Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, прн описании движения пылинки, как и вообще макроскопических тел, необходимо пользоваться не квантовой, а классической механикой. Посмотрим теперь, что дает соотношение неопределенностей Гейзенберга в случае микрочастнцы, например электрона в атоме: масса электрона т =0,91 10 зо кг, неопределенность его координаты примем равной размеру атома Ах=10 м. В этом случае Ло„- 10 м/с. 6 Сравним полученное значение со скоростью электрона в атоме. Электрон в атоме имеет энергию порядка 10 эВ, что соответствует скорости электрона о — 10 м/с . Следовательно, неопределен- 6 ность скорости электрона Ло, сравнима со скоростью электрона о.
Это означает, что для описания поведения электрона в атоме необходимо пользоваться законами квантовой механики. Как будет показано в 3.7, кроме координат и проекций импульсов существуют другие пары физических величин, которые не могут быль измерены одновременно точно и для которых выполняются соотношения неопределенностей, аналогичные соотношению (2.16). Особо следует выделить соотношение, которое называется соотношением неопределенностей для энергии и времени: (2.20) 3десь ЬŠ— неопределенность энергии системы, т. е.
разность двух измерений энергии системы, проведенных в два различных момента времени, отличающихся на Ьк Более детальное рассмотрение процесса измерения энергии показывает, что неопределенность энергии системы обусловлена влиянием на систему измерительного прибора, с помощью которого проводится измерение энергии. Из соотношения (2.20) следует, что в квантовой механике, учитывающей наличие у частиц волновых свойств, закон сохранения энергии системы может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью порядка Л/Л~, где Лг — интервал времени между измерениями.
Соотношение (2.20) можно рассмотреть и с иной точки зрения, применив его к системе, имеющей "ограниченную продолжительность жизни" т, по истечении которой система распадается с испусканием фотонов или каких-либо других частиц, переходя в другое состояние. В этом случае соотношение (2.20) можно записать в виде (2.21) Отсюда следует, что энергия способной к распаду системы может быть определена лишь с точностью порядка й/т, где т— время жизни нестабильной системы. В таком виде соотношение (2.21) позволяет оценить конечную ширину энергетического уровня системы.
Выводы, следующие из соотношения неопределенностей (2.21), можно наблюдать в эксперименте, например в атомной спектрос- 97 4 — ю329 1, копии. Хорошо известно, что лнотн.ед. нии в спектре излучения атомов не являются бесконечно узкими — это соответствовало бы значению неопределенности ХЕ=0, 0,5 т. е. точно определенной энергии кванта излучения.
Спектральные линии, наблюдаемые в эксперименте, имеют конечную, так на- 0 зываемую естественную ширину линии Г, которая представляет собой разброс значений энергии фотонов относительно некоторого среднего значения, характеризующего центр линии (рис. 2.18). Из (2.21) следует, что эта ширина связана с временем жизни атома в возбужденном состоянии т соотношением 1,0 Рис.
2.18. Качественный вид формы линии в спекгре излучения атомов (2.22) Измеряя естественную ширину спектральных линий Г, можно с помощью (2.22) найти время жизни атома в том или ином возбужденном состоянии. Так, естественная ширина линии, которая измерена в спектре атомов, излучающих в видимом диапазоне, имеет значение порядка 10 эВ. Подставляя это значение в (2.22), находим, что время жизни атома в возбужденном состоянии т = 10 с. Более подробно вопрос об уширении спектральной линии атомов рассмотрен в 5.2. Следствия из соотношения неопределенностей.
Обсудим следствия, вытекающие из соотношения неопределенностей (2.16). Об одном из них мы уже говорили — в квантовой механике теряет смысл понятие траектории частицы. Согласно классическим представлениям, частица в каждый момент времени имеет точно определенную координату н скорость (или импульс), т. е. движется по траектории. Из соотношений (2.16) и (2.19) следует, что в квантовой механике может быть точно определена лишь одна из этих величин: либо точно известна координата частицы, т.
е. Дх=0, но тогда совеРшенно не опРеделена ее скоРость, т. е. бп, ->, либо точно известна скорость частицы (Ьп„= О), но тогда совершенно не определена ее координата (Ьх -~ ). В общем же случае в силу двойственной корпускулярно-волновой природы частица обладает неопределенностями координаты и импулъса, которые связаны соотношением (2.16) . Соотношение неопределенностей позволяет понять парадоксальное на первый взгляд поведение частиц в камере Вильсона.
Напомним, что при прохождении через камеру Вильсона быстрые часпщы оставляют в ней следы в виде четко выраженных траекторий — треков. Никакой размытости трека, связанной с волновыми свойствами частицы, не наблюдается. В чем же дело? Ответ заключается в следующем. Трек частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку маленьких капелек тумана размером Ах=10 м. В этом случае неопределенность импульса частицы, согласно (2.16), составляет Ьр, = — -10 кг м/с, -28 2бх что значительно меньше значения самого импульса р.
