Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Отсюда получаем соотношение д(т(Ч' 11гад Ч'* — Ч'* ягад Ч') = Ч'дЧ'* — Ч'*ДЧ', с помощью которого преобразуем (3.21) к виду — +а ~ — ~чвеач'-ч'рве)]=о. враг) а!чФ]2 Г и аг ~2то Сравнив (3.22) с (3.16), запишем выражение для плотности потока вероятности: (~увтадЧ' -Ч' ягадЧ'). г, (3.23) 129 5 — 10329 После умножения (3.18) на Ч', а (3.19) на Ч' вычтем нз первого соотношения второе. Тогда Учитывая, что ягабЧ' ж УЧ', представим (3.23) в более компактной форме: 7 = — '" (Ч ЧЧ *-Ч *ЧЧ ). г, (3.24) Отметим, что в задачах квантовой механики с ненулевым значением плотности потока вероятности можно считать, что рассматриваемая частица движется в потоке таких же частиц, которые независимо друг от друга взаимодействуют с силовым полем. В такой интерпретации задачи следует принять, что модуль вектора ) характеризует число частиц, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную направлению вектора 1, за едини- цу времени.
В этом случае соотношения (3.14) и (3.16) можно рассматривать как законы сохранения числа частиц, записанные в интегральной и дифференциальной формах. Если уравнение (3.16) умножить на массу частицы то, то величины р =и~~Ч'~ и д,„=во) приобретают смысл плотности и потока массы вещества, движущегося в пространстве, а само уравнение (3.16) переходит в известное в механике сплошных сред уравнение непрерывности — +йч1 =О. др а (3.25) др, — +йт1 =О.
дг (3.26) 130 Аналогично, если движущиеся частицы несут заряд и, то величины р, =ц~Ч'~ и 1 =щ' можно трактовать как объемную плотность заряда и плотность электрического тока. Тогда после умножения на и уравнение (3.16) преобразуется в известный в электродинамике закон сохранения заряда в дифференциальной форме: Задача З.З.
Рассчитайте плотность потока вероятности в задаче о свободно движущейся частице, квантовое состояние которой описывается плоской волной де Бройля Ч'(х, г) = АехР— (Ес — рх) . 1 й реигеиие. Записав комплексно сопряженную волновую функщпо Ч' (х, г)=Аехр +-(Ег- рх), найдем отличные от нуля компоненты градиентов: (й бЧ) = — = — Ч, дЧ' 1р дх й (й бч') =~~*= РЧ*. дх й Теперь по формуле 13.23) определим составляющую вектора плотно- сти потока вероятности вдоль оси х: /,= — ЧЧ' = — А = — А.
Р р 2 1сл 2 В2с 2ио 2ис Здесь 1с = — = — — волновое число. р 2к й Ла Таким образом, для движущейся свободной частицы плотность потока вероятности пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля. Отсюда следует, что волновую функцию свободной частицы можно нормировать, полагая 1„=1. В этом случае амплитуда волны де Бройля А= ~ — =с'-, где р — импульс; с — скорость движущейся частицы.
131 3.4. Представление физических величин операторами Как, зная волновую функцию, предсказать результат измерения какой-либо физической величины у часпщы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии? Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновые функции.
В работах М. Бориа, П. Дирака и других ученых был сформулирован второй постулат квантовой механики, утверждающий, что каждой физической величине соответствует определенный оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что н соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике. Для расшифровки этого постулата дадим некоторые пояснения. Оператор — это математическое правило, следуя которому мы можем преобразовать одну функцию в другую.
Задать оператор — значит определить рецепт этого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др. В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используется классическое обозначение физической величины со "шляпкой" над буквой в виде значка "л ". Например, х — это оператор координаты х, р — оператор проекции импульса на ось х, У вЂ” оператор потенциальной энергии и т. д. Оператор предполагается действующим на написанную за ним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции.
