Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. энергия частицы в яме квантуется. Преобразуем уравнение (4.62) с учетом (4.58) к виду яп /сса — + 1 /с1 г Г 1+сс8 )(са (сс +1сг г г С учетом того, что, согласно (4.58), 1сс + 1сг — — — Уо, получаем г 2лсо йг „г з(п1с1а =* г 2 ацо (4.63) Воспользуемся условиями, налагаемыми на волновую функцию.
Поскольку волновая функция должна быть всюду конечной, а первое слагаемое в (4.60б) при х->- неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент В был равен нулю, т. е. чтобы уг(х) =Се ~г". Перейдем теперь к анализу граничных условий. Непрерывность волновой функции щ1(х) на левой непроницаемой для частицы границе ямы приводит, как мы уже видели в 4.2, к соотношению чсс(0) =О, откуда следует, что ос=О. Условия непрерывности волновых функций и их производных при х= а дают следующую систему уравнений: Построим графики левой и правой частей уравнения (4.63) как функции параметра й1а.
Точки пересечения синусоиды с прямой (рис. 4.19) определяют корни уравнения (4.63), отвечающие искомым значениям энергии частицы Е. Поскольку, согласно (4.62), 18/сса <О, будем выбирать только те значения параметра lс1а, которые удовлетворяют условию о г йг <— 2слоУоа пс'2 Отсюда получаем ганг Уоа ) —. 8лсо (4.64) Обсудим это соотношение подробнее. Именно при выполнении этого условия уравнение Шредингера для частицы в яме имеет решение, т. е.
в яме есть хотя бы один энергетический уровень. 220 Я вЂ” +ПГЛ<й1а<П+Ят, 1 2 3 где и = О, 1, 2, 3,... На рис. 4.19 0 соответствующие области значе- 2к Зк 1ссл 3 ннй 1с1а на оси абсцисс выделены жирной линией. Приведенные графики показывают, что энергетический спектр частицьс является дискретным. Чем больше глубина Уо и ширина а потенциальной ямы, тем ниже наклон прямой линии графика правой части уравнения (4.63) и тем больше точек пересечения имеет прямая с синусоидой. Следовательно, тем больше энергетических уровней помещается в потенциальной яме. Найдем условие, при котором в яме существует хотя бы один энергетический уровень.
В этом сцучае коэффициент, определяющий наклон прямой линии графика правой части уравнения (4.63), должен удовлетворять неравенству роворят, что в этом случае частица находится в яме в связанном состоянии. Отметим, что в левую часть неравенства (4.64) входят только параметры потенциальной ямы — ее ширина а и глубина уо, а правая часть неравенства для рассматриваемого типа частиц (значения то) представляет собой константу. Пусть потенциальная яма недостаточно глубока или недостаточно широка, что приводит к нарушению условия (4.64). В этом случае уравнение Шредингера для частицы в яме не имеет решения, или, как говорят, в яме нет ни одного энергетического уровня, В физике такие случаи отсутствия связанных состояний достаточно хорошо известны. Так, например, между двумя нейтронами или между двумя протонами действуют ядерные силы притяжения, однако связанного состояния двух нейтронов или двух протонов в природе не существует — потенциальная яма, соответствующая взаимодействию этих частиц, имеет недостаточную ширину и глубину.
Сила взаимодействия между протоном и нейтроном лишь незначительно превышает силу взаимодействия между двумя протонами или двумя нейтронами, однако этого превышения оказывается достаточно, чтобы появилось связанное состояние нейтрона и протона — дейтрол. В потенциальной яме, характеризующей взаимодействие протона с нейтроном, существует лишь один энергетический уровень. Это означает, что дейтрон всегда находится в основном состоянии и не имеет возбужденных состояний.
Вернемся к анализу волновых функций данной задачи. При х < О, как уже отмечалось, у(х) м О. В области 1, т. е. в потенциальной яме, волновая функция имеет вид ц~~(х) = Аа)пй~х, зто означает, что уравнение Шредингера, как и в случае ямы с двумя бесконечно высокими стенками, имеет осциллирующее решение. Наибольший интерес представляет вид волновой функции в области Б у2(х) = Се Волновая функция зяз(х) вне потенциальной ямы отлична от нуля и убывает с расстоянием к по экспоненциальному закону, а 221 зто означает, что в связанном состоянии существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы вне потенциальной ямы (см. задачу 4.7).
