Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В соответствии с (1.41) длина волны такого излучения с энергией фотона еф — — ЬЕ = 4,9 эВ = 7,84 10,Цж равна /~с 6,62.10 .3 10 253 10 7м=253нм. еф 7,84 10 5.2. Теория Бора атома водорода Постулаты Бора В 1911 г. после проведения опытов по рассеянию а-частиц на атомах Дж. Резерфорд на основании анализа результатов эксперимента выдвинул и обосновал планетарную модель строения атома. Согласно этой модели, атом состоит из тяжелого положительно заряженного ядра очень малых размеров (-10 з5 м), вокруг которого по некоторым орбитам движутся электроны.
Радиусы этих орбит имеют размеры порядка 10 м. Название "планетарная" такой модели атома отражает очевидную аналогию между атомом и Солнечной системой, в которой планеты движутся по некоторым определенным орбитам вокруг массивного притягивающего центра — Солнца. В отличие от планетарной модели Солнечной системы планетарная модель атома оказывается внутренне противоречивой с точки зрения классической физики. И это прежде всего связано с наличием у электрона заряда. 254 Согласно законам классической электродинамики, вращаюиися вокруг ядра электрон, как и любая ускоренно движущаяся заряженная частица, будет излучать электромагнитные волны.
Спектр такого излучения должен быть непрерывным, т. е. содер„ать электромагнитные волны любой длины. Уже этот вывод противоречит линейчатости спектров излучения атомов, наблюдаемой в опытах. Кроме того, непрерывное излучение уменьшает энергию электрона. Поэтому за счет излучения радиус орбиты движущегося электрона должен уменьшаться, и, в конце концов, электрон обязан был бы упасть на ядро. Иными словами, планетарная модель атома в классической физике оказывается неустойчивой. В 1913 г. Н. Бор показал, что "спасти" планетарную модель атома можно, вводя в теорию атома идеи квантования и выделяя при этом некоторые орбиты, разрешенные для движения электрона.
Очевидно, что в правилах квантования должна фигурировать квантовая постоянная Планка. И так как квант действия Ь имеет размерность момента импульса, то Бор добавил в теорию условие квантования момента импульса движущегося вокруг ядра электрона. Простейшим атомом является атом водорода, содержащий один-единственный электрон, движущийся по замкнутой орбите в кулоновском поле ядра. В первом приближении ядро атома можно считать неподвижным, а электронные орбиты — круговыми орбитами.
С учетом этих предположений Бор сформулировал основные положения теории атома водорода в виде трех постулатов. 1. Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, каждой из которых можно приписать определенный номер л = 1, 2, 3, ... Такое движение соответствует стационарному состоянию атома, обладающему неизменной полной энергией Е„. Это означает, что движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон, вопреки законам классической электродинамики, не излучает энергию.
2. Разрешенными стационарными орбитами являются только те для которых угловой момент импульса Т. электрона равен целому кратному значению постоянной Планка Ь. Поэтому для и-й стационарной орбиты выполняется условие квантования (5.3) Е=лй, п=1,2... 255 3. Испускание или поглощение кванта излучения происходит при переходе атома из одного стационарного состояния в другое (рис. 5.4). При этом частота ю излучения атома определяется разностью энергий атома в двух стационарных состояниях: Электрон йоэе~, — — Ек — Еп, lс ~ л. (5.4) Квантование энергии атома. Запишем условие вращения электрона массой то по круговой орбите радиуса г под действием кулоновской силы со стороны ядра и формулу Бора квантования момента импульса электрона: Рне. 5.4.
Излучение атома т~ю 1 е 4якс г2 аоьг = лй. (5.5) Вводя в качестве универсальной константы теории боровский радиус 4кв й2 а о 0 529 10-1о тое как радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водо- рода, запишем формулу (5.6) в виде г,=ел, л=1,2,3,... 2 (5.8) Важно отметить, что оценка размера атома водорода (- 10 м),полученная из (5.7) и (5.8), совпадает с соответствующей оценкой в газокинетической теории.
256 Решая зту систему уравнений, приходим к следующему выражению для радиусов допустимых (стационарных) орбит электрона в атоме водорода: г=, л=1,2,3... 4ивол л (5.6) глое Отсюда находим, в частности, что на первой стационарной орбите электрон движется со скоростью 2,2 10 м/с, совершая один пол- 6 ный оборот за время Т1 =1,5 10 с. -1б Полная энергия электрона, движущегося по л-й стационарной орбите, складывается из его кинетической энергии 2 4 тооч тое 2 32, 2еозйзл2 (5.10) и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром 2 4 е тое (5.11) 4яяогч 16ктезйтл2 Поэтому с учетом (5.10) и (5.11) получаем важную формулу теории Бора — формулу квантования энергии электрона в атоме водорода: Е=Ек+У= — — = — ' эВ.
