Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В настоящее время устройства, в котоРых используется туннельный эффект, широко применяются в научных исследованиях и технических приложениях: туннельный диод, лампа с холодным катодом, сканирующий туннельный микроскоп и т. д. 4 1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является временнбе уравнение Шредингера 169 й — =НЖ, , дч дг (4.1) Ч'(х, у, 2, е) = Чг(х, у, 2) 9(1), (4.2) одна из которых — чг(х, у, 2) — зависит только от координат, а другая — ~р(г) — только от времени. Подставив волновую функ- цию (4.2) в уравнение (4.1) и разделив затем обе части уравнения на у(х, у, 2)у(~), получим (й (я — = — Нц~.
Ч ~й Ч~ (4.3) 170 й2 где Й = — Л+ У(х„у, 2, г) — оператор полной энергии частицы 2то (гамильтониан). Это уравнение позволяет найти волновую функцию Ч'(х, у, 2, ~) как функцию координат и времени, определить плотность вероятности нахождения частицы в любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле. В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция У(х, у, 2, г) не зависит явно от времени, т.
е. У(х, у, 2, г) га(7(х, у, 2). Такие силовые поля называются стационарными силовьюии полями. В этом случае силовая функция У(х, у, 2) имеет смысл потенциальной энергии частицы. В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определенным значением энергии Е. Эти состояния называются стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях, — стаиионарнычи задачами квантовой механики. Именно стационарные состояния квантовых систем и будут рассмотрены в этой главе. Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию. Поскольку оператор Н в уравнении (4.1) не зависит явно от времени, то волновую функцию Ч'(х, у, 2, ~) следует искать в виде произведения двух функций (4.4а) (4.4б) Уравнение (4.4а) определяет собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (гамильтониана) Н.
Следовательно, константа Е представляет собой не что иное, как полную энергию квантово-механической системы. Перепишем уравнение (4.4а) с учетом вида оператора Й: й2 — — А~у+ Уу= Еьр, 2то (4.5) д2 12 д2 где б = †+ †— оператор Лапласа. Уравнение (4.5) дх ду2 дт~ называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения — функции у(х, у, г) и соответствующие значения энергии Š— определяются конкретным видом потенциальной энергии частицы у(х, у, т). Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме: Ьа)+ — (Š— И)ц = О.
2, ,г (4.6) Перейдем теперь к анализу временнбй функции <р(г). Решение УРавнения (4.4б) имеет вид 171 В уравнении (4.3) левая часть зависит только от времени, а правая — только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны постоянной величине, обозначим ее буквой Е. Таким образом, из (4.3) получаем два уравнения (одно — для функции 1н(х, у, т), а другое — для функции у(г)): ,Е -! — с ср(г) = срое (4.7) где щ — некоторая константа.
Без потери общности можно положить уо = 1, так как в выражение (4.2), определяющее общий вид волновой функции, входит также функция чг(х, у, г), задаваемая с точностью до произвольного множителя. Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вцц ,Е -1 — ! Ч'(х, у, х,г)=у(х, у, х)е " =у(х, у, г)е '~. (4.8) 2 -г — ! е и'=~Ч~(х, у, я, е)! =/я/(х, у, т)~ .Е .Е =~у(х, у, г)~ е " е " =~ц~(х, у, г)~ .
(4.9) Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависят вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин. С учетом соотношения (4.9) условие нормировки волновой функции 172 Из (4.8) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически изменяется со временем ь Частота этого изменения аз= Е/Ь. Данный результат показывает, что соотношение де Бройля Е = Ьв, первоначально применявшееся в случае свободного движения частицы, справедливо также и в случае движения частицы в произвольном стационарном силовом поле.
Важно отметить, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы не зависит от времени. Действительно, ) )Ч'(х, у, т, Г)) с(У =1 для таких состояний принимает вид ) ~Чг(х у г)~ НУ=1 (4.10) Задача 4.1. Покажите, что в стационарном состоянии среднее значе- ние физической величины, оператор которой не зависит явно от вре- мени, остается постоянным. Решениа Рассмотрим физическую величину а, оператор которой А не зависит явно от времени.
Среднее значение (а), согласно (3.75), определяется из выражения (а) = ) Ч' (х, у, г, !) АЧ'(х, у, ж !)!зУ. С учетом вида волновой функции (4.8) получаем .Е х1 (о) = ) Ч!(х, у, х) е " АЧ!(х, у, з) е " Л'. Так как оператор А явно от времени не зависит, то временной мно- .Е -! — ! житель е я можно вынести из-под знака оператора (а) = ) Ч!(х, у, 2) е " е " АЧ!(х, у, 2)!1У.