Это означает, что для описания поведения такой частицы должна применяться классическая механика и без сколько-нибудь значительной погрешности можно говорить о траектории частицы. Этот вывод подтверждается также и тем, что для частиц с высокой энергией, т. е. для частиц с большим импулъсом р, дебройлевская длина волны Ав оказывается очень малой. Такие частицы вполне можно считать классическими. Другим следствием, вытекающим из соотношения неопределенностей, является вывод о невозможности состояния полного покоя микрочастипы как состояния с точно определенной координатой часпщы и импульсом, точно равным нулю. Действительно, если область изменения координаты частицы ограничена, например пх=а, то, согласно (2.16), разброс значений импульса часпщы пР~ > й?(2а) и, следовательно, ее энергия отлична от нуля.
Мини- мальный разброс значений импульса Лрх а;„= Ь/(2а). Полагая р„„= Ьр „, находим минимальную (не равную нулю) энергию микрочастицы 2 й2 хааа 2т йлшз Таким образом, в квантовой механике микрочастица не может находиться в состоянии полного покоя. Еще один важный вывод, вытекающий из соотношения неопределенностей, заключается в том, что при учете волновых свойств частицы теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия Ек зависит от импульса частицы, а потенциальная энергия У вЂ” от ее координаты.
Но поскольку, согласно (2.16), координата и импульс не могут одновременно иметь определенные значения, то полная энергия Е не может быть представлена в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий. Таким образом, равенство Е = Е„+ У для мгновенных значений Е„и У в квантовой механике невозможно. В дальнейшем будет показано, что это равенство оказывается справедливым лишь для средних значений энергии (Е) = (Е„)+(У). Задача 2.5.
Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, получите оценочное соотношение, определяющее границы применимости классической механики для описания движения частицы в некоторой области пространства с характерным линейным размером 1, Решени* Очевидно, что понятие траектории для описания движения частицы можно использовать только в том случае, если неопределенность ее координаты мала по сравнению с характерным размером области движения, т. е. Лх« Ь. Воспользуемся соотношением неопределенностей (2.16), полагая в нем Ьрх = р. Для неопределенности координаты частицы получаем ~'Б Лх> — = — = — в„ 2ЬР„2р 4я где 2, — длина волны де Бройля рассматриваемой частицы. Следовательно, условие, при выполнении которого для описания движения частицы можно, пренебрегая квантовыми эффектами, использовать законы классической механики, имеет вид Хв << Е,.
Отметим, что в это условие входит размер области движения частицы Е, который обычно задается условием задачи. Анализ показывает, что полученное соотношение нарушается для частиц малой массы, т. е. микрочастиц, движушихся в областях пространства, размеры которых сравнимы с размерами атома. Задача 2.6. Используя соотношение неопределенностей энергии н времени (2.20), найдите естественную ширину ЬХ спектральной линии излучения атома. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии т = 10 с, длина волны излучения Х = 500 нм. Решение. Энергия испускаемого атомом излучения Е связана с длиной волны Х соотношением 2плс Е=лю= —. Л Отсюда получаем связь между неопределенностью энерги ЬЕ и ши- риной спектральной линии ЬХ: ЬЕ= — Ь) .
2ялс )з Так как ЬЕ = Г, то с учетом (2.22) получаем ЬХ = Х~/(2яст). Подставляя численные значения, находим, что ЬХ= 1,3 10 ым. При этом относительная ширина излучаемой спектральной линии составляет — =2,6 10~. Х Именно это малое значение ЬХ определяет предельную степень монохроматичности спектральных линий излучения атомов. Реальная ширина спектральных линий, наблюдаемых в эксперименте, оказывается больше найденной естественной ширины вследствие, например, доплеровского уширения линии, обусловленного тепловым движением излучаюших атомов (см.
5.2). 101 2.4. Применение микрочастиц для исследования структуры вещества Использование микрочастиц позволило получить новый, очень эффективный метод структурных исследований. Впервые наиболее ярко это было продемонстрировано в 1911 г. английским физиком Э. Резерфордом и его сотрудниками в опытах по рассеянию а-частиц. Изучение рассеяния а-частиц в тонкой метаплической фольге позволило Резерфорду сделать вывод о распределении электрического заряда в атоме и прийти к ядерной (планетарной) модели атома. Однако, хотя в исследованиях Резерфорда использовались а-частицы, условия опыта были таковы, что волновые свойства частиц оказывались несущественными и рассеяние а-частиц на ядрах можно было рассматривать в рамках классической физики. В этом параграфе основное внимание уделяется рассмотрению тех методов исследования структуры вещества с помощью микрочастиц, в которых волновые свойства частиц играют определяющую роль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
