Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Поскольку их сумма — величина постоянная, то каждое из этих слагаемых также будет постоянной величиной: где константы Е,, Е~, Е- имеют размерность энергии и удовлетворяют условию Е, + Е + Е = Е. Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармонического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (4.81), (4.83)). Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представляет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармонического осциллятора (4.83) и зависит от трех квантовых чисел и,, лз и лз: Ч'л,,м,и (х, У, а) = Ч'ч (х)Чге, (У)Чиз (т» л,,лз,из=0,1,2,3,...

Для энергии трехмерного изотропного гармонического осциллятора получаем следуюшее выражение: Е„=йшв л+ —, где п=л +из+из, л=О, 1, 2, 3, ... Найдем кратность вырождения л-го энергетического уровня трехмерного гармонического осциллятора. Для заданного значения л кратность вырождения уровня равна числу возможных перестановок трех чисел л,, лз и лз, сумма которых равна и. Найдем сначала число перестановок при фиксированном значении л,. Оно, как легко видеть, равно числу возможных значений лз (или, что то же самое, лз ). Число лз при заданном л, может меняться в пределах от 0 до (и — л,), т. е. принимает и — и,+1 значение.

Следовательно, число перестановок при фиксированном л, равно л — л1 +1. Суммируя зто выражение по л,, находим кратность вырождения л -го энергетического уровня: К„= ) (л-и,+1)= (и+1)(п+ 2) ао ' 2 Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора (л = 0) оказывается невырожденным (Ко — — 1) .

Первое возбужденное состояние (и = 1) имеет кратность вырождения К, = 3, ему соответствуют тройки квантовых чисел (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1). 248 5. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА Атомные системы являются объектами, для описания которых следует использовать законы квантовой механики. Именно поэтому в классической физике значительная часть экспериментальных результатов атомной физики не была объяснена. Первая попытка внести в теорию атомных систем идею квантования была предпринята Н.

Бором в 1913 г. Для простейшего атома водорода эта идея была реализована путем формального введения некоторых постулатов, решающим из которых был постулат квантования момента импульса электрона. Эта теория с большой точностью позволила рассчитать оптический спектр излучения атома водорода. Однако попытки обобщить теорию Бора на более сложные атомы не увенчались успехом.

Квантовая физика рассматривает атом как систему, в которой электроны движутся в кулоновском поле ядра. Квантовая теория атома базируется на уравнении Шредингера, решение которого позволяет полностью описать свойства атома. В нерелятивистской квантовой механике атомных систем в качестве дополнительной гипотезы была сформулирована гипотеза о спине (собственном моменте) электрона, позволяющая согласовать Результаты теории и эксперимента. В релятивистской квантовой механике представление о спине электрона является естественным следствием уравнения дирака, лежащего в основе этой теории.

Успехи квантовой теории атомных систем позволили предсказать ряд эффектов, которые были использованы при создании приборов и установок, широко применяемых в науке и технике, например приборов квантовой электроники. В частности, создание оптических квантовых генераторов (лазеров), разработанных на основе квантовой теории излучения атомных систем, стимулировало развитие новых направлений науки и техники в конце ХХ в.

5.1. Квантовые свойства атомов Излучение атомов. Важную информацию об атомах можно получить при исследовании их электромагнитного излучения. Опыты показывают, что оптические спектры атомов являются липейчатмми. Это означает, что спектры излучения атомов состоят из отдельных спектральных линий. При этом каждый атом имеет свой характерный лннейчатый оптический спектр. Так, для простейшего атома водорода еще в 1885 г.

эмпирически была найдена формула, получившая название обобщенной формулы Бальмера. Оказалось, что с большой точностью длины волн излучения или частбты для всех спектральных линий атома водорода описываются удивительно простыми по форме соотношениями: (5.1а) (5.16) Здесь Я = Я/(2лс) =109678 с м, 11 = 2,067 10 с — посто- янная Ридберга; п и й — целые числа. Известны следующие серии спектральных линий излучения атома водорода, названные в честь их первооткрывателей: и = 1 — серия Лаймана (ультрафиолетовое излучение), и = 2 — серия Бальмера (видимый свет), п = 3 — серия Пашена (инфракрасное излучение), п = 4 — серия Брэккета (инфракрасное излучение) и др.

Схема линий серии Бальмера в видимой части спектра атома водорода приведена на рис. 5.1: символами Но, На, Н, и Н5 обозначены характерные линии спектра излучения, а Н, указыва- ет коротковолновую границу серии, соответствующую в формуле (5.1а) значениям п = 2 и к -+ Отметим, что в соотношении (5.16) частота любой линии спек- тра излучения атома водорода может быть представлена в виде разности двух однотипных выражений, которые зависят от цело- 250 численных параметров и называются спектральными термами.

действительно, соотношение (5.1б) можно записать в виде ю„ь —— Т(п) — Т()с), (5.2) для которого терм Т(п) = —. Я 486,1 434,0 410,2 364,6 Х, нм 656,3 Рис. 5.1. Линии серии Бальмера в спектре излучения атома водорода Исследование оптических спектров излучения других более сложных атомов показывает, что формула (5.2) также может быть использована для расчета частот их излучения, однако для таких атомов термы имеют более сложный вид, чем для атома водорода. Соотношения (5.1а), (5.1б) и (5.2) отражают присущую атомам квантовую природу.

