Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(4.40а) (4.40б) Будем считать, что частица приближается к порогу со стороны отрицательных значений х, т. е. движется слева направо. При этом 199 т проникать в область П лишь на расстояния, сравнимые с размером атома. Таким образом, хотя коэффициент отражения частицы от высокого барьера В = 1, т.
е. отражение является полным, оно не обязательно происходит на самом пороге, т. е. на границе раздела областей 1 и П. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область П и затем выйти из нее. Интересно отметить, что рассмотренное явление имеет аналог в классической физике — явление полного внутреннего отражения в волновой оптике. В этом случае также происходит полное отражение при падении света на границу раздела оптически более плотной и менее плотной сред.
При этом свет может проникать в оптически менее плотную среду, однако его амплитуда убывает с глубиной по экспоненциальному закону. Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия налетающей на порог частицы Е превышает высоту потенциального порога Уо, т. е. Е >Ус. Такой порог носит название низкого потенииального порога. В этом случае уравнение Шредингера для областей 1 и П имеет вид А~+В~ =Аз, "~А — Ю =)~гАг.
(4.41) Полагая, каки в предыдущем случае, А~ — — 1, для В~и Азполучаем В 1 2 А 1 1 Аг= )'~+ "г ~)+'Ь Таким образом, волновые функции частицы в случае ее движения в области низкого порога имеют вид ьх ~~ г -ьх /с~ + йт ~уз(х) = е' з й~+йз (4.42) где й~ и йз заданы соотношениями (4.39).
Для того чтобы найти коэффициенты отражения Н и прохождения 1) частицы через порог, определим векторы плотности потока вероятности для падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волн де Бройля. Подставляя найденные волновые функции (4.42) в (4.36), получаем )й~ Рло г первое слагаемое в (4.40а) описывает падающую на порог волну де Бройля, а второе слагаемое — волну, отраженную от порога. Аналогично первое слагаемое в (4.40б) соответствует прошедшей через порог волне де Бройля. Поскольку отраженная волна в области П отсутствует, то коэффициент Вз следует считать равным нулю, т. е. Вз — — О. Условие непрерывности волновых функций и их производных на границе (при х = 0) приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов Ап В~ и Аз. г (4.43) С учетом (4.35) и (4.43) коэффициент отражения частицы от низ- кого потенциального порога Отсюда следует, что при Е > 00 существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога, т.
е. возможно так называемое надбарьерное отражение. Этот эффект является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств. Макроскопическая частица, подчиняющаяся законам классической механики, при прохождении через низкий потенциальный порог не испытывает отражения, в области порога лишь уменьшается ее кинетическая энергия. Интересно отметить, что если потенциальный порог "обратить", т. е. считать, что У(х) = Уо в области 1 и У(х) = 0 в области П, то коэффициент отражения частицы с заданной полной энергией Е > Уо не изменится. Этот вывод следует из того, что в задаче с "обращенным" порогом во всех формулах й~ и й2 поменяются местами, но при этом, согласно (4А4), коэффициент отражения 1? не изменится. Этот результат можно сформулировать и другими словами: вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога не зависит от направления движения частицы.
Коэффициент прохождения 1) частицы через порог, согласно (4.43), принимает внд Таким образом, и в случае низкого порога )?+В =1, что естественно было ожидать с точки зрения сложения вероятностей: па- 201 дающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область П. Следует отметить, что волна де Бройля, описывающая движение частицы в области порога, на границе раздела областей 1 и П испытывает преломление, связанное с изменением скорости частицы с и ее длины волны Хв.
Относительный показатель преломления и (см. 2.1) определяется как р„О) в пг )„(2) в (4.46) о2 через кинетическую энергию частицы, получаем Проведенный анализ еще раз указывает на глубокую аналогию, существующую между квантовой механикой и волновой оптикой. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы У больше, чем в окружающих областях, называется потенципльным барьером.
Анализ движения частицы в области потенциального барьера начнем с рассмотрения простейшего случая одномерного прямоугольного потенциального барьера (рис. 4.е), для которого потенциальная энергия частицы х<О, и(х)= ио, О<х<а, О, х)а. Обозначим цифрой 1 область слева от барьера, цифрой П вЂ” область 0 < х < а н цифрой П1 — область справа от барьера. Будем 202 где Хв и Хв — длины волн де Бройля, а о1 н п2 — скорости 10 ~г> движения частицы соответственно в областях 1 и П. Выражая е1 и считать, что частица приближается к барьеру со стороны отРицательных значений х, т. е.
движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера Уо, т. е. Е<(/о(случай Е>()о рассмотрен в задаче 4.7). Уравнение Шредингера для областей 1, П и П1 имеет вид О а х Рне. 4.8. Прямоугольный потенциальный барьер +/с у (х) =Π— )с (х) =О 12 В Чз(х),г (4.47) Г2щЕ 2гно ((Уо Е) где )с1 — — ] —, 12 —— 82 ' 82 Волновые функции, являющиеся решением уравнений (4.47), запишем следующим образом: ~лг (х) = А1е' ге + В1е ' '", Яг2(х) = А2е ~" + В2е г Уз(х) =Азе~ гх+Взе ~ 'х (4.48) 203 Как обычно, будем считать амплитуду падающей на барьер волны де Бройля Аг — — 1.
Коэффициент Вз положим равным нулю, при- нимая во внимание, что при движении частицы слева направо в области 1П может распространяться только проходящая волна. Условие непрерывности волновых функций и их производных на границах барьера, т. е. при х = 0 и х = а, приводят к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными — коэффициентами В! Аг Вг Аз: 1+ В! = Аг + Вг, Й! Й!В! = хгАг хгвг, Аге'г~+ Вге 'г~ = Азе"! )гАге г~ йгВге 'г~ =Й!Азе (4.49) 4й!!!ге ~!~ 3 ()!!+юйг) е~г~-(7с! — Йг) е ~г Рассчитаем плотности потоков вероятности для падающей на барьер и прошедшей через него волн. С учетом (4.36) и (4.48) найдем, что М~~ ~г Коэффициент прохождения частицы через барьер 1+ ! г зЬ )!га (4.50) Эта система имеет решение при любых значениях параметров х! и /сг, т.
е. при любых значениях энергии частицы Е. Следовательно, энергетический спектр частицы является непрерывным. Основное внимание в данном случае сосредоточим на анализе прохождения частицы через барьер. Решая систему уравнений (4.49), для амплитуды Аз прошедшей через барьер волны получаем ц случае, когда ширина барьера а удовлетворяет условию ), а»1(приведенные выше численные оценки показывают, что для электрона это условие выполняется уже при ширине а в несколько атомных слоев), е 2" «1 и гиперболический синус Ьза можно заменить экспонентой а1й2а= — е 2 . При этом коэф- 2 фициент прохождения 11 частицы через барьер примет вид 1> 1б)~! 12 -2ьза 2 2 ~) 2+~2)' Подставляя сюда выражения для /с1 и Й2 (см. (4.47)), получаем 11=130ехр — — 2то(Уо — Е) .
Е( Е1 Здесь коэффициент Во —— 16 — 1 — — является медленно изме- (70 ~ (70! Е няющейся функцией отношения —, численное значение которой цо' сравнимо с единицей. Основной вклад в зависимость В от параметров задачи дает экспонента. Поэтому в большинстве случаев при оценке коэффициента прохождения через потенциальный барьер полагают По =1. При этом выражение для 11, которое используется при расчетах прозрачности барьера, принимает вид 1)=ехр — 2то(Уо — Е) .
2а (4.51) Отсюда следует, что коэффициент прохождения 17 испытывает сильную (экспоненциальную) зависимость от ширины барьера а, массы частицы во и Разности энеРгий Уо — Е. Обобщим полученный результат на случай потенциального барьера произвольной формы. для этого представим потенциаль- 205 о=по; =и'"г1 ~Я~Й';Г я)1= ( 2бх; (4.52) =ехр -,'Г ' 2гл(з(У(х;) — Е| 2лх; где Ьх; — ширина г-го барьера; У(х;) — высота г'-го барьера. Пе- реходя в (4.52) в пределе Ьх; -о О от суммирования к интегрирова- нию, получаем — ~,/2 д~~/(,) — я1ш~ 2 3 х1 )9 = ехр (4.53) где х) и х2 — значения координат, при которых У(х) = Е (рис. 4.9, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
