Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(5 2О) ~Ь" 2," 4нво, этого уравнения будем искать в виде функций с Разделянпцимися переменными: Ч~ = Х(г)У(9,<р) (5.21) Заметим, что если два оператора содержат дифференциальные операции по разным переменным, то результат их последовательного действия на волновую функцию не зависит от порядка их следования, т. е. два таких оператора коммутируют. Поэтому коммутируют операторы Л, и Лв,, а также оператор ЬВ, и оператор умножения на функцию 0(г), зависящую только от радиальной координаты. Отсюда следует, что оператор квадрата момента импульса Е коммутирует с гамильтонианом Й в форме (5.17б), записанной для сферически симметричного поля кулоновских сил.
Согласно общим положениям квантовой механики, изложенным в гл. 3, это означает, что в любом стациона ном состоянии атома эле он имеет не только о е еленное значение полной эне гни Е но и опяейеленное не изменяю ееся со в еменем значение мол ля момента им льса Ь = г Этот вывод квантовой теории атома полностью соответствует классическому результату, согласно которому момент импульса ~вдается интегралом движения и не изменяется со временем при движении частицы в поле центральных сил. Значит, функция 1(и Ч) в (5.21) должна быть собственной функцией оператора т е.
удовлетворять уравнению 267 (5.22) )„г 2т г2 4яеог) Х = ЕХ. (5.23) Решение этого уравнения будем искать в виде Х(г) = —. Я(г) г (5.24) Подставив искомую функцию Х(г) такого вида в уравнение (5.23), получим более простое по форме уравнение для функции В(г): 1(1+ 1) Й Уе 1 — — Н = ЕЯ.
(5.25) 2т гз 4пеог~ Перейдем в этом уравнении к безразмерным величинам г 1 Е р=У вЂ” и е= — —, а>0, а уз)у (5.26) выбрав в качестве характерного размера боровский радиус 268 Функции 1) = 1) (О, у) называются сферическими, или шаровыми, функциями (см. формулы (3.70)). Эти функции определяются двумя целочисленными параметрами 1 и т, которые называют квантовыми числами. Орбитальное (азимутальное) квантовое число 1 принимает значения 1=0, 1, 2, ... Квантовое число т=О, +1, +2, ..., +1 называют магнитным квантовым числом. Физический смысл этих квантовых чисел и их названий мы обсудим ниже.
Подставив в уравнение (5.20) волновую функцию в виде (5.21), где У(О,у) =1"~ (О,~р), и разделив его на этот угловой множитель, получим уравнение для радиальной функции Х (г): ,1 82 тое качестве характерной энергии — энергию ионизации атома водорода, найденную в теории Бора: 1 е Й тое )г'=Е; — —— 2 4кеоа 2тоа' 32п~в~ой Тогда Уравнение (5.25) примет вид а211 1 2 1(1+1) — з+ — — з -в Я=О.
(5.27) В(р)=и(р)ехр( — ар), а= /е. (5.28) Подставляя (528) в (5.27), находим уравнение для новой искомой функции и ~р). После несложных вычислений получаем И и Ии ~2 1(1+1)1 — -2а — + — — и =О. (5.29) Функцию и(р), являющуюся решением этого уравнения, будем искать в виде степенного ряда ОО и(р)=р+ ~ аьр =,) аьр ь=о в=о (5.30) Для нахождения коэффициентов этого ряда аь подставим (5 30) в (5.29) и соберем члены ряда с одинаковой степенью р. Такая подстановка дает 269 Точное решение этого дифференциального уравнения с перемен- ными коэффициентами следует искать в виде произведения двух функций: + 2 [2-2сх('1+1+1)~р ь=о (5.31) В первой сумме при )с = 0 выражение в квадратных скобках обращается в нуль. Поэтому суммирование в ней фактически начинается с 1с = 1.
Следовательно, сдвинув на единицу индекс суммирования в первой сумме, формулу (5.31) можно преобразовать к виду ~ ~аь+~ [(1с+1+ 2)()с+1+1) -1(1+1)) + +аь [2 — 2сх()с+1+1)))р + =О. 2сс()с+1+1) — 2 ()с+1+ 2)(1с+1+1) — 1(1+1) (5.32) Однородность уравнения (5.29) позволяет, выбрав значение коэффициента ао, по формуле (5.32) определить а~, затем найти аз и т.
д. Вычисляя таким образом все коэффициенты ас,находим искомое решение уравнения (5.29) в виде ряда (5.30) по степеням р с известными коэффициентами. Из (5.32) следует, что для достаточно больших значений Й 2а связь между коэффициентами ряда (5.30) имеет вид аь с = — ас. 1с Но именно такая связь существует между коэффициентами ряда ~ — р =ехр(2ар), " (2ос) ь=о 270 Чтобы это равенство выполнялось при всех р, коэффициент при каждой степени р должен быть равным нулю. Значит, ряд (5.30) будет решением уравнения (5.29), если выполняется следующее рекуррентное соотношение для его коэффициентов: являющего собой разложение экспоненты с показателем епенн 2аР.
