Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. Хв- Ь. Напомним, что в первом из разобранных выше примеров дебройлевская длина волны электрона Хв, размеры атома и рас- стояние между атомами в кристалле имеют один и тот же порядок. Следовательно, при взаимодействии электронов с атомами, а также при их движении в твердых телах волновые свойства электронов будут проявляться максимальным образом.
В тех же случаях, когда Хв к Е, как, например, для рассмотренной выше пылинки, волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики. Этот вопрос более подробно разобран в задаче 2.5. Преломление электронных волн в металле.
Как известно, на электрон, находящийся в металле, действует электрическое поле, создаваемое положительно заряженными ионами, которые расположены в узлах кристаллической решетки. Это поле, вообще говоря, периодически меняется внутри металла. Усредненное по объему металла значение потенциала этого поля щ называется внутренним потенциалом металла.
Для того чтобы вырвать электрон из металла, нужно затратить энергию, равную работе выхода А„которая связана с ~ро соотношением ~ = про. Если же электрон попадает в металл извне, то его энергия возрастает на величину, равную работе выхода. При этом изменяются фазовая скорость и дебройлевская длина волны электронных волн, т. е. на поверхности металла электронные волны испытывают преломление. Пусть электрон падает на металл из вакуума, тогда показатель преломления и электронной волны равен отношению фазо вой скорости дебройлевской волны электрона в вакууме офвв к фазовой скорости волны в металле м .
в м офвз . 'и = оф /оф Используя соотношение (2.5), получаем с2/ов ом с2/ом в ' где о — скорость электрона в вакууме; о — скорость электро- в м на в металле. Пусть первоначально электрон обладал кинетической энергией Ев, тогда кинетическая энергия электрона в метал- 67 ле будет равна Е„+ А,.
Используя классическую связь между ско- ~2Е„ ростью и кинетической энергией частицы п = — ", получаем шо л Ек+ ~в 1+ Выражая кинетическую энергию электрона через ускоряющую разность потенциалов У, а работу выхода электрона из металла через внутренний потенциал ~ро, приходим к следующему выражению для показателя преломления электронных волн: ечо 1 Ч'о (2.9) Согласно (2.9), показатель преломления л, может заметно отличаться от единицы лишь в случае электронов низких энергий (медленных электронов), для которых разность потенциалов У не слишком велика по сравнению с <ц.
В случае электронов высоких энергий (быстрых электронов) У~<ро и и, лишь незначительно отличается от единицы. Задача 2.1. При каком значении кинетической энергии Е„часпшы погрешность определения длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле не превышает значения е = 1 %? Решите задачу: а) для электрона; б) для протона. Решевяа Относительная погрешность е определения длины волны де Бройля по иерелятивистской формуле с учетом (2.6) и (2.7) имеет вид 1 Б Б 1 1+ к Хв ~ асс ~ Выражая отсюда Е„какфуикцию е, получаем 68 Так как по условию задачи в=0,01~ 1, то, используя разложение в ряд Тэйлора, находим, что (1-в) 1+2в.
С учетом этого получаем Е„(а) = 2т сз 2в = 4еш ст = 4еЕе, где Еа = тес — энергия покоя частицы. з Поскольку энергия покоя электрона Ес = 0,511 МэВ, то находим, что для электрона Е, = 20,4 кэВ. Это означает, что при кинетической энергии электронов вплоть до Е„= 20,4 кэВ погрешность определения Хв понерелятивистскойформуле небудетпревышать1%. В физическом эксперименте ускорение заряженных частиц осуществляется, как правило, в электрическом поле. Проходя ускоряющую разность потенциалов О, электрон приобретает кинетическую энергию Е„=еК Для того чтобы кинетическая энергия электрона была равна найденному нами значению Е„= 20,4 кэВ, он должен пройти ускоряющую разность потенциалов У = 20,4 кВ.
При меньшем значении У относительная погрешность определения дебройлевской длины волны Хв по нерелятивистской формуле (2.6) будет заведомо меньше 1 %. Поскольку энергия покоя протона Ео = 938,2 МэВ, то кинетическая энергия, при которой погрешность определения дебройлевской длины волны протона не превышает 1 %, Е„= 37, 5 МэВ. Задача 2.2. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных часпщ с массой покоя шо, чтобы с их помощью можно было исследовать структуры с линейными размерами 1? Решите задачу для электронов и протонов в случае 1=10 '~м, что соответствует характерному размеру атомных ядер. Реитение.
