзазаз лз о Отсюда находим частоты спектральных линий излучения такого ато- ма шы- А -г 2 .2 где модифицированная постоянная Ридберга Не й= З2п аой "'о ггз 1+— М 262 Если расстояние между электроном и ядром обозначить через г = г,+г, =г(1+2ао/М), то после преобразований эти соотношения примут вид расчет показывает, что поправка частоты (илн длины волны) излучения атома водорода за счет учета движения ядра составляет доли процента. Однако благодаря чрезвычайной точности спектроскопических методов появляется возможность экспериментально обнаружить различие (изотопический сдвиг) в спектрах излучения изотопов водорода — атомов, отличающихся массами ядер. Практически именно так, спектроскопическими методами, был открыт изотоп тяжелого водорода — дейтерий П, для которого Мр —— 2М„, и изотопическнй сдвиг длин волн головных линий в серии Бальмера На (Х = 656,28 нм) и Оа (Х = 656, 11 нм) составляет О, 17 нм.
Задача 5З. Оцените уширение спектральных линий излучения атомов. Решение. Можно выделить две основные причины уширения спектральных линий. 1. Радиационное уширение. Атом в возбужденном соспжнии находится конечное время т порядка 10 с. Это приводит к неопреде- -8 ленности энергии возбужденного атома, которую, как отмечалось в 2.3, можно оценить с помощью соотношения неопределенностей: ЛЕ = Ыт. Вследствие этого частота излучения атома имеет неопределенность ЛЕ„ЛЕь 1 1 й й значение которой порядка 10 рад/с (Ь2о = 10 ~ нм).
8 2. Доплеровское уширение. Природа этого эффекта связана с тепловым движением излучаюппгх атомов. Пусть атом массой ляь имеющий импУльс Рс, испУскает в некотоРом напРавлении фотон с импульсом Рф = йк, где ~)г = — = —. Оз оэа с с Закон сохранения импульса позволяет определить импульс атома после излучения: Р = Рр — лк. Поэтому в результате излучения фотона атом приобретает дополнительную кинетическую энергию отдачи (Ро й)г) Ро Е„уд о 2тс 2шс 2та во й2 з — — — — соз а.
2гя сз тс 263 Здесь а — угол между направлением первоначального движения ато ма и направлением излучения фотона. Этот угол может изменяться в пределах от — я до +я. Частоту излучения движущегося атома определим из закона сохранения знергни: лю = (ń— Е„) — Е,. Отсюда ю=щ,— Лсеьйбюд. Сдвиг середины спектральной линии при этом незначителен и равен 2 лил, = 2асс Прн вс = 3.10м рад/с н то = 10-з'кг получаем исаа = 5 10'рад(с (Ыс = 10 нм). Таким сдвигом в силу его малости можно пренебречь.
Величина бюд = — = — 0)а РФЪ па асс с называется доплеровской шириной спектральной линии. Если в качестве характерной скорости движения атома взять его среднюю скорость при Т= 1000 К, которая составляет приблизительно 10 мlс, то для вс = 3 10м рал/с получаем Ьвд = 10 рад/с (ЬХд = 2.10 ~ нм). 5.3. Квантово-механическое описание водородоподобных атомов Как следует из соотношений, полученных при решении задачи 5.1, ина волны е Б ойля дв егося в атоме эле она с ав- пима с азм ом атома. Мы знаем, что в этих условиях нельзя пренебречь волновыми свойствами электрона и его движение в атоме не может быть описано законами классической физики. Поэтому атомные системы являются важнейшими объектами физики, для описания которых следует обязательно использовать законы квантовой механики.
При этом существенно, что для такого описания квантовая механика не требует каких-либо дополнительных предположений, условий и постулатов, аналогичных постулатам в теории Бора. Уе 0(г) =— 4паог (5.16) Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме (рис. 5.6). По аналогии с задачей о движении частицы в потенциальной яме простой формы, рассмотренной в 4.2, можно ожидать, что спектр энергии электрона в атоме будет дискретным, т.
е. состоять из отдельных энергетических уровней со значениями полной энергии зле)гтрона Е1, Е2, Ез и т. д. Для атома~водорода этот энергетический спектр должен совпасть с полученным в теории Бора спектром энергий (см. формулу (5.12)), который подтверждается в оптических экспериментах. Е 1 Итак, для описания возможных квантовых состояний электрона в 5 6 С водородоподобном атоме и опредеальная ямадля водородоподоблення спектра полной энергии элекного атома тРона в этих состояниях необходимо нанти регулярные решения стационарного уравнения Шредингера Й1р= Ец (5.17а) с гамильтонианом 265 Сформулируем постановку стационарной задачи квантовой калики для водородоподобного атома, описывающей движение лектрона в электрическом поле неподвижного ядра с зарядом +те, где У = 1 для атома водорода и У = 2, 3, 4,...
для других водородоподобных атомов (ионов). Такая модель является важнейшей моделью атомной физики. Для этой модели потенциал поля, в котором движется электрон, может быть записан точно. Поэтому все выводы квантовой теории водородоподобных атомов могут быть проверены непосредственно в эксперименте. Потенциальная энергия электрона в электрическом поле ядра определяется как й г Н = — 5,+Н. (5.17б) Здесь Š— полная энергия электрона в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией у, а во — масса электрона. При этом оператор потенциальной энергии Н есть оператор умножения на функцию У(г), заданную соотношением (5.16). Искомые решения уравнения Шредингера (5.17а), (5.17б) явлаются собственными функциями оператора полной энергии Н, н их нахождение связано с решением достаточно сложного дифференциального уравнения.
Учитывая, что эта задача является одной из важных задач квантовой физики, изложим схему нахождения таких решений достаточно подробно. При этом нам придется использовать специальные функции математической физики— сферические функции. Для некоторых конкретных квантовых состояний они будут выписаны в точной аналитической форме как комбинации известных элементарных функций. Более подробные сведения о свойствах сферических (шаровых) функций можно найти в справочной математической литературе.
Движение электрона в атоме удобнее исследовать, вводя сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системе координат волновая функция электрона имеет вид у=у(г, О, ~р), а оператор Лапласа 1 ~г+ 2 ~8,(р г можно определить как оператор, содержащий радиальную часть (5.18) и угловую часть дГ. д~ 1 д' Ьа,,р ° вЂ” яп О + (5.19) япО дО (, дО) з1п2Одср2 Согласно формулам (3.32), оператор квадрата момента имя в сферической системе координат определяется как агав , Следовательно уравнение Шредингера (5.17а) пре— — е,р образуется к виду Ь~ 1 г г ч' 'ч = ЕЧу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
