Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Решенпа Искомый потенциал сккадывается из потенциапа поля ядра и потенциала электронного облака, связанного с движением электрона вокруг ядра: ф= <р, +ф,. Согласно вероятностному смыслу волновой функции, объемная плотность электрического заряда в электронном облаке равна р, = 2 = -еРрпп~ . Потенциал поля такого распределенного в пространстве заряда можно определить, решив уравнение Пуассона для потенциала: р ЬФ, = —. ео Если в качестве масштаба расстояний и характерного потенциала в атоме водорода выбрать боровский радиус а и потенциал поля ядра на этом расстоянии <ро —— е('(4пкоа), то в безразмерном виде уравнение Пуассона запишется как 2 ~1~ре — (г — '~ = 4ехр( — 2г). .2 (1 1г Зто уравнение представим в виде (т — (гф, ) = 4ехр( — 2г).
г Нг Решением этого неоднородного дифференциального уравнения явля- ется функция (1 1 <р, = ( -+1) ехр(-2г) —. 1г г Так как потенциал поля ядра в используемых безразмерных переменных имеет вид <р, = 1/г, то окончательно для потенциала злектриче- ского поля в атоме получаем (1 <р=<р, +<р, =~ — +1 ехр( — 2г). 2?б цоэврашаясь к размерным величинам, запишем для основного со„ня атома водорода распределение в пространстве потенциала электрического поля: Ч(г) = — +) Анализ этого выражения показывает, что вблизи ядра (г « а) 4яе,г т, е, электрический потенциал в этой области пространства определяется практически только положительным зарядом ядра.
При удалении от ядра поле отрицательно заряженного электронного облака начинает экранировать поле ядра и иа достаточно больших расстояниях от ядра ~г >> а) е ( 2г1 ~р(г) = ехр~ — ), 4яеса (, а ) т. е. потевйиал очень быстро (экспоненциально) убывает по мере уда- ления от (шра. 5.4.
Квантовые числа и их физический смысл Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать н квантовое состояние атома) полностью определяется тремя квантовыми числами. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома", — так может современный физик перефразировать известное изречение Архимеда. Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения н определяет, т. е. предсказывает, результаты измерения ~~полных физических величин в заданном квантовом состоянии атома, К Главное квантовое число л. Это квантовое число принимает значения л=1,2,3, 277 и определяет полную энергию электрона в любом квантовом со- стоянии тое 1 13,6 — эВ.
32п2е282 2 2 О (5.37) Можно отметить, что эти значения энергии являются собственными значениями гамильтониана (5.17а). Поэтому в связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения Е = О. 2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число Е В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа и азимутальное квантовое число может иметь следующие значения: 1= 0, 1, 2, 3, ..., (п-1).
Стационарные волновые функции у„~ (г, 0,<р), описывающие различные квантовые состояния атома (см. 5.3), являются собственными функциями не только оператора полной энергии Н, но и оператора квадрата момента импульса Е, т. е.
Е' р.ь. = 1(1+ 1) й' ааль.. ь=й |Ц(1+1). (5.38) Проанализируем эту формулу квантования момента импульса (5.38). Сравнивая ее с условием (5.3) квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия не совпадают. И дело не только в различии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное 278 Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом: м ~"~ * " *~* ы состояния атома с левым моментом им льса. Во е ео Т 2кг который можно охарактеризовать магнитным моментом: м ° 2 еог р =Юкг = —. 2 Связь механического и магнитного моментов при этом определя- ется гиромагнитным отношением р" е Го ~ Т.
2то (5.39) 279 во всех есех е-состояниях и, в частности, в основном 1е-состоянии, когда 1- О из формулы (5.38) получаем Т =О. При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории ~<>рбнте) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса. Опыт подтверждает существование квантовых состоял й ма с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем — таков вывод современной физики. Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обусловливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом р™, В теории ора, когда с позиции классической теории рассматривается уговое движение электрона по орбите радиуса г со скоростью о, модуль орбитального механического момента равен 2,= тонг.