Для того чтобы с помощью частиц можно было исследовать структуры с линейными размерами 1, необходимо, чтобы дебройлевская длина волны этих частиц забыла меньше или порядка т. е. Ав < 1. Поскольку данное в условии задачи значение 1 очень б9 малб, то ясно, что иметь длину волны де Бройля, сравнимую с 1, может только быстрая, релятивистская частица.
Пользуясь выражением для длины волны де Бройля релятивистской частицы (2.7), получаем 2кл ,~ЯЕ„1+ Е„ Данное неравенство можно привести к следующему виду: г Еа+2еос ń— гас с — >О, г г ггЛк 1г 2ял где Лк = — — комптоновская длина волны частицы. Решая это глас неравенство, находим, что Е„> глас 1++ — 1 . Поскольку комптоновская длина волны электрона Лк = 2,43 10 гг м, Лк то — » 1 . С учетом этого условия для энергии электронов получаем Е„> глос —. г Лк Подставляя численные значения, находим, что Е„> 1,2 ГэВ. Электроны, ускоренные до таких энергий, использовались в экспериментах по изучению размеров и структуры ядер, а также структуры частиц, образующих ядра, — протонов и нейтронов (см.
2.4). Комптоновская длина волны протонов Лк =1,32 10 и м. С учетом этого получаем, что ускоритель протонов должен быть рассчитан на энергию Е„> О, 6 ГэВ. 2.2. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля Критерием истинности любой физической теории, любой гипотезы всегда является эксперимент. Необходимость экспериментальной проверки гипотезы де Бройля была тем более актуальна, 70 что, во-первых, эта гипотеза касалась глубинных, фундаментальных свойств материи, а во-вторых, наличие у частиц волновых свойств не соответствовало традиционным представлениям классической физики. Первые экспериментальные исследования, подтвердившие волновую природу частиц, были выполнены американскими физиками К.
Дэвиссоном и Л. Джермером в 1927 г., а также независимо английским физиком Дж. П. Томсоном и советским физиком П.С. Тартаковским в 1928 г. В этих работах использовалась дифракция электронов на кристаллической решетке. Прежде чем перейти к подробному описанию этих экспериментов, отметим следующее. Как уже обсуждалось выше, дебройлевская длина волны электрона при не очень большом значении ускоряющей разности потенциалов (-100 В) имеет порядок 10 м. Расстояние между атомными плоскостями в кристалле имеет такой же порядок. Поэтому, так же как и в случае рентгеновского излучения, кристалл может играть роль дифракционной решетки для электронных волн.
Рассмотрим дифракцию электронов на совершенном кристалле, т. е. кристалле, обладающем идеальной, без каких-либо нарушений кристаллической решеткой. Электроны с дебройлевской длиной волны Хв могут дифрагировать на различных атомных плоскостях (рис. 2.1, а), выбор которых осуществляется взаимной ориентацией падающего пучка электронов и рассеивающего кристалла. Пусть электроны падают на кристалл под углом скольжения О по отношению к рассеивающему семейству плоскостей. Для простоты рассмотрим симметричный случай (рис. 2.1, б), когда поверхность кристалла С параллельна рассеивающим плоскостям, хотя на практике это условие далеко не всегда выполняется. Тогда угол О будет углом скольжения, под которым электроны падают на поверхность кристалла, а ~3 = и- 2Π— углом между палающим и дифрагирующнм пучками электронов.
Теоретический анализ дифракции электронов на кристаллах во многом аналогичен анализу дифракции рентгеновского излучения. Прн значении угла О, удовлетворяющем условию Брэгга — Вульфа 2й з)п О = нХь, (2.10) возникает интенсивный дифракционный максимум отраженной волны. Здесь Н вЂ” расстояние между отражающими плоскостями 71 (постоянная решетки кристалла); 8 — брэгговский угол; п — це- лое число, принимающее значения 1, 2, 3, ..., называемое поряд- ком отражения.
Рис. 2.1. Дифракции электронов иа совершенном кристалле: а — озражение от различных атомных плоскостей; б — отражение от одного семейства плоскоегей Физический смысл условия Брэгга — Вульфа" (2.10) достаточно прозрачен: дифракционный максимум появляется в тех случаях, когда разность хода волн, отраженных от соседних атомных плоскостей, равна целому числу длин волн де Бройля. Именно в этом случае отраженные волны усиливают друг друга, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
