Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 25
Текст из файла (страница 25)
У 2 2 (3.84) Сравнение полученных соотношений с формулами (2.16) показывает, что соотношения неопределенностей Гейзенберга являются следствием общих положений квантовой механики. В общем случае можно доказать, что если операторы А и В двух физических величин не коммугируют, причем ~А, В) =с, то для соответствующих физических величин а и Ь справедливо соотношение неопределенности ЬаАЬ 1 —, исключающее возмож~с( 2 ность одновременного стремления к нулю неопределенностей Ьа и АЬ. Легко убедиться, что операторы кинетической н потенциальной энергий не коммугируют.
Поэтому, хотя оператор полной энергии есть сумма таких операторов, нельзя утверждать, что в квантовой системе полная энергия системы есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Это означает, что принципиально нельзя одновременно точно измерить кинетическую и потенциальную энергии движущейся частицы. В связи с этим нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя одновременно ее кинетическую и потенциальную энергии. Еще раз подчеркнем, что в квантовой механике математическим объектам и операциям над ними всегда соответствуют физические объекты и управляющие их движением законы. Известный физик-теоретик А.В. Фок в своей книге "Начала квантовой механики" отмечал, что можно составить целый словарь для перевода квантовой механики с математического языка на физический язык.
В качестве примера приведем одну из страничек такого словаря. Физика Математика Состояние квантовой частицы Плотность вероятности обнару- жения частицы Достоверность наличия частицы Условие нормировки ) Ч' %Л/ =1 Линейный зрмитов оператор Ф Физическая величина 1' Вероятность при измерении у получить значение у„ вом состоянии Коммутативность операторов А и В: АВ = ВА Можно порекомендовать каждому, изучающему квантовую механику, самостоятельно продолжить заполнение страниц такого словаря.
Задача 3.7. Определите оператор ускорения для частицы массой во, движущейся в потенциальном силовом поле Г = — ягадП. Решение. Так как векторный оператор скорости 8 можно выразить ~7 через оператор импульса 161 6 — 10329 Волновая функция Ч' Квадрат модуля 1Ч'~ = Ч'*'Р Собственная функция Ч'„операто- ра Ф, соответствующая собствен- ному значению у„ Квадрат модуля козффициента в разложении волновой функции Ч' в ряд по собственным функциям Ч'„ оператора Ф Состояние квантовой частицы, в котором значение физической величины У равно Хл Среднее значение (математиче- ское ожидание) физической величины Г в заданном кванто- Принципиальная возможность одновременно наблюдать и точ- но измерять физические величи- ныл иЬ р 1'и ее= — = — Ч, гло гло то, дифференцируя этот оператор по времени в соответствии с правилом, найденным при решении задачи 3.5, определим векторный оператор ускорения как Ий 1 Ир 1 г-е а-э 1г э а = — = — = ~ Н р-рН~= ~ НЧ-ЧН~ .
г1г ао г1г тоа гл Поскольку гамильтониан йг Й = — г1+й, г, а операторы Л и Ч и Ч являются коммутирующими операторами, г то а = — (йЧ вЂ” Чй). гло Для выяснения смысла получившегося коммутатора подействуем им на произвольную функцию Ч'. Тогда получим й(чч )-ч(й р) = и(чч)-ч(ич) =-(чи) ч. Г Но в потенциальном поле векторный оператор силы Г =~Р„Р~, Г,) есть оператор умножения на -Чи, т.
е. РеЧ =-(Чи)Ч. Поэтому окончательно находим г" а= —, или гл а=У. гяо Зто операторное уравнение имеет вид уравнения Ньютона классической механики. Оно подтверждает вывод о том, что соотношения 162 ~7 между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими физическими величинами в ° классической механике, Задача 3.8. Установите коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса г.„, 2", и Т, Решение.
