Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда с учетом (3.36) уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора Е, представим как дифференциальное уравнение первого порядка Ч' = С ехр 1 — г — . (Зж Собственные функции оператора Ц должны быть однозначными функциями, а так как угловая координата <р является циклической переменной задачи, то условие однозначности собственной функции сводится к условию ее периодичности: Ч'(у+2к)=Ч'(<р). Выполняя это условие для функции (3.64), получаем равенство ехр 1 '( ) =ехр 1 — г~ ехр ю'~ — =1.
Из последнего соотношения следует, что Е 2к — ь — = 2лт, гл = О, Ы, х 2,... Таким образом, найден дискретный спектр собственных значений оператора Х,: 1. =тй, т=О,х1, х2, ..., (3.65) соответствующий набору собственных функций этого оператора 1 Ч'„, (<р) = — ехр(жф). ~/2к (3.66) 146 1 Значение константы С = — выбрано в (3.66) из условия нормис~2к ровки гя ) Ч'" Ч'~ йр=1.
о 4. Собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса 1. следует искать из уравнения 'г — — ~'"~ — )+ г —,~~ = 1- Ч~. (3.67) ~з(пйдО(, дй) з1пгп д, г ~ Решить это уравнение можно с привлечением специальных функций. Это решение приводится в курсах теоретической и математической физики. Ниже мы ограничимся лишь кратким перечнем свойств этого решения. Прежде всего отметим, что спектр собственных значений оператора 1~ оказывается дискретным, т. е. уравнение (3.67) имеет решения из класса регулярных функций только для значений 1~ =л~1(1+1), 1=0,1,2,...
(3.68) Каждому собственному значению из (3.68) соответствует 21+1 различных собственных функций, которые выделяются заданием целочисленного параметра гл =О, +1, + 2, ..., +1. Другими словами, каждое собственное значение оператора Е имеет кратность вырождения, равную 21+1. Собственные функции оператора Е, найденные из решения уравнения (3.67), имеют вид ч, =у (е, р). (3.69) 147 которое с учетом формулы (3.36) запишем в сферической системе координат: Функции Уд,„относятся к классу специальных функций н называются сферическими, или шаровыми, функциями. Если их нормировать условием в1пО 1Ыр = 1, оп то можно выписать несколько первых нормированных сфериче- ских функций в явном виде: 1 )3 ГЗ.
1оо = — ' 18о = ~ — сов О, 11 +1 = ~ — в1п Оехр(х йр); ~4к ' ~4к ' ~8к У2 Π— — ~ — 13сов 0-1), У2 ~~ — — ~ — совОсйпОехр(х йр), (3.70) '1 16к 11'8 П5 . 2 . Г7 / 2 У2 з2 —— ~ — яп Оехр1+12<р); Узо — — ~ — сов0~5сов 0-3). 'з 32к 1~16к 5. Задачи о нахождении спектра собственных значений оператора полной энергии Н связаны с заданием конкретного вида потенциального сплового поля, в котором движется частица. Некоторые из ннх будут решены в гл. 4 при описании стационарных квантовых состояний. В этих задачах решение уравнения Шредингера будет сведено к нахождению собственных функций и собственных значений гамильтониана Н. 3.6.
Измерения физических величии в квантовых системах Пусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы в квантовой системе. Каков будет результат измерения физической величины ~' в этой системе? Как рассчитать и предсказать результаты эксперимента по определению значений этой физической величины? Ответ на этн вопросы о результатах измерений физических величин дает третий постулат квантовой 148 механики, утверждающий, что в результате измерения физической величины ~ в любой квантовой системе могут быть получены только такие значения, которые являются собственными значепнями оператора Ф, соответствующего этой величине. Эгот важный постулат квантовой механики устанавливает связь между теорией и возможностью ее экспериментальной проверки.
Математический аппарат теории, в котором физические величины представлены операторами, позволяет предсказать результаты измерений физических величин в различных квантовых системах. Эти выводы теории могут быть проверены экспериментально. Так, например, используя найденные в 3.5 спектры собственных значений операторов .Р и Т.„можно утверждать, что при измерении модуля орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значения 1.