При этом равенство двух функций АЧ' = ВЧ' в операторной форме будет записываться как равенство операторов: А = В. Определим операторы основных физических величин в квантовой механике. 1. Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на соответствующую координату, т. е. хЧ~ =хЧ', уЧ = уЧ', тЧ = еЧ. (3.27) 132 В символической операторной форме записи этих операций имеютвид х=х, У=У, 2 — 2 (3.28) Объединяя зти формулы, можно ввести векторный опера соответствующии радиус-вектору Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой прямоугольной системе координат операторы х, у, 8.
Поэтому (3.29) г =е,х+е у+е 2. Здесь е„е, е, — единичные орты координатных осей. 2. Оператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме: д .. д .. д Р„= — 1а —, Р = — й —, Р = — й —. (3.30) ду' Все эти три формулы можно объединить в одну, введя векторный опеРатоР импУльса Р = е„р„+е Ру+е,р,, котоРый с Учетом (3.30) запишем как (3.31) р = -(а7. Здесь д д д Ч= „— +е — +е,—. "дх Уду 'д2 Используя соотношение классической механики 2 2 2 2 Р =Рх+ Ру+Ре = РхРх+ РуРу+ Рар~~ 133 определим оператор квадрата импульса Р =(р„) +(р ) +(р ) =-л — + — + — .
(3.32) г „г „г г д д дг1 ~дхг д г Используя символ оператора Лапласа, представим (3.32) в более компактном виде: г йг,1ь (3.33) натные оси: г-'х = УРе тру~ гу = грх хр~~ )т =хру УРх Эти соотношения превратим в операторные, определяюшие операторы проекций момента импульса: .( д д1 Х =ур — гр =-1л у — -г— дг ду .( д д) ~у грх «Ре = -1л г — — х— ( дх дг)' ( д д) Е, =хр — УР =-Й х — — У вЂ” . ду дх,~ (3.34) Оператор квадрата момента импульса можно построить по правилу = х х+~у~у+~; е. (3.35) Отметим, что задачи квантовой механики, описывающие системы со сферической симметрией, удобнее решать не в декартовой 134 3.
Оператор момента илтульса. Согласно формуле классической механики, определяющей момент импульса частицы как вектор Х = рх р, запишем выражения для его проекций на коорди- прямоугольной, а в сферической системе координат (г, О, д). Переходя от декартовых координат к сферическим по обычным правилам замены переменных х=гв1пОсовд, у =гвшОвшу, т =гсовО, формулы (3.34) и (3.35) преобразуем к следующему .Г. д д1 Е, =-ж~в1п р — +сгаО р — у, дО ду~ д . д1 Х =-й~сов<р — — свяОвш<р — ~, дО а~)' (3.36) Здесь 1 д('. д) 1 д2 Лв е = —.— ~в(пΠ— 1+ ' вшОдО~ дО! в1п2Одр2 2 й2 Е = — = — й. г, г, (3.37) Если частица движется в стационарном силовом поле и ее потенциальная энергия у =у(х, у,т) определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии у определяется как оператор умножения на функцию У, т.
е. (3.38) 135 угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат. 4. Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса Е„= р /(2то) позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами. Поэтому Так как полная энергия частицы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии Н определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому Й =е„+Й= — +У.
Р г, Подставляя выражение для оператора квадрата импульса из фор- мулы (3.33), запишем оператор полной энергии как 82 Й = — А+У(х, у, г). г, (3.39) дЧ' И вЂ” = НЖ. дг (3.40) Заметим, что формула (3.39) определяет гамильтониан квантовой системы и в том случае, когда силовое поле является нестацинарным, т. е. У = У(х, у, т, г), а Г = -8тж1 У. Однако зту формулу нельзя применить, если на частицу действует сила, зависящая от скорости частицы. К такому типу сил относится, в частности, сила Лоренца, действующая на движущуюся в электромагнитном поле заряженную частицу. Если такое поле 136 В классической механике полную энергию часпщы, выраженную через ее координаты и импульс, называют функцией Гамильтона.
Поэтому в квантовой механике оператор полной энергии Н называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтолианом. Гамильтониан Н является основным оператором квантовой механики, поскольку, выбирая конкретный вид гамильтониана с учетом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