Рассмотрим коммутатор операторов Тз и Е.: С учетом явного вила (3.34) операторов Е,, и 1, определим в декартовой системе координат результат действия коммутатора этих операторов на волновую функцию: д2 Эу)1, дх д2 ) 2 Х У 2— йЧ, 8г,р 82,Р 82,Р 82 Р 82 Р =-Ь~ У вЂ” +У2 — -Ух — -2~ — +22 — -2У вЂ” + дх дгдх д2~ ЭУдх дУд2 дхд2 , азЧ а'Ч аЧ азЧ 1 2 Г ЭЧ аЧ '1 +22 — +ху — — х — — х2 — =-М ~у — -х — ) =йТ Ч. а ау а22 ау агау~ ~ ах ау ) Таким образом, доказано, что Щ-ТтТ„=ЙЕ, ФО. Точно так же можно получить коммутационные соотношения для других пар операторов проекций момента импульса: 1б3 Эти соотношения свидетельствуют о том, что все три проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения, за исключением случая, когда все трн проекции одновременно равны нулю.
Можно показать (доказательство рекомендуется провести самостоятельно), что оператор квадрата момента импульса Ь коммугнруст с операторами Ц, Е н Е, . Следовательно, квадрат момента импульса (нлн модуль момента импульса) может быть одновременно точно измерен лишь с одной нз его проекций. Полученный результат означает, что в квантовой механике изображение момента импульса в виде вектора носит достаточно условный характер. Поэтому н сложение моментов импульса (например, орбитального н спннового) нельзя проводить как сложение векторов.
3.8. Матричная формулировка квантовой механики Представление физических величин эрмитовыми операторами, действующими на волновую функцию, не является единственно возможным математическим аппаратом квантовой механики. В 1925 г.„еще до открытия Э. Шредингером основного уравнения для волновой функции, В. Гейзенберг предложил в квантовой механике каждой физической величине ставить в соответствие некоторую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов. Такая "матричная механика" была развита в работах В. Гейзенберга, М. Бориа, П. Иордана и других физиков на первом этапе независимо от волновой теории, а позже — параллельно ей.
В дальнейшем Э. Шредингер показал, что представления физических величин операторами и матрицами эквивалентны, хотя математический аппарат этих двух методов решения задач квантовой механики оказывается различным. Связь между операторами и матрицами физических величин установим, считая для упрощения выкладок, что спектры рассматриваемых квантово-механических операторов являются дискретными, хотя все обсуждаемые ниже соотношения были обобщены Дираком и на случай операторов с непрерывными спектрами. (3.85) причем коэффициенты этого разложения определяются по форму- лам (3.86) Если теперь в качестве функции ф взять функцию ФЧ'„„являю1цуюся результатом действия на функцию Ч',„оператора Ф физической величины ~, то из (3.85) и (3.86) получим равенство ФЧ'щ — — ~ Ф,Ч'„, а (3.87) где (3.88) Величины Ф „можно рассматривать как элементы некоторой бесконечной матрицы Ф11 Ф12 Ф13 Ф21 Ф22 Фгз ... Фг Ф Ф,1 Фп2 ФаЗ 165 Пусть Ч'„, и =1, 2, ..., — известный набор собственных функций некоторого квантово-механического оператора А.
Из свойств собственных функций эрмитовых операторов следует, что любую регулярную функцию у можно разложить в ряд по собственным функциям оператора: < и)Ф(т > < и)У~т . (3.89) Такой символ можно рассматривать как символ, сконструированный из обозначения наблюдаемой физической величины (или соответствующего ей оператора Ф) и символов 1т > и < и1 .
Формально каждую собственную функцию Ч'„, (начальное состояние) представляет некоторый базисный вектор 1'Р,„> или сокращенно! т > бесконечномерного пространства, который называют кет-вектором. Собственную функцию Ч'„(конечное состояние) представляет вектор < Ч'„1 или < и1, который называют бра-вектором. Такие названия происходят от английских Ьгас- и /сеьэ образующих слово Ьгасйег (скобка). Заметим, что обозначение < и1т > следует рассматривать как 1 сокращенную запись выражения < и~.(~т >, где ! — единичный (тождественный) оператор, для которого 1Ч',„= Ч'„,. Поэтому (1, если и=т, 1 = Ч'„1Ч' >= ( Ч'„Ч' еЛ'=Б ~(0, если и ~ т.