Соотношения между константами А и С могут быть найдены из условия нормировки волновой функции. Качественный вид волновых функций для данной задачи приведен на рис. 4.20. Рассмотрим теперь случай Е > Уо. Уравнение Шредингера в областях 1 и И соответственно имеет внд Рис. 4.20. Волновые функ- ции частицы в яме с одной непроницаемой стенкой ,12 +й1 ~Р1 =0 (4.65а) ,12 2+~, 2~/ 0 (4.656) где я1 — — — Е; Р2 — — — (Š— УО). ~г, г, ~ йг ',г Р у1(х)=А ипк1х= — ~е — е l Й1х -Й~х) 21 (4.66) Решение уравнения (4.65б) представим в виде 'Ч 2 (х) = В сй " — С'с Й " (4.67) Сшивая волновые функции и их производные в точке х=а, приходим к следующей системе уравнений: 222 Запишем решение уравнения (4.65а) с учетом условия на границе ямы у1(0)=0 Й1а — Й1а ы Йза; ~ -Йза 2( А 7г ( ' ' Й' )=Вг (В'ей ~+С'е Й ).
21 Решая эту систему относительно амплитуд В' и С', получаем их выражения через амплитуду А '. В'= — е ' з' ей" — '+1 +е '"1' — '-1 (4.68) С'= — е' за е' 1~ — 1-1 +е Й1~ — 1+1 Отметим, что соотношения (4.68) определяют амплитуды В' и С' при любых значениях 11 и х2, т.
е. при любом значении энергии частицы Е) Ио. Следовательно, при Е > Уо частица имеет непрерывный спектр энергии. Обсудим вид волновых функций (4.66) и (4.67). Каждая из них представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны е ' распространяющейся справа налево, и волны е', распространяющейся слева направо. Пришедшая из + волна (второе слагаемое в (4.67)) на границе ямы х = а частично отражается, внося вклад в первое слагаемое в (4.67), и преломляется (второе слагаемое в (4.66)). Далее волна полностью отражается от стенки при х = О, ( первое слагаемое в (4.66)), опять преломляется на границе ямы х= а, внося вклад в первое слагаемое в (4.67), и уходит на бесконечность.
Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины. Рассмотрим частицу, находящуюся в области симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины (рис. 4.21). Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела.
Потенциальную энергию частицы в такой яме представим в виде 223 Уо х< О У(х)= О, 0<х<а, Ц х>а Рассмотрим сначала случай Е < По, т. е. будем считать, что частица находито е х ся в связанном состоянии. Уравнение Шредингера в областях 1 и Ш (вне поРис. 4.21. Потенциальная тенциальной ямы) запишем следующим Яма конечной глУбины образом " %,3 2глО 2 1х2 й2 ' — — (УО-Е) Ч 1,3 =0 Вводя обозначение lг1 — — — (Уо — Е), получаем г, ,г г 'е1,3 2 1х2 -к1 Чг1,3=0.
Решения этого уравнения имеют вид ц~1~х)=А1е '"+В1е '", х<0, ~/3(х)=Азе '"+Взе '~, х>а. Для того чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать,чтобы В1 — — 0 и АЗ=0. В области Б, т. е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шредингера И~щз 2гло — 2+ — Ечгз —— 0 йг имеет осциллирующее решение у2(х)=Сзш(й2х+а), где lс2 —— 1~ — Е, а С и а — некоторые постоянные. 2ю() )~ йг 224 'чс1(х)=Асехсх, х<0 'згг(х) =Сз)п(1с2х+а), 0< х< и тз 1х) = нзе с~, х > а.
(4.69) В силу непрерывности воино ф точках х=О и х=а получаем сйа= — ' хг )с~ сй(/с2а+ а) = —. х2 й,' Эти соотношения можно привести к виду й~2 япа= Г2ЖО яп(сс2а+ а) =— иссг 2 Оуо Исключая из них а, получаем выражение иссг Й2а =пи — 2агсяп, и=1, 2, 3, .Г2Мlо (4.70) которое и определяет вид энергетического спектра частицы в потенциальной яме. Отметим, что отрицательные значения и и и =0 не удовлетворяют условию задачи, поскольку левая часть (4.70) неотрицательна. В силу того что аргумент функции агсяп не может превосходить единицу, значения lс2 ограничены величиной сс2 = — ~2и~~ф70. 1 й 225 8 — ьз329 Таким образом, волновые функции частицы для данной задачи записываются как Покажем с помощью графического метода, что энергия частицы в яме квантуется, т.
е. энергетический спектр, определяемый уравнением (4.70), имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (4.70) в зависимости от к2 ( рис. 4.22) . График левой части представляет собой прямую линию у=й2а, наклон которой возрастает с шириной ямы а. Графики правой части уравнения (4.70) для значений п = 1, 2, 3 пред- Зк Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
