Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Отражение частицы от потенциальной ямы представляет собой чисто квантовый эффект. Классическая частица не может огразиться от потенциальной ямы, в области ямы лишь возрастают ее кинетическая энергия и скорость. Квантовая частица испытывает отражение от ямы в силу того, что она обладает волновыми свойствами и, подобно волне, может отражаться от любых препатствий.
Поскольку козффициентотражения Ю и коэффициентпрохождения В связаны соотношением И =1- Р, то максимум отражения будет наблюдаться в том случае, когда коэффициент прохождения Р минимален. Согласно (4.74), коэффициент прохождения В имеет внд йза=(2т+1) —, т=0,1, 2, 3, ... 2 Отсюда находим ширину ямы а, при которой отражение частицы будет максимальным: (2т+1) яй ~/8в~Е Отметим, что это условие можно переписать в виде 2т+1 ~'5 4 2яп где Хь — — — дебройлевская длина волны частицы в яме. ,12тьЕ 4.5.
Квантовый гармонический осцнллятор ь 2 2ХЗ У(х) = — = 2 2 (4.77) ГГ где гоо — — — — собственная частота классического гармоничето ского осциллятора. Таким образом„ квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенниальной яме (рис. 4.24). 234 Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем вблизи положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.
д. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси х под действием возвращающей квазиупругой силы Г,= — кх. Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет вид — + — Е- у=О, — <х(+ . (4.78) ,~г~ 2 ( оэ хг1 ,(хг йг Вводя величины 2Š— и хо — — ~ Ьгоо ~ аогоо (4.79) и переходя к новой безразмерной переменной ~ = —, приводим хо уравнение (4.78) к виду ,„г ~'+(П-рг) к=О.
~~г (4.80) 235 рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть частица, обладающая полнойэнергией Е, совершает колебания в силовом поле (4.77). Е Точки ао и — ао, в которых полная энергия частицы равна потенциаль- -ао О ао х ной энергии Е = У(х), являются для частицы точками поворота. Час- рис. 4.24. Потенциальная тица сове шает колебательные дви- инертна гармонического остица совер циллятора ження между стенками потенциальной ямы внутри отрезка ~ — ао, ао], выйти за пределы которого она не может. Амплитуду колебаний ао находим из выражения 2' В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера (4.6), в котором потенциальная энергия У имеет вид (4.77): г1= 2л+1, а=О, 1, 2, 3, ... Выражая, согласно (4.79), энергию осциллятора Е через получаем Е = лгоо н+ — ~, а=0, 1, 2 3, ...
г,)" (4.81) Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора. Отметим, что уровни П энергии гармонического осциллятора в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямьк яв- О лаются эквидистантными, т. е. расположены на одинаковом энергетиРне. 4.25. Уровни энергии ческом Расстоинии ЬЕ = Ьщс дРУг гаРмони~ес~ого осцнлаа- от друга (рис. 4.25). Еще одной важной особенностью энергетического спектра (4.81) является наличие так называемых нулевых колебпний — колебаний с 1 энергией Ео — — — йщэ, соответствующих значению квантового 2 числа и =О. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно, как мы уже видели, для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей. В реальных квантовых системах, например в кристаллах, зти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться.
Нулевые колебания играют в физике весьма важную роль, в частности, они обусловливают отсутствие кристаллизации жидкого гелия при нормальном давлении даже при абсолютном нуле 236 Анализ показывает, что волновые функции, являющиеся решением уравнения (4.80), будут непрерывными и конечными не при всех значениях параметра ц, а лишь при мператур. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении ириды сил молекулярных взаимодействий, физических особенноей поверхностного натяжения, адсорбции и других молекулярных явлений.
В эксперименте наличие нулевых колебаний наблюдается, в частности, в опытах по рассеянию света кристаллами при низких температурах. 1 Покажем, что значение нулевой энергии Ео = — агсо есть как 2 раз то минимальное значение энергии осциллягора, которое согласуется с требованиями соотношения неопределенностей. Поместим начало координат в точку, являющуюся положением равновесия гармонического осциллятора, совершающего колебания по закону х = хо сов шок Тогда неопределенность координаты Ьх принимает внд Лх = ч х = ао соз мог = ~ — ао, г г г 1 г 'з' 2 где черта означает усреднение по времени.
Амплитудаколебаний ао связанас энергией Е соотношени- 1 г г ем Е= — тоао гао, следовательно, 2 Аналогично для неопределенности импульса имеем — то ао гсо =,~тоЕ. г г г 2 Подставляя Лх и Лр в соотношение неопределенностей Ахар > л ~-, получаем следующее условие: Е>йщз/2, т. е. действитель- 2 но минимальное значение энергии гармонического осциллятора ес, Ео =йво~2.