Я~ 166 Эту матрицу называют матрицей оператора Ф (или физической величины (' ) в системе собственных функций оператора А, или, как говорят, в А-представлении. В квантовой механике при этом используются координатное, импульсное, энергетическое и другие представления. Каждую величину Ф„называют матричным элементом, соответствующим переходу из состояния т в состояние и. Матричный элемент имеет два индекса: первый и — номер строки матрицы и второй т — номер ее столбца.
Для матричных элементов Ф„применяется также обозначение, предложенное Дираком, цтак, оператор Ф физической величины 7' в А-представлении определяется матрицей Ф, элементы Ф„которой определяются соотношением (3.88). При этом эрмитову оператору всегда соответствует эрмитова матрица, для матричных элементов которой справедливо соотношение Ф„= Ф„„,. Определим некоторые алгебраические операции над матрицами Гейзенберга.
1. Сложение матриц. Если С=А+В, то для матричных элементов матрицы С = А+ В выполняется равенство С„=А +В„ 2. Умножение матриц. Если С=А В, то элементы матрицы С = А В определяются по правилу перемножения матриц При этом произведение матриц, как и произведение операторов, некоммутативно,т. е. в общем случае А В~В А. Так как правила сложения и умножения матриц определены, то можно определить и простейшие функции матриц. Так, например, под функцией ехр(Ф) будем понимать следующий ряд из матриц: ехр(Ф) =1+Ф+ — Ф +...+ — Ф" +...
2 1 И 2 и! Отметим одно важное свойство матриц Гейзенберга физических величин в квантовой механике. Если определить матричные элементы Ф оператора Ф в собственном Ф-представлении, когда ФЧ' = ~' Ч', то из (3.88) получим лт =~л~Ф~ш~= ~ ЧдФ1т~1У =Хт ~ Ч иЧиФ =Хинт' им ум 167 Это означает, что матрица оператора Ф в собственном представлении является диагональной, т. е. матрицей, у которой отличны от нуля лишь элементы с и = т, причем эти диагональные элементы являются собственными значениями оператора Ф. Таким образом, важная задача квантовой механики — определение собственных значений кваитово-механического оператора Ф вЂ” в матричной формулировке сводится к нахождению такого преобразования матрицы, которое приводит ее к диагональному виду. Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не фигурирует волновая функция, а сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической механики, но с тем принципиальным отличием, что в этих уравнениях классические физические величины заменены соответствующими матрицами.
В некоторых случаях при решении задач квантовой механики матричная форма уравнений оказывается даже удобнее операторной. Но в нашем курсе при решении задач квантовой механики будет рассматриваться только операторная форма с использованием волновой функции и волнового уравнения Шредингера. Примеры решения некоторых задач квантовой механики с матричной формой уравнений можно найти в учебниках по теоретической физике. 4.
СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Особенности движения микрочастиц в тех или иных силовых полях можно выявить, рассматривая стационарные состояния— состояния, в которых полная энергия частицы остается постоянной. В этом случае плотность вероятности пребывания частицы в какой-либо точке пространства не зависит от времени. Волновая функция, описывающая стационарное состояние частицы, является решением уравнения Шредингера для стационарных состояний. При движении частицы в ограниченной области пространства, например в случае, когда частица находится в потенциальной яме и не может уйти на бесконечность, ее энергетический спектр оказывается дискретным, т. е. энергия частицы квантуется. В случае, когда частица может уйти на бесконечность, оиа обладает непрерывным энергетическим спектром.
Квантование энергии наиболее ярко проявляется для атомных систем, т. е. систем, размеры и массы которых чрезвычайно малы. Решение стационарных задач квантовой механики позволяет получить ряд интересных физических результатов, не имеющих классических аналогов. В частности, это относится к туннельному эффекту — явлению, заключающемуся в прохождении квантовой частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает полную энергию частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
