Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 34
Текст из файла (страница 34)
4.22. К нахождению корней уравнения (4.70) 2й2 По< 2глоа в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т. е. существует одно связанное состояние частицы. Легко убедиться, что энергетический спектр (см. выражение (4.70)) при бесконечном возрастании глубины ямы, т. е. при ставлены на рисунке кривыми ум у2 и уз.
Точки пересечения прямой у = Й2а с кривыми у; определяют корни уравнения (4.70) . Таким образом, спектр значений й2, а следовательно, и спектр связанных с ним значений энергии частицы Е будет дискретным. Чем больше ширина ямы а, т. е. чем круче идет прямая у=1сза, тем с большим числом кривых у; она пересекается, следовательно, тем больше энергетических уровней существует в яме. При й2, а < лл в яме может быть л энергетических уровней, т.
е. частица может находиться в яме в л связанных состояниях. С уменьшением глубины ямы Уо величина )12, ях, а следовательно, и число уровней в яме уменьшаются. В случае к Й2 < —, т. е. при а 226 1 И 111 ~о 11 -в», переходит в полученный рао нее спектр для одномерной ямы с бесконечно высокими стенками (см. (4.16)). Качественный вид волновых функций (4.69) для данной задачи приведен на рис.
4.23. Внутри потенциальной ямы волновые функции имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону. Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью (7о — Е) волновая функция имеет ббпьшие значения на краях ямы н медленнее спадает по мере удаления от Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия частицы Е > Уо. Будем для определенности считать, что частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины, двигаясь слева направо. Уравнение Шредингера (4.6) в областях 1, 11 и Ш имеет следую Рис.
4,23. Частица в яме конечной глубины: а — энергетические уров- ни частицы; б — волновые функции длл и = 1 и длл л=2 щие решения: 1у1(х)=А1е' 1" +В1е ' '", х(0, ц/2(х)=А2е' 2" +В2е ' 2", 0<х<а, (4.71) враз(х)=Азе'~1 +Взе ' х>а где г,(Е-ио) г,Е lс1 —— 1сг = 11 —. й2 ' 1~ в2 (4.72) 227 Согласно (4.71), каждая из волновых функций представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны, идущей в положительном направлении оси х, и волны, идущей в обратном направлении.
Так как частица движется слева направо, то второе слагаемое в выражении длЯ 1Уз должно отсУгствовать, посколькУ оно соответствУ- ет движению частицы к яме из +, т.е. справа налево. Следовательно, нужно положить Вз — — О. Первое слагаемое в выражении для 1у1 характеризует волну, падающую на яму из —, второе слагаемое — волну, отраженную от ямы. Первое слагаемое в выражении для уг описывает волну, преломленную на границе х = О, а второе слагаемое— волну, отраженную от границы х= а.
Волновая функция 1уз содержит только одно слагаемое, соответствующее проходящей волне. Будем, как и прежде, считать, что амплитуда падающей волны А1 — — 1. Условия непрерывности волновых функций и их производных в точках х = О и х = а приводят к следующей системе уравнений: 1+В1 =Аг+Вг Й1 — Й1 В1 — — ЙгАг — Й2В2, А е~2" +В е иге — А ге + ге = зе Й2Агейге — йгВге иге = Й1Азе решение которой позволяет найти амплитуды В1, Аг, Вг и Аз.
Данная система уравнений имеет решение при любых значениях параметров /с~ и йг, т. е. при любых значениях полной энергии частицы Е. Это означает, что при Е > Ус частица обладает непрерывным энергетическим спектром. Решая эту систему, для амплитуды прошедшей волны Аз получаем следующее выражение: Аз— ~1с1+~12) е "г (Ус1 й2) е ' 2 Векторы плотности потока вероятности для падающей на яму и прошедшей через нее волны, согласно (4.36), имеют вид 228 р ким образом, коэффициент прохождения гз, характеризующий вероятность прохождения частицы над ямой, равен 4Фге ' ' (4.73) ()сс+)сг) е ' ()сс 1сг) е Подставляя в (4.73) значения Ус~ и Усг из (4.72), получаем 11о з1п га г г1 В= 1+ 4Е(Е-ио) (4.74) 2лсоа (4.75) где л — целые числа, при которых Е > Уо. Энергию частицы, движущейся над потенциальной ямой, удобно отсчитывать не от дна ямы, а от ее верхнего уровня уо, 229 Из (4.74) следует, что коэффициент прохождения В зависит от соотношения между энергией частицы Е и глубиной потенциальной ямы Уо и в общем случае оказывается меньше единицы.
