Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1гг г,1г йг Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять двум условиям: рр(0)~ < и у(а) = О. Первое из этих условий является следствием ограниченности волновой функции в любой точке пространства, а второе — следствием непрерывности волновой функции с учетом непроницаемости стенок потенциальной ямы. и(г) Будем искать волновую функцию у(г) в виде дг(г)= —.
Подставляя ее в уравнение Шредингера, получаем уравнение для фУнкции и(г) И~и 2тоŠ— + — и=О, 0<г<а, 12 й2 сграничнымиусловиями и(0)=0 и и(а)=0. 191 Эта задача формально полностью эквивалентна задаче о движении частицы в одномерной потенциальной яме шириной а с бесконечно высокими стенками (см.
4.2). Поэтому с учетом соотношений (4.1б), ( 4.17) ее решения можно записать в виде ляг и„(г) = Ацп —, л =1, 2, 3, ... Возвращаясь к функции ж(г), запишем ненормированные (А = сопи) волновые функции лиг ап— у„(г)=А ", л=1,2,3, г являющиеся решением исходной задачи и описывающие все возможные сферически симметричные квантовые состояния частицы в данной потенциальной яме.
Этим квантовым состояниям соответствуют значения полной энергии частицы п~й~ Е„= л~, л=1,2,3, 2аса При л =1 это выражение определяет минимально возможную полную энергию нуклона в рассматриваемой модели ядра. Подставляя численныезначения то=1,67 10 юкг и а=10 мм, находим Е „= 3,3 10 'з Дж = 2,1 10 эВ = 2,1 МэВ. Это значение энергии существенно превышает значение энергии электрона в атоме, что указывает на возможность выделения в ядерных процессах энергии, в миллионы раз превышающей энергию химических реакций. Осуществление реакций деления тяжелых ядер и синтеза легких ядер с выделением ядерной энергии подтверждает этот вывод, полученный как следствие законов квантовой механики. 4З.
Движение частицы в областих потенциального порога и потенциального барьера В 4.2 было рассмотрено движение частицы в ограниченной области пространства — финнтное движение. Перейдем теперь к 192 лизу случаев, в которых частица, находящаяся в силовых ноях, способна уходить на бесконечность, т. е. приступим к расютрению инфинитного движения частицы. движение частицы в области потенциального порога. Рассмотрим движение частицы в силовом поле, в котором ее потенциальная энергия У(х) имеет вид О, х<0, и(х) = ио, х>О. Такое силовое поле называют потен- У Чиальным порогом (потенциальной стенкой). Оно может быть использо- ц вано для моделирования различных силовых полей с резкой границей. На границе порога, т. е.
при х = О, потенциальная энергия частицы скачком меняется на конечную величину Уо (рис. 4.7). 0 Обозначим область слева от порога (х<0) цифрой 1 и все реше- Рис.4.7.Прямоугольныйпония для угой оба ос дн будем отмечать нци ьныи лоР индексом 1. Область справа от порога (х> 0) обозначим цифрой П и будем отмечать соответствующие ей решения индексом 2. Уравнение Шредингера для частицы в таком силовом поле имеет вид: в области 1 12 2 "1+ — о ЕЦ1- — О, 1х2 ~2 в области Б ~12щ2 2гло й~ А~ 2+ — (Š— ЮоРРг =О. 193 7 — 10329 Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциальною порога Уо, т.
е. Е < Уо. В этом случае мы имеем дело с высокич потенциальньии порогом. Вводя обозначе- ния 11 — — — Е и йг — — — (Уо — Е), (4.29) г, г, й г получаем уравнения Шредингера для областей 1 и П: ,г Ч/1 + ), гЧ/ О (4.30а) "" Ч~г 2 2 ,1 г -кг Чгг- — О. (4.30б) Решения уравнений (4.30а), (4.30б) запишем в виде у1(х) =А1е' '~+В~е ' '", уг(х) = Аге г" +Вге (4.31а) (4.31б) 194 Отметим, что полученные волновые функции ~р1 и щг, описывающие состояние частицы в областях 1 и 11, в случае высокого потенциального порога имеют существенно различный вид. Первое слагаемое в выражении для волновой функции у1 описывает плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х из к области порога, т. е.
слева направо. Аналогично, второе слагаемое описывает плоскую дебройлевскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в отрицательном направлении. В том, что выражение е' действительно описывает плоскую волну, легко убедиться, вспомнив про временной множитель е ' для волновой функции частицы, находящейся в стационарном состоянии (4.8). Умножая е' на е '~, получаем е'~~ ~), т.
е. пло- Ч (О)=Ч (О» Ч/;(0) = Ч/;(0), или А1 + В1 —— В~, Й1А1 Й1В1 = — Й2В2. (4.32) Уравнения (4.32) позволяют выразить коэффициенты В1 и Вт через коэффициент А1, т. е. через амплитуду падающей на порог волны де Бройля. Поскольку в подобных задачах все имеющие физический смысл величины, такие, например, как коэффициент отРажения частицы от порога, коэффициент прохождения и т. д., выРажаются через отношение коэффициентов В1 и Вз (или анало- 195 „ую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х в положительном направлении.
