Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(4.14) Используя граничное условие у(0) = О, получаем В = О, т. е. Чг(х) = Аз1пйх. Второе граничное условие у(а) =0 приводит к соотношению А яп йа = О, которое для А ~ 0 выполняется при Ы=+кл, в=1, 2,3, ... (4.15) ()тметим, что значение л = О, формально также входящее в решение (4.14), не удовлетворяет условию задачи, так как при этом ЧгмО, а это означает, что частица в яме отсутствует. Поэтому значение л = 0 следует отбросить.
Подставляя (4.13) в (4.15), приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, 177 При этом уравнение (4.12) примет вид хорошо известного из тео- рии колебаний уравнения г,г Е„= пг, п=1,2,3,... 2тоа (4.16) У Важной особенностью полученного энергетического спектра (4.16) является его дискретность.
Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные значения энергии (рис. 4.2), определяемые из выражения (4.16). Отметим, что квантование возникает вследствие граничных условий, накладываемых на волновую О а х функцию, т. е. вследствие равенства ну- лю волновой функции на границе потенРис. 4.2. Энергетические циапьной ямы уровни частяпы в потен- Число п в (4.16), определяющее энергию частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение ń— уровнем энергии.
Состояние частицы, в котором она обладает наименьшей энергией (в этом случае и = 1), называется основным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными: значение и = 2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение и =3 — второму возбужденному состоянию и т. д.
Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики. В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица.
Такого состояния покоя у квантовой частицы не существует, Обсудим подробнее вопрос о дискретности энергетического спектра. Разность значений энергий ЛЕ„п-го и (и+ 1) -го энергетических уровней равна „г,г аЕа = Ел+1 Ел = г (2п+1). 2тоа 178 ()ценим величину ЛЕ„для конкретных случаев. Случай 1. Рассмотрим молекулу газа массой во =10 кг в со- -27 суде размером а = О, 1 м. При этом для и > 1 АЕ„=6,8 10 л эВ. Энергетическое расстояние между соседними уровнями оказывается столь малым по сравнению с энергией теплового хаотического движения молекулы ЙТ (при комнатной температуре ИТ = =2,6 10 ~эВ), что практически можно говорить о сплошном энергетическом спектре движущейся молекулы. Случай 2. Рассмотрим свободный электрон (во — — 0,9.10 эо кг) в металле ( а = О, 01 м) .
В этом случае ЛЕ„=7,5 10 л эВ, т. е. энергетическое расстояние между уровнями намного меньше характерного значения энергии электронов в металле, составляющего по порядку величины 1 эВ. Однако, как будет показано в гл. 6, наличие дискретных уровней даже в случае потенциальной ямы макроскопических размеров для электронов имеет принципиально важное значение.
Случай 3. Рассмотрим свободный электрон в атоме (а =10 ~ м). При этом разность значений энергий соседних уровней составляет ЛЕ„=0,75н эВ. Это заметная величина по сравнению, например, с энергией связи электрона в атоме ( Е„- 10 эВ). Поэтому дискретность энергетического спектра в этом случае оказывается весьма существенной. Завершая рассмотрение энергетического спектра частицы в потенциальной яме (4.16), отметим еще одно его свойство.
Запишем отношение ЛЕ„к Еа: 179 ЬЕ„2п+1 2 При увеличении квантового числа и это отношение уменьшается с ьев„г1 — "= —, таким образом, дискретность энергетического спектЕл ра с возрастанием и играет все меньшую роль. Этот результат представляет собой проявление важного физического принципа— принципа соответствия, согласно которому при больших значениях квантового числа и, т.
е. при и -+, квантовая механика переходит в классическую механику. Волновые функции частицы в одномерной потенциальной име. Перейдем теперь к анализу волновых функций часпщы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Из (4.14) с учетом (4.15) получаем кпх ч„(х) = А яп —. а Множитель А находим из условия нормировки волновой функции (4.10) в ( )~~,1хА2 )„. 2~,(х А2а ОО О а 2 Г2 Таким образом, А = ~ —. Тогда волновые функции частицы в ода номерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеют вид 'т'„(х)=~ — яп —, 0<х<а, п=1,2,3, ... (4.17) Г2 . кпх а а Отметим, что эти функции, согласно общей теории (см. (3.54)), являются ортонормированными, т. е. 180 (4.18) где Ь„а — символ Кронекера, Рассмотрим графики волновых функций Ч(„(х) (рис.
4.3) для первых " „=4 четырех значений квантового числа л. Волновые функции, отвечающие раз- л=З ным значениям и, существенно отличаются друг от друга. Если поместить начало координат в середину ямы, то волновые функции частишы внутри ямы п=1 для нечетных значений л будут четными функциями координаты, и на- О а х оборот, волновые функции для четных л — нечетными функциями координа- Рис. 4.3.
