Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отметим, однако, что, хотя квантовые эффекты проявляются на уровне атомных систем, эти эффекты определяют особенности работы многих современных установок и приборов и лежат в основе передовых нанотехнологий. Переходя к описанию движения частиц в квантовой механике, сформулируем ряд ее постулатов, лежащих в основе теории. Первый постулат квантовой механики гласит: состояние частицы в квантовой механике описывается волновой функцией Ч'(х, у,г,1), являющейся функцией пространственных координат и времени.
Физико-математический аппарат, разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновой функцией Ч', получать полную информацию о движении микрочастицьь Вероятностный смысл волновой функции. Невозможность задать состояние микрочастицы указанием в любой момент времени ее координат и скорости и отказ от траекторного способа 114 н = — =(Ч'( . с)Р 2 (ЛГ 13.1) Отметим, что волновая функция в общем случае является ком- плекснозначной функцией, т.
е. содержит действительную и мни- мую части. Поэтому физический смысл имеет не сама волновая г функция, а ее квадрат модуля ~Ч'~ — действительная величина, которую во многих случаях удобно находить, умножая волновую функцию Ч' на комплексно сопряженную с ней функцию Ч', так 2 к как из теории комплексных чисел следует, что ~Ч'~ = Ч' Ч'. Преобразуем формулу 13.1) к виду НР = ~Ч'~ сЛ ' = Ч' Ч'аЧ~, где г)Р— вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в элементарном объеме Л~, окружающем точку М 1рис. 3.1).
При описании движения частиц будем использовать л1-мерное (%=1, 2, 3) евклидово пространство И~. Обыч- Рис. 3.1. Выделенные объемы в конфигурационном пространстве 115 описания движения приводят к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике, описывая состояние частицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени. В 1926 г.
М. Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике: квадрат модуля волновой функции Ч'(х,у,з,г) определяет плотность вероятности н того, что в момент времени г > 0 частица может быть обнаружена в точке пространства М = М(х,у,я) с координатами х, у и я. Следовательно, но в этом пространстве, которое в физике называют конфигурационным пространством, вводят декартову прямоугольную систему координат. В такой системе координат для одномерного (Ф =1) движения часпщы вдоль оси х элемент "объема" Л~ =Ыг, для двумерного (У=2) движения на плоскости НУ=Ыхф, а для трехмерного (Ф=З) движения ~(У=ахлуй~. В задачах, описывающих систему с пространственными симметриями, можно использовать также цилиндрическую (г,ср,~) или сферическую (г,б,у) систему координат, определяя волновую функцию как функцию этих координат и времени.
Из формулы (3.2) следует, что в заданном квантовом состоянии частицы, описываемом волновой функцией Ф(х,у,е,г), можно рассчитать также вероятность Р того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема 1'. Действительно, так как Р = ~ йР = ~ вН~, то из (3.1) и (3.2) следует, что Р = ~~Ч'~~ ~Л~ или Р = ~ Ч' Ч'Л~. (3.3) ~ ~Ч'~ сЛ~ =1, или ~ Ч' ЧЧУ =1. (3.4) 116 В квантовой механике формулы (3.1) — (3.3) определяют вероятностный смысл волновой функции. Именно поэтому волновую функцию называют также амплитудой вероятности. Свойства волновой функции. Если в качестве области пространства в (3.3) взять все пространство %", для которого У -+, то обнаружение частицы во всем пространстве является достоверным событием, вероятность которого равна единице.
Следовательно, из вероятностного смысла волновой функции вытекает, что Условие (3.4) называют условием нормировки волновой функции, а волновую функцию, удовлетворяющую этому условию,— нормированной волновой функцией. Следует заметить, что в некоторых задачах квантовой механики условие нормировки в виде (3.4) может не выполняться. В таких задачах частица движется нз бесконечности и уходит в бесконечность.
Поэтому квадрат модуля волновой функции в таких задачах не стремится к нулю на бесконечности, и интеграл в условии (3.4) становится расходящимся. Примером такой волновой функции служит плоская волна де Бройля (2.3), которая является волновой функцией, описывающей квантовое состояние свободно движущейся частицы. При использовании ненормированных волновых функций важно не абсолютное значение квадрата модуля волновой функции, а отношение ее квадратов модулей в двух точках пространства. Это отношение определяет отношение вероятностей обнаружения частицы вблизи этих точек пространства.
Следует отметить, что в задачах с ненормированными волновыми функциями некоторый аналог условия нормировки может быть получен с использованием плотности потока вероятности. Определение этой физической величины и описание ее связи с волновой функцией будут даны в 3.3. Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции. 1.
Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интегралы в (3.3) и (3.4) станут расходящимися интегралами. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности. 2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
117 3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции дЧ' дЧ' дЧ' —, — и —. Эти частные производные волновой функции дх ' ду дг Ч С1Ч 1+С2Ч 2 (3.5) где С1 н С2 — в общем случае комплексные числа. Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, т.
е. о существовании квантового состояния частицы, которое описывается волновой функцией Ф Ч' = С1Ч'1+ СгЧ'г + -.+ СлЧ'м = Х СаЧ'„. а=1 (3.6) В таком состоянии квадрат модуля коэффициента С„определяет вероятность того, что при измерении мы обнаружим частицу в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'„. Ф Поэтому для нормированных волновых функций ~„~С„~ =1.
а=1 118 лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная функция, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода. Принцип суперпозиции квантовых состояний. Сформулируем одно из важных свойств квантовых состояний, которое формально является следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции (см. 3.2). Из линейности этого уравнения следует, что если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'1, а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'2, то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией Квантово-механический принцип суперпозиции состояний не имеет аналога в классической механике.
Действительно, в классической теории свободная частица в данный момент времени движется в пространстве в определенном направлении. А куда движется квантовая частица, состояние которой описывается волновой функцией, являющейся суперпозицией двух плоских волн де Бройля, — рк — рк — Е! Ч'(х,!)= С1е" +С2е " е " ? Такая частица одновременно движется и вправо вдоль оси х и влево. С точки зрения классической механики такой ответ абсурден. С позиций квантовой механики это означает, что при проведении серии опытов по определению направления движения частицы, находящейся в таком квантовом состоянии, с вероятностью г Р! - ~С1~ будет получен ответ, что частица движется вправо вдоль г оси х, а с вероятностью Р2» ~С2 ~ — что частица движется влево. Точно также в состоянии, являющемся суперпозицией двух плоских волн де Бройля, распространяющихся в направлениях вдоль осей х и у, когда ! ! — рк — ру — Е! Ч!(х,у,!)= С1е" +С2е" е " нет однозначного ответа на вопрос: "Куда движется частица?".
Ответ, что частица движется и в направлении оси х и в направлении оси у не означает, что она движется вдоль биссектрисы угла между осями х и у. Этот ответ означает, что частица с некоторой вероятностью движется вдоль оси х, а с некоторой вероятностью — вдоль оси у . Такой результат будет получен в серии измерений направления движения частицы. Столь необычный ответ квантовой механики, казалось бы, на простой вопрос не является чисто теоретическим абстрактным результатом. В связи с этим отметим, например, что в современных информационных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование не только логического элемента с двумя состояниями "0" и "1", но и элементов, которые 119 могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы существенно изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации.
Возможность существования состояний, в которых данная физическая величина не имеет определенного значения и которые являются результатом суперпозиции состояний с определенными значениями этой величины, есть характерная черта квантовой механики, принципиально отличающая ее от классической механики. Описать состояние квантовой суперпозиции одной частицы на языке классической механики невозможно. Поэтому не следует ассма ивать системы в кото ых о мально объединены как классические, так и квантовые объекты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