Аналогично е ' соответствует плоской волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси х в отрицательном направлении, овал функция Чг1(х)(4 3)а) собой сумму падающей на порог и Р~~, тогда как волновая функция Чг (я) (4 31б теризующая движение частицы в области П, представляет собой сумму двух экспонент с действительными показателями степени. Воспользуемся теперь условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быль ограниченной, а первое слагаемое в выражении для волновой функции у (х) при х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент Аз перед этим слагаемым был равен нулю. Далее, в силу того, что порог Уо имеет конечную высоту, волновая функция на границе раздела областей 1 и П должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т.
е. иметь непрерывную производную. Приравнивание волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название сшивки волновых функций и их производных. В данном случае условия сшивки имеют вид гичных им) к А1, то без потери общности можно положить А1 = 1.
При этом для В1 и В2 из (4.32) получаем 111 — йг В 2)~1 1= )11 + 1)"2 )~1 + 1112 (4.33) Таким образом, волновые функции частицы в случае высокого порога равны: у1(х)=е 1 + 2е 1, х<0, (4.34а) 1~1+йг 3~2(х)= е 2 х>0, 2)11 -)1 х 1+1~2 (4.34б) Отметим, что система уравнений (4.32) имеет решение при любых значениях коэффициентов к1 и к2, т. е. при любых значениях энергии Е (напомним, что Е < Уо).
Это означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром. Найдем коэффициент отражения Я, определяющий вероятность того, что частица отразится от высокого порога. Согласно физическому смыслу, коэффициент отражения ~! 1пал! (4.35) (4.36) С учетом соотношений (4.34а) и (4.36) получаем 196 гДе 1' и )вел — вектоРы плотности потока веРоЯтности соответственно для отраженной (второе слагаемое в (4.34а)) и падающей (первое слагаемое в (4.34а)) волн. Напомним, что вектор плотности потока вероятности (см.
(3.19)) определяется через волновую функцию 1р следующим образом: Подставляя эти выражения в (4.35), находим, что 2 Е 1«1 ь«2 )«1 + ь«2 Коэффициент прохождения 1) частицы через порог (коэффициент прозрачности порога), определяющий вероятность того, что частица пройдет в область П имеет вид где 2'„в — вектоР плотности потока веРоЯтности длЯ пРошедшей волны 1(«2(х)(4.34б). Подставляя у2(х)в (4.36), получаем, что З„Р=О, а следовательно, и)3 = О.
Таким образом, в случае высокого порога (см. рис. 4.7) Е = 1, 1) = 0 и выполняется условие Я+ 1) = 1. Рассмотрим поведение частицы в области П высокого потенциального порога. Волновая функция частицы 1у2(х) (см. выражение (4.34б)) отлична от нуля и уменьшается с возрастанием х по экспоненциальному закону, а это означает, что существует отличная ст нуля вероятность пребывания частицы под порогом, т.
е. в области, в которой полная энергия частицы Е меньше ее потенциальной энергии уо. С точки зрения. классической механики эта область для частицы является запрещенной, так как условие Е < Бо означает, что кинетическая энергия частицы должна быть отрицательной. Однако с точки зрения квантовой механики никак«1го противоречия здесь нет. Кинетическая энергия является функцией импульса частицы р, а потенциальная энергия — функ- 197 цией ее координаты х, но, согласно соотношению неопределенностей, одновременное точное определение координаты и импульса невозможно.
Поэтому в квантовой механике представление полной энергии частицы в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий, как уже отмечалось в 2.3, не имеет смысла. Полученный результат означает, что микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических частиц недоступны. Плотность вероятности нахождения частицы в области П определяется выражением г ЙР г 211 и~в (х) = — = ~~уз(х)~ = ехр( — 2йзх) = ~1~ +')'г 4ьг , **Р 1 —,Г~7и, — е>*~ 11'+) 2' Ь (4. 37) и зависит от массы частицы то,разности энергий Уо — Е и расстояния от границы порогах. Найдем значение экспоненциального множителя в (4.37) для электрона, полагая Уо — Е=1эВ.
При х=10 м, т. е. при рае-ю стоянии от порога, сравнимом с размерами атома, 2 ехр — 2то(Уо — Е) х =0,29. Ь Мы видим, что вероятность найти электрон на таком расстоянии в области П высокого потенциального порога достаточно велика. При х=10 м ехр~ — „2тоЯ~-Е)х~=4,54. 10 ~ г -в 198 Это означает, что вероятность пребывания электрона на таком расстоянии от порога ничтожно мала.
Полученные оценки показывают, что в данном случае электрон с заметной вероятностью мо- г — +к1 у1— - О, и Ч~1 г ,г (4.38а) г — + кгЧ~г — — О, "Ч/г г Ых (4.38б) где й1 и кг определяются из соотношений й1 = ~ — Е и йг — — — (Š— Уо). (4.39) 12то 2 то 1) йг йг Решая уравнения (4.38а), (4.386), получаем 1р1(х)=А1е' '«+В~е ' '«, х(0, Ч~г(х) = Аге' г" + Вге ~ г х > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