Волновые функты. При увеличении квантового числа ции частицы в потенции на единицу число точек пересечения альвой яме с непрониволновой функции с осью х также цаемыми стенками увеличивается на единицу. Отличительным свойством найденных волновых функций является излом, т. е.
скачок производной иа границах ямы. Этот скачок возникает вследствие того, что на границах ямы потенциальная энергия частицы У(х) обращается в бесконечность. В случае ямы конечной глубины скачок производной волновой функции на границе ямы отсутствует, т. е. волновая функция является гладкой (см. 4.4). На рис. 4.4 представлены графики квадрата модуля волновой функции ~у„(х)~, определяющего плотность вероятности нахож- 2 денна частицы в потенциальной яме. Плотность вероятности оказывается существенно различной для разных состояний частицы, т.
е. для разных значений квантового числа л. Так, например, в основном состоянии, т. е. при а=1, частица с наибольшей вероятностью находится в центре ямы, а в первом возбужденном состоянии, т. е. прн п= 2, вероятность обнаружить частицу в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы в левой и правой поло- 181 винах ямы равновероятно. Такое поведение кардинально отличается от поведения в яме классической частицы, для которой плотность вероятности нахождения частицы одинакова в любой точке ямы. Вероятность того, что частица в яме находится в области х1 < х< х2, определяется согласно выражению а х хз Р= Язр (х)! ах= к~ и = /у„(х)зр„(х)ах.
Рис. 4.4. Плотность вероят- ности нахождения частицы для различных квантовых состояний (4.19) Отметим, что с математической точки зрения задача о движении частиць1 в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками аналогична задаче о колебании струны с закрепленными концами.
И в том, и в другом случае из граничных условий следует, что на ширине ямы (на длине струны) должно укладываться Х целое число полуволн, т. е. а=л —. В нашем случае Х вЂ” это 2 дебройлевская длина волны частицы в яме Хв. Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальную энергию частицы У(х, у) можно представить следующим образом: О, (х,у)е Й, У(х,у) = (х, у) я ь2, 182 где й =1(х, у): О < х < а1, О < у < а2 ~ — прямоугольная область на плоскости (х, у) (рис. 4.5).
Вне потенциальной ямы, как и в одномерном случае, волновая функция частицы ЧКх, у) ьз О. У аг Поскольку движение частицы в яме вдоль осей х и у происходит независимо, волновую функцию 1к(х, у) запишем в виде произведения: Ч(х, У) =91(х)Ч/2(У), (4.20) а1 х Рис. 4.5. Двумерная пря- моугольная потенциаль- ная яма где 1у1(х) — функция, зависящая только от координаты х, а 1уг(у)— функция, зависящая только от координаты у. Подставляя выражение (4.20) (4.6), получаем в уравнение Шредингера ЛЦ~(х, у)+ — Езр(х, у) =О, 2то й Ч/2(у) + Чс1(х) = ЕЧ/1(х)Ч/2(у).
Ы 91(х) с1 Чкг(у) 21пс „2 , г Разделив левую и правую части этого выражения на 1у1(х)1У2(у), приходим к соотношению 1 д~1у1(х) 1 Н~1уг(у) 2ео зг, (х) 1хг 1г, (у) 1 2 йг 1 а(~за(х) 2в~ ,г ,г 183 Первое слагаемое в левой части (4.21) зависит только от х, а второе — только от у. Поскольку их сумма равна постоянной величине, то это означает, что каждое из слагаемых также представляет собой постоянную величину, т. е.
1'~ г(у) 2 , Чг(У) ау Й где Е1 и Ег — константы, имеющие размерность энергии, причем Е, + Ег = Е. Таким образом, уравнение Шредингера для двумерной задачи разделяется на два одномерных уравнения ДгЧр1(х) 2 о (г йг + — Е1вг1(х) = О, И уг(у) 2то + — Ег'тг(у) = О, 1г йг (4.22) решения которых были нами получены ранее (см. (4.17)). Функции вг1(х) и щг(у) имеют вид Г2, пл1х ц~ (х) = ~ — гби —, ла а 1 1 12, плгу Чг (у) = — 1п айаг аг ЧЧ 2(х у) 1П Б1 4, пл1х . янгу а1аг (4.23) 0<х<а1, 0< у<аг, л~, лг =1, 2, 3, ...
Энергия частицы в двумерной яме описывается выражением 184 где квантовые числа л1 и лг принимают значения пп лг = = 1, 2, 3, ... В результате нормированная волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, есть Ж' Ж'~ ив пз —— 1, 2, 3, ... (4.24) Энергетический спектр часпщы (4.24), как и следовало ожидать, является дискретным и зависит от двух квантовых чисел п1 и п з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