.Е .Е ! — ! -! — ! Поскольку е" е " =1, товитоге получаем 173 Координатную часть волновой функции Чг(х, у, т) в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (4.8). (а) = ) Ч/(х, у, г) АЧ~(х, у, г)пК жи Таким образом, среднее значение величины а остается неизменным во времени. Задача 4.2. Докажите, что если частица находится в стационарном состоянии и имеет дискретный знергетический спектр, то среднее значение проекции ее импульса (р„) равно нулю. Решение проведите для одномерного случая ( Ф = 1) . Решение.
Докажем сначала, что операторы координаты х, проекции импульса р„и гамильтониан Й связаны следующим коммутационным соотношением: ~Й, х1 = — р„. гло Подействуем коммутатором ~Й, х1 на некоторуюфункцию у ~Й, х~Чг= Й (хгя)-х(ЙЧг) = — — (хзя)+Ухзяйг Эг 2 . Эхг ьг ЭгЧ ') йг Эг йг Эг -х — — +Ну = — — (хзя)+х— 2ег дхг ~ 2лг дхг 2а' дхг Э ЭЧ~ д'Ч~ Принимая во внимание, что — (хзу) = 2 — + х —, получаем Эх дх Эх ьг ( ЭЧг ЭгЧ,') аг ЭгЧг,ь «ЭЧг Нх = — 2 — +х + х — — —,— — — РЧ~, 2гя ( дх Эх2 ) 2гл дхг лг 1 дх в~ х Рй . т. е.
~ Й, х1 = — р,. Отсюда следует, что /ас 174 р„= Г,Й, х1. Найдем теперь среднее значение проекции импульса (р„) в состоя- нии, описываемом волновой функцией у . Оно определяется как Подставляя сюда найденное выражение для оператора р„, получаем (р„) = — ) (Н ~х~Ж- зр хйв7)йх = — ) (М Йхйг — ~р хйц) дх, А А Учитывая эрмитовость оператора Й (см.(3.42)) и дискретность спек- тра энергии, находим, что Поскольку состояние частицы является стационарным, то Йзр= Езу, а (Йзр)* =(Еу) =Еу . Таким образом, (р,) = ~ ~( хЕвпр -«Еьру ))дх=О. и' 4.2. Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками Рассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наиболее простой для анализа задачи о движении частицы в потенциальной яме с непроницаемыми, т.
е. с бесконечно высокими 175 х<0 У(х)= О, 0<х<а х>а т. е. внутри ямы (0 < х < а ) потенциальная энергия У(х) постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность (рис. 4.1). Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси х — + — [Е-(7(х))ч=О. (4.11) с(2Ч 2 (х2 й2 Поскольку вне ямы потенциальная энергия обращается в бесконечность, то для того, чтобы выполнялось уравнение (4.11), необходимо, чтобы вне ямы волновая функция Ч((х) обращалась в нуль, т. е.
у(х) м О. Это означает, что в случае ямы с бесконечно высокими стенками частица не может выйти за пределы ямы, поскольку такие стенки являются непроницаемымн для частицы. В силу непре- 0 а х Рис. 4.1, Одномерная по- тенциальная яма с непро- ницаемыми стенками 176 стенками. Такие ямы называют еще потенциальными ящиками, наиболее часто это название применяется по отношению к трехмерной потенциальной яме. В этом случае частица движется в ограниченной области пространства, т. е.
мы имеем дело с так называемым финитным движением. Рассматриваемые в этом параграфе особенности движения частицы, такие, например, как квантование энергии, вырождение энергетических уровней и т. д. в дальнейшем будут проанализированы для случая потенциальных ям другого вида. Одномерная потенциальная яма.
Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы У(х) имеет вид ывностн волновая функция у(х) должна обращаться в нуль и на раницахямы: при х=О ипри х=а. Таким образом, задача о движении частицы в потенциальной яме сводится к решению уравнения — + — Еър = О, 0 < х < а, Д Ч/ 2ЩО „хг Р (4.12) с граничными условиями Чг(0) = О, Чг(а) = О. Введем обозначение Й=~ Я, (4.13) Чг" +й у=О, решение которого есть у(х) =Аз(пйх+Всозкх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