Действительно, если с помощью формулы Планка связать частоту излучения атома с его энергией, то из линейчатости спектра излучения мы придем к выводу о дискретности, т. е. о квантовании энергии атома. Опыт Франка — Герца. Одним из простых опытов, убедительно подтверждающих квантовые свойства атомов, связанные с дискретностью их энергий, является эксперимент, впервые выполненный в 1913 г. дж. Франком и Г. Герцем. Основным элементом экспериментальной установки (рис. 5.2) является трехэлектродная лампа, заполненная газом, например парами ртути, под давлением 1 мм рт. ст. В отличие от стандартного включения такой лампы, в опыте Франка — Герца сетка имеет положительный потенциал р относительно катода К и играет роль ускоряющего электрода.

Электроны, вылетающие из катода вследствие термоэлектрониой эмиссии, ускоряются разностью потенциалов у, которая может изменяться с помощью потенциометра П и измеряться вольтметром 1'. 251 К Сетка А Между сеткой и анодом- + ) .е г коллектором А создается слабое тормозящее поле за счет разности потенциалов между ними порядка 1 В. Часть электронов, пролетающих через и + сетку и способных преодолеть тормозящее поле, попадает на коллектор, вызывая некоторый Рнс. 5.2.

Схема установки в опыте ток, который измеряется галь- Франка — Герца ванометром Г. Двигаясь от катода к сетке, электроны сталкиваются с атомами ртути, находящимися в основном энергетическом состоянии. Если энергия атома может принимать только определенные дискретные значения и энергетическое расстояние между основным и первым возбужденным состояниями атома равно ЛЕ, то характер столкновений электрона с атомом будет существенно зависеть от значения кинетической энергии электрона Ж„= е1'.

Здесь У вЂ” ускоряющая разность потенциалов (напряжение) между катодом и сеткой. Если 1У„< ЛЕ, т. е. У< У1 = ЬЕ/е, то электрон при столкновении с атомом не сможет передать ему значительную часть своей энергии. Как говорят, соударение электрона с атомом в этом случае будет упругим.

При таком столкновении кинетическая энергия электрона не переходит во внутреннюю энергию атома, и в силу большого различия масс соударяющихся частиц электрон будет двигаться в газовом промежутке между катодом и сеткой практически без потерь энергии. Такие электроны, пролетев сквозь сетку лампы, легко преодолеют слабое тормозящее поле между сеткой и анодом-коллектором и обеспечат протекание тока в цепи коллектора. Как и в обычной вакуумной лампе, при увеличении У сила тока в цепи коллектора будет монотонно возрастать.

Однако если при движении в ускоряющем поле электрон приобретет кинетическую энергию, достаточную для возбуждения атома, то соударение такого электрона с атомом станет неупругим. Теперь значительная часть кинетической энергии электрона будет переходить во внутреннюю энергию атома, т. е. расходоваться на возбуждение атома. 252 Рис. 5.3, Зависимость аиолного тока в лампе, заполненной га- зом, от ускоряющего напряже- ния на сетке Иеупругие столкновения электронов с атомами начинают происходить при подлете электронов к сетке.

После столкновений энергетически "ослабленные" электроны уже не смогут преодолеть тормозящее поле и попасть на анод-коллектор. Следовательно, когда ускоряющее напряжение на сетке достигнет значения У, сила тока 1 в цепи коллектора должна резко уменьшиться. 1' При дальнейшем увеличении ускоряющего напряжения сила тока, регистрируемая гальванометром, будет снова возрастать.

Однако, когда значение ускоряющего напряжения станет равным У = 2У1, ток в цепи коллектора снова резко уменьшится, так как в этих условиях электрон, двигаясь в газовом промежутке, может дважды испытать неупругне столкновения с атомами. Соответственно возможны режимы с тремя неупругими столкновениями при У = ЗУ1 и т. д. Итак, если имеет место квантование энергии атома, то при значениях ускоряющего напряжения У на сетке, кратных У1, на кривой зависимости силы тока 1 в цепи коллектора от ускоряющего напряжения У на сетке должны наблюдаться резко выраженные спкды.

При этом расстояние ЬУ между началами этих спадов по шкале ускоряющего напряжения связано с энергией возбуждения ЬЕ атома соотношением ЬЕ = еЬУ. Зависимость 1 =1(У), полученная в опыте Франка — Герца (рис. 5.3), прекрасно подтвердила 1, этот вывод. Такая зависимость отн ел является убедительным экспериментальным доказательством дискретности энергетических состояний атомов. В частности, из представленного на рис.

5.3 графика 1 следует, что первое возбужденное состояние атома ртути отделено от основного состояния энергетиче- О 4,9 9,8 14,7 К В ским промежутком в 4,9 эВ. Аналогичные закономерности наблюдаются и при заполнении лампы другими газами, например 253 неоном и гелием. При этом более тщательная постановка опыта позволяет обнаружить также спады в зависимости 1 =1(Р), обусловленные другими возбужденными состояниями атома и даже его ионизацией.

Другой важный результат опыта Франка — Герца с атомами ртути связан с испусканием лампой ультрафиолетового света с длиной волны Х = 253 нм, которое начинается как только разность потенциалов между катодом и сеткой достигает значения 4,9 В. Это излучение можно наблюдать, если колбу лампы изготовить из кварца или стекла, пропускающего ультрафиолетовое излучение. Такое излучение объясняется тем, что возбужденные электронными ударами атомы ртути возвращаются в основное состояние путем испускания излучения.

Характеристики

Список файлов книги