(5.12) тое 1 13,6 32к~еай~ н2 и о Полная энергия электрона в атоме оказалась отрицательной, так как, по определению, отрицательна потенциальная электростатическая энергия взаимодействия электрона с ядром. С увеличением номера орбиты полная энергия электрона в атоме возрастает. При этом номер орбиты л является квантовым числом. На рис. 5.5 в соответствии с (5.12) изображен энергетический снектр электрона в атоме водорода. В области положительных энергий энергетический спектр свободного электрона является ~плошным спектром.
В области отрицательных значений полной 9 — 1032э 257 1эз (5.5) полУчаем значение скоРости электРона на и-й стационарной орбите г оч 4кеойл энергии энергетический спектр связанного с атомом электрона становится дискретным. Для наглядности на рис. 5.5 каждому возможному значению энергии соответствует энергетический уровень. В стационарном состоянии электрон может находиться на одном из этих дискретных энергетических уровней. Переход электрона с одного уровня на другой на этом рисунке изображен соответствующей стрелкой, начало и конец которой указывают энергетические уровни, между которыми происходит переход.
1п- Е4= -0,85эВ (я=4) Ез= — 1,5эВ (я=3) Ез= — 3,4 эВ (я=2) Е1= — 13,6 эВ (а=1) Лаймана Рис. 5.5. Энергетический спектр электрона в атоме водорода Обычно атом находится в основном состоянии с наименьшим значением энергии, равным Е1. В таком состоянии атома электрон движется по первой стационарной орбите, имеющей минимальный радиус, равный а.
Если атому сообщить дополнительную энергию, то он может перейти в возбужденное состояние (переход 1 на рис. 5.5). Электрон при этом переходит на орбиту большего радиуса. Возбуждение атомов может инициироваться различными способами, например столкновением атомов газа в хаотическом тепловом движении, пропусканием через газ потока частиц с высокой энергией (электронов, а-частиц и др.) и, наконец, поглощением атомами излучения. Если энергия, переданная электрону, будет достаточно велика, то электрон может преодолеть силу притяжения к ядру и ото- 258 рваться ься от атома.
Такой процесс называют ионизацией атома. Из 5 5 следует, что минимальная энергия, необходимая для иониции атома водорода (переход 2), равна Е; =)Е~(=13,6эВ. (5.13) аль Š— г г (5.14) Здесь постоянная 4 г= " =г,О7.1О" с-' 32пгвгвз о (5.15) точно соответствует постоянной Ридберга, найденной из оптических экспериментов. Полученная формула для частот излучения атома водорода точно совпадает с обобщенной формулой Бальмера (5.1б). Не удивительно поэтому, что за создание теории атома водорода, в основе которой лежит постулат квантования (5.3), в 1922 г. Н.
Бор был удостоен Нобелевской премии по физике. 259 Это значение хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными для энергии ионизации атома водорода. В возбужденном состоянии атом долго находиться не может. 1(ак и любая физическая система, атом стремится перейти в состояние с наименьшей энергией. Поэтому приблизительно через 1О во возбужденный атом самопроизвольно (спонтанно) переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при этом квант энергии излучения. Такой процесс продолжается до тех пор, пока атом не окажется в основном состоянии.
Если определена структура энергетических уровней, то можно рассчитать и структуру оптического спектра излучения атома водорода. Действительно, частоту излучения при переходе электрона с к-й, более удаленной, орбиты на л-ю (й > л) можно определить, используя прав частот из третьего постулата теории Бора. С учетом (5.4) и ормулы квантования энергии (5.12) получаем выражение для частот излучения атома водорода при различных переходах й -э л: Изложенная выше теория может быть обобщена на случай эллиптических орбит' (теория Бора — Зоммерфельда, 1915 г.) и для описания свойств любых водородоподобных атомов — атомных систем, содержащих один электрон, движущийся в поле ядра с положительным зарядом +Хе.
Это — однократно ионизированный + ++ гелий Не (У, = 2), двукратно ионизированный литий Ы (Е = 3), трехкратно ионизированный бериллий Ве (Х = 4) и т. д. Простой пересчет показывает, что энергетический спектр водородоподобного иона получается из формулы (5.12) умножением на У~, а радиус орбит электрона оказывается в У раз меньше, чем в атоме водорода. Н. Бор в своей теории атома водорода впервые реализовал идею квантования энергии частицы, движущейся в силовом поле. Однако эта теория не может рассматриваться как законченная теория атомных явлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