= ч 1. вз набора ГТ Т,=й,/ф+~), 1=0,1,2, ..., а для проекции момента импульса на выделенное магнитным по- лем направление з в экспериментах будут получены значения Ц =ой, и=О, +1, +2,. Точное решение задачи квантовой механики об атоме водорода, которое будет рассмотрено в гл. 5,приведет нас к такому же выводу, причем целочисленные параметры 1 и и в теории атома называются квантовыми числами, характеризующими состояние электрона в атоме. Теперь следует ответить на вопрос о том, какое конкретное собственное значение ~'„ оператора Ф будет результатом измерения физической величины ~ в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'? Ответ на этот вопрос подтверждает, что вероятностная интерпретация лежит в основе всех положений квантовой механики.
Бели состояние частицы в квантовой системе описывается волновой функцией Ч'„, которая является одной из собственных функций оператора Ф, то в этом квантовом состоянии физическая 149 величина ~ имеет определенное значение, равное 1".„. Это означает, что если представить совокупность большого числа одинаковых независимых квантовых систем (рис. 3.4), в которых тождественные частицы все находятся в одинаковых квантовых состояниях (такую совокупность квантовых систем называют квантовым ансамблем), то, измеряя физическую величину ~ в различных системах этого ансамбля, мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение, равное Д„.
Квантовый ансамбль систем Результаты измерений Рис. 3.4. Измерение физической величины, имеющей определенное значение Однако возможна и другая ситуация, когда волновая функция не будет являться собственной функцией оператора Ф. В таком квантовом состоянии физическая величина ~ не имеет определенного значения.
Это означает, что, согласно третьему постулату квантовой механики, и в этом случае результатом измерений физической величины 1' в системах квантового ансамбля будут только значения из спектра собственных значений оператора Ф. Однако измерения в различных системах квантового ансамбля (рис. 3.5) будут давать разные значения Яп У2, ...,,1„и т. д. При этом каждое значение ~, в квантовом ансамбле будет обнаруживаться с определенной вероятностью Р„ . В процессе измерения квантовая система взаимодействует с измерительным прибором. В результате такого взаимодействия квантовая система, находящаяся в состоянии, описываемом волно- 150 вой функцией Ч', переходит с вероятностью Р„в состояние с волновой функцией Ч'„. Такой переход называют редукцией, или коллапсом, Волне вон функции.
Квантовый ансамбль систем Результаты измерений Рис. 3.5. Измерение физической величины, не имеющей определенного значения В квантовых системах, в которых физическая величина 7" не имеет определенного значения, имеет смысл находить среднее значение, т. е. математическое ожидание результатов измерений в серии из большою числа измерений (3.71) Для того чтобы рассчитать вероятности Р„ в (3.71), следует разложить волновую функцию Ч' в ряд по полной системе собственных функций Ч'„оператора Ф: (3.72) Напомним, что такое разложение всегда возможно и коэффициенты этого разложения вычисляются по формуле (3.73) 151 Разложение (3.72) показывает, что произвольное квантовое состояние можно представить в виде совокупности квантовых состояний с определенными значениями физической величины 7".
Поэтому искомая вероятность Р„равна квадрату модуля ~С„~ г соответствующего коэффициента в разложении (3.72). Следовательно, среднее значение (У)=~ РУ =~~с ~ У. (3.74) С учетом (3.73) преобразуем (3.74) к удобному для расчетов виду. При этом (у) =,')„с„с„*г.„=',)„с„у„~ ч „ч *а =',).с„~ ч'*у„ч „л. По свойству собственных функций и собственных значений опе- ратора Ф ~'„Ч'„= ФЧ'„. Следовательно, (У)=~с„)'Р (ФФ„)йу= (1' ~СФЧ'„)я. м" уИ я С учетом свойства линейности оператора Ф получаем ~С„ФЧ „= Ф()".С„ч'„) = Фч'.
(~)= ~ Ч' (Фч')И$~. (3.75) 152 Поэтому для расчета среднего значения физической величины у в квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией Ч', окончательно получаем формулу учитывая важность формулы (3.75), ее часто рассматривают как четвертый постулат квантовой механики. Отметим, что если Ч' = Ч'„, то из (3.75), естественно, следует (у)= ~Ч*„~ФЧ'„)Л = ~ч*„у„Ч„Л =у„~Ч*„Ч„Л =г„. и ,и ,и Таким образом, квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных возможностей того или иного поведения квантового объекта.
И хотя вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике относится к отдельному объекту, для экспериментального определения численного значения этой вероятности необходимо многократное повторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем. Такой подход к описанию физических явлений принципиально отличается от традиционною подхода классической теории. Поэтому на стадии становления квантовой механики столь необычные и революционные идеи даже в среде физиков не сразу нашли полное понимание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