237 (4.82) Условия, которые определяют изменение квантовых чисел при разрешенных переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, согласно правилам отбора, квантовое число и при испускании и поглощении электромагнитного излучения квантовым гармоническим осциллятором может изменяться только на единицу.
Перейдем теперь к анализу волновых функций гармонического осциллятора. Как следует из теории дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, волновые функции, являющиеся решениями уравнения (4.80), имеют вид ~у„(«)=С„е г Н„Д), и=О, 1, 2, ..., (4.83) где ф— коэффициент, получаемый из условия нормировки волновой функции. Функция Н„(«) представляет собой полипом Чебышева — Эрмнта и-го порядка: «г (-1)" «г Ы"е-« ~~2" и! /к (4.84) Отметим, что для этих полиномов справедливо рекуррентное со- отношение Нп и (~) + 2«Н„(~) — 2и Н„~ («) = О, 238 Эквидистантность энергетических уровней гармонического осциллятора (см. выражение (4.81)) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение частотой щ кратной гоо, т.
е. оз= Ьиого, где Ьи — разность квантовых чисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако на самом деле это не так. Точный расчет, выходящий за рамки данного курса, показывает, что особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями, т. е. позволяющее найти Н„(~) для всех и, исходя из того, что Но(~)га1 и Н,(~)=4. На Ример, Нг (~) = 2Г Н1 (Р,) — 2Но (~) = 4~ — 2, Нз(г) =2гНгй)-4Н)(1) =8г, -12г, и т. д. Волновые функции (4.83) ортонормированы, т. е. удовлетворяют условию 1 ( х Ч~о(х) = г — ехр~ г /ххо ~/л 2хо /2~Д о ( 2 д ) 1г'г(х) = — 2-2 ехр "/8хо'Б хо 2хо (4.85) ГРаФики волновых функций для значений квантового числа и от 0 до 5 пРедставлены на Рис. 4.26.
ОтРезок (-ао, ао) опРеделЯ- ет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор Ширина этой области оказынается различной для разных значений квантового числа и, поскольку энергия осциллятора, а следовательно, и амплитуда его колебаний также зависят от и. 239 где Ь„ — символ Кронекера. Приведем вид нормированных волновых функций для первых трех энергетических уровней гармонического осциллятора Рнс. 4.26. Волновые функции гармонического осциллятора Из (4.83) — (4.85) следует, что волновые функции гармонического осциллятора обладают определенной четностью. Они являются четными функциями координаты х при четных значениях л и при и=О, и нечетными функциями при нечетных н.
Значение квантового числа н определяет также число точек пересечения волновой функции с осью х. В основном состоянии, т. е. при п =О, точки пересечения внутри параболической ямы отсутствуют, при н =1 имеется одна точка пересечения, при л = 2— две и т. д. Таким образом, при увеличении квантового числа и на единицу волновая функция гармонического осциллятора меняет четкость и приобретает добавочную точку пересечения с осью х. Отметим, что вне классической области 1-ао, ао] волновые функции ц~„отличны от нуля, что свидетельствует о том, что квантовый гармонический осциллятор с определенной вероятностью может находиться вне пределов параболической потенциальной ямы (см. задачу 4.10). При малых значениях квантового числа и плотность вероятности нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции ~Ч/„(х)~, кардинальным образом отличается от плотно- 2 сти вероятности обнаружения классического осциллятора 240 йР 1 йх ЖД2 х2 (4.86) Плотность вероятности в случае классического осциллятора (4.86) можно получить следующим образом.
Пусть за время й частица проходит путь от точки с координатой х до точки с координатой х+ йх, т. е. ее координата меняется в интервале значений шириной йх. Поскольку для гармонических колебаний 2к 2л 2к х=аоз(п — 6 а йх= ао — соз — гйб то вероятность йР того, что Т Т Т частица при движении в одну сторону находится в интервале ши~1г йх йх риной йх, равна йР—— Т,12 2п ~ г г' — — , откуда и аок сох — г л /ао — х Т следует (4.86). При я=О плотность вероятности обнаружения квантового г осциллятора ~щ(х)~ имеет форму гауссовской кривой с максимумом в точке х = 0 (рис. 4.27, а, сплошная линия), а плотность вероятности обнаружения классического осциллятора (4.86), наоборот, минимальна в точке х = 0 и стремится к бесконечности в точках поворота, в которых скорость частицы становится равной нулю (рис. 4.27, а, пунктирная линия).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