Если время полного оборота электрона Т, то такому движению соответствует замкнутый ток Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента р" проти- =гоТ, — ць~Я1+1). (5.40) Здесь универсальная постоянная рв = — =0,927 10 Дж/Тл ей -гз 2то служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетопом Бора. Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число 1 изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов Ы =х1, называется правилом отбора.
Нар бр бу в но ение стон осит или вносит не только квант эне гии, но и вполне о е еленный момент им лье изменяю ий о би- тальное квантовое число элек она всег а на едину 280 воположно направлению вектора механического момента импульса Х (рнс. 5.8). Для расчета орбитального магнитного Рис.5.8.Орбитальные момента в квантовой теории следует опмоменты атома ределнть пространственную плотность электрического тока )пб через плотность потока вероятностей ~' по формуле )пб = — е1.
Плотность потока вероятности при этом можно найти по формуле (3.23), зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантово-механический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39). Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом Т., модуль которого определяется по формуле (5.38), но и магнитным моментом 3.
Магнитное квантовое число т. В квантовом состоянии с ~анным значением орбитального квантового числа 1 магнитное нтовое число может принимать 21+1 различных значений из ряда т=О, Ы, х2,..., Ы физический смысл магнитного квантового числа вытекает нз фу ция у.,.(г,Е,Р), ° ° ° .щ вое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса 1.„причем ~Лпьп тИпав' Поэтому из общих положений квантовой механики (см. 3.5) следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление г может иметь только определенные значения, равные (5.41) Направлейие г в пространстве обычно выделяется внешним полем (н имер, магнитным или электрическим), в котором находится ато .
г Так как формула квантования проекции механического момента (5.41) соответствует вполне определенным направлениям орн- +2" ентации в пространстве вектора Е (рис. + а 5 9), эту формулу обычно называют формулой пространственного квантования. О С точки зрения классического представления об электронной орбите с учетом перпендикулярности вектора Е к плоскости — 2а оРбиты, из выражения (5.41) определяются возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля. Сравнивая (5.38) и (5.41), можно заме нне момента импультить, что максимальное значение проекции са электрона 281 момента импульса л1 не равно модулю момента импульса л (Ц1+ 1), а меньше его.
Это связано с тем, что, как показано в 3.7, проекции момента на две различные координатные оси не могут быть определены одновременно точно. Поэтому невозможно точное совпадение направления вектора орбитального момента импульса с направлением оси с. Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом (5.41) записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление я: (5.42) р =1о~ ='Ч'в зависящие от значения магнитного квантового числа т.
5.5. Опыт Штерна — Герлаха. Гипотеза о спине электрона Опыт Штерна — Герлаха. Оптические эксперименты дают вполне достаточные доказательства квантования энергии атомов. угой вид квантования — пространственное, ее сность ое нтного момент а на н веление внешнего магнитного поля, демон ет о т с атомными каму выполненный О. Ш ном и В.
Ге лахом в 1922 г. Пространственное квантование орбитального магнитного момента для атома водорода описывается формулой (5.42). Для более сложных многоэлектронных атомов эта формула несколько видоизменяется (см. 5.6). Однако и для них остается в силе основной вывод квантовой теории: екция магнитного момента атома на на авление внешнего магнитного поля жет иметь только ис- к етные квантовые значения. В опыте Штерна — Герлаха пространственное квантование для атомных систем демонстрируется следующим образом.
Путем испарения в вакуумной печи атомов серебра или другого металла с помощью тонких щелей формируется узкий атомный пучок (рис. 5.10, а). Этот пучок пропускают через неоднородное магнитное поле с существенным градиентом магнитной индукции. Индукция магнитного поля В в опыте достаточно велика и направлена вдоль оси ~. 282 для создания такоГО маГннтнОГО пОля используют маГнит с ноидным полюсным наконечником вблизи которого проходит атомный пучок(рис 5 10 б) Магнит Стеклянная пластинка а Печь Рис. 5.10. Схема опыта Штерна — Герлаха: а — схема установки; б — форма межполюеного канала магнита На пролетающие в зазоре магнита атомы вдоль направления магнитного поля действует сила „дВ м ' д~' (5.43) 283 обусловлены~ градиентом индукции неоднородного магнитного поля и зависящая от значения проекции магнитного момента атома на направление поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