Это означает, что даже при Е > Уо существует отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от потенциальной ямы. Данное явление, полностью отсутствующее в классической физике, объясняется наличием у частицы волновых свойств. При з)пега=О коэффициент прохождения В обращается в единицу, т. е. частица не испытывает отражения на границах ямы. Это условие выполняется при Ага = кл, т. е. при значениях энергии частицы поскольку именно энергия Е' = Е - Юо определяет кинетическую энергию частицы вдали от ямы.
Переходя в (4.75) от Е к Е', получаем г,г (7о 2тоа (4.76) 2а=ХБИ, где Хк — дебройлевская длина волны частицы внутри ямы. Это условие определяет гашение за счет интерференции волн, отраженных от двух границ ямы. Аналогичное явление наблюдается в волновой оптике и заключается в том, что тонкая пленка определенной толщины может не отражать световую волну. Нанесение такой пленки на поверхность прозрачного тела, например линзы, позволяет полностью исключить отражение световых волн при прохождении через него (эффект "просветления оптики").
Задача 4.8. Частица массой ве находится в одномерной потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (см. рис. 4.18). Глубина ямы равна Уо, ширина — а. Считая, что в яме есть лишь один энергетический уровень Е = Ур/2, найдите: а) значение Ура для такой ямы; б) наиболее вероятное значение координаты частицы х,; в) вероятность нахождения частицы в области х>а. 230 где и — целые числа, при которых Е'>О. Проведенный анализ дает квантово-механическое объяснение эффекту Рамзауэра (см.
гл. 2). Напомним, что в опыте Рамзауэра наблюдалась прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определенном значении энергии электронов. Конечно же, более адекватным опыту Рамзауэра было бы рассмотрение движения электрона в области трехмерной потенциальной ямы, моделирующей силовое взаимодействие электрона с атомом. Однако решение даже одномерной задачи позволяет не только качественно объяснить результаты опыта, но и получить определенные количественные соотношения (см. выражения (4.74) — (4.76)). Условие яза = ял можно представить в виде решение. Условие, определяющее возможные значения энергии час- тицыпри Е< Ус, имеетвнд «2 яп А~а = й lс,а, г„Ж, где ( = )~ —.
Подставляя сюла значение Е = —, по аем ГЯЕ ('с 1 =)~ яг 2 а~Кбс Г2 Й 2' Поскольку в яме всего один энергетический уровень, значение аргун мента синуса должно лежать в пределах от — до ж Следователь- 2 но, решение уравнения имеет вид а~~~Т Отсюда находим, что ширина и глубина ямы должны удовлетворять условию 9 и~я~ Уса 1б вс Рассчитаем наиболее вероятное значение координаты частицы х Плотность вероятности нахождения частицы в яме в определяется г квадратом модуля волновой функции ~~р(х)~ .
Поскольку внутри ямы (см. уравнение (4.60а)) )у(х)! = А а(п /сх, то, решая задачу на экстремум я, получаем з(п 2й~х = О. Отсюдаследует,что 2й,х=тип, где т=1,2,3,... Всилутогочто (г~о <я, в полученном решении следует оставить только значение т =1. Таким образом, 231 Учитывая связь между а и Уо, приходим к окончательному выг ражению яй 2 Рассчитаем теперь вероятность нахождения частицы в области х > а. Обозначим через Р, и Р, вероятности нахождения частицы соответственно внутри н вне ямы. С учетом вида волновых функций (4.60а), (4.606) где Соотношение между амплитудами А и С определим из условия непрерывности волновых функций при х = а: Аа(пя,а =Се ~".
получаем 232 к я й 2х, 2~~Ос х,= = — а 9 кгйг 2 16»г аг а Р, = )А~з(п~к,хг(х, Р = )С е ' хгхах, о ч яг = ((/о Е) =~ ('о ="г = 2»г ~~~ Зк йг ~йг Зп С учетом того, что lс, =/сг = — и, следовательно, 4а з» з» вЂ” — /~ 4 С сГ2 2 Отношение вероятностей Р, и Рг равно Гг з(п/с1а = —, 2 . гЗи з)п — хИх 4а Зя о — 2е 2 зе га г1х О а( Зп+ 2) Зп+ 2 яг 2а ги бп — е 2 зя Принимая во внимание, что Р, + Рг = 1, получаем Рг = — = 0,149. 2 Зп+ 4 Этот результат означает, что с достаточно высокой вероятностью (-15 %) частица находится вне потенциальной ямы.
Задача 4.9. Частица массой иго, двигаясь слева направо, падает на прямоугольную потенциальную яму глубиной Уо (см. рис. 4.21). Считая, что полная энергия частицы Е > Уо известна, найдите ширину ямы а, при которой коэффициент отражения частицы от ямы максимален. Рог з)п'Ца где / = — Е. Минимум О для Различных значении ширины Г2„ .,г ямы а реализуетсяприусловии ~зшкга~=1, т е прн 233 Реигеиие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