Следовательно, если РЯд (5.30) имеет бесконечное ло слагаемых, то для достаточно больших значений р функ„и (р) будет иметь следующую асимптотику: и(р) =р+ ехр(2ар). 2а(и, +1+1) = 2. (5.33) Обозначим целое число и„+1+1= и, назвав и„радиальным квантовым числом, а п — главным квантовым числом. Очевидно, что и>1+1,т. е. 1~и — 1. Условие (5.33) в этом случае принимает вид ап=1 нли I г а = 1! и . С учетом соотношений (5.26) это условие можно сформулировать как условие квантования полной энергии электрона в атоме Е„=— е. алое 1 — и = 1, 2... О (5.34) 271 Ио тогда из (5.28) следует, что даже после умножения на ехр(-ар) радиальная составляющая Р(р) будет неограниченно возрастать при р ~ . С учетом (5.21) и (5.24) такой же неограниченный рост на бесконечности будет наблюдаться и у искомого решения уравнения Шредингера.
Такая функция не удовлетворяет условию нормировки и, следовательно, не может рассматриваться как волновая функция электрона. Построенное решение уравнения Шредингера, однако, будет убывать при г ~ » и удовлетворять всем условиям регулярности, если ряд (5.30) оборвется на каком-либо конечном члене, т. е. будет многочленом конечной степени. Только в этом случае экспоненциальный множитель в (5.28) обеспечит убывание квадрата модуля волновой функции на бесконечности. Из (5.ф следует, что обрыв ряда (5.30) на номере /с = и„произойдет, Вели выполннтся следующее условие: ~ л Хл~(р)=р ехр~ — ),~ аяр, я-о (5.35) г где р=2 —, и, =и-(1+1), причем 1<и-1, а коэффициенты аь а для й > О находятся нз рекуррентных соотношений (5.32).
Значение коэффициента ао в конечном итоге выбирается из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в виде гп и ~ ~ )цг(г,О,ср)! г з(пОНЫОейр=1. (5.36) ооо Здесь г я(п Ып(Ыд = Л' — элемент объема в сферических коорг. динатах. Следовательно, волновая функция, определяющая квантовое состояние электрона в атоме, найдена. Она имеет вид и зависит от трех квантовых чисел — и, 1 и иь Для обозначения квантовых состояний с заданным значением орбитального квантового числа 1 используют следующие спектроскопические символы: Значение 1 ............ Символ состояния ..
О 1 2 3 4 5 У я 272 Итак, условие регулярности волновой функции привело к условию квантования энергии атома, которое при Л = 1 точно совпало с условием квантования энергии (5.12) в теории Бора. Поэтому из (5.34) также следует экспериментально подтвержденная формула Бальмера (5.14). Таким образом, радиальная часть волновой функции электрона в водородоподобном атоме зависит от двух квантовых чисел и и 1 и может быть записана в виде а=2 — >2я, 2р и = 3 -+ Зз, 3 р, ЗН л=4~4х, 4р, 4И, 4~ ит.д.
Анализ свойств сферических функций у (6, у) показывает, что все х-состояния электрона, т. е. состояния с 1= 0 и и = О, являются сферическн симметричными состояниями. Волновая функция в этих состояниях не зависит от угловых переменных О и тр. Приведем в табл. 5.1. некоторые нормированные волновые функции тулья для ряда квантовых состояний водородоподобных г1 атомов р = У вЂ” ~. а! Таблица 5.1 Состояние 1 Г2~зп Π— — ехр(-р) ~/я а Π— (2-р)ехр— Π— — рехр — р сояО гр 273 В частности, состояние с 1=0 называется я-состоянием, а электро л,дроп в таком состоянии — я-электроном. Состояние с 1=1 называется р-состоянием и т, д.
для более полного обозначения квантового состояния электрона необходимо указать также значение главного квантового числа Оно приводится перед символом состояния. Так, электрон в квантовом состоянии с п = 2 и 1= 0 обозначается символом 2я, в состоянии с л=4 и 1=2 — символом 4е1 ит.д. Поскольку всегда 1~ л — 1, то возможны следующие состояния электрона: и =1-э1х Окончание табл.
5.1 Состояние ( ~3/2 — — р ехр( — ) з1п О ехр(1ф) Г р1. 8с/н а 2 гр 2 1 /У 13/2 — — рехр~ — )з1п Оехр( — 1ф) Г р1. 8,/я а (, 2) 2 1 теории. Зр т=я Рнс. 5.7. Пространственное распределение плотности вероятности обнаружения электрона в различных квантовых состояниях атома водорода 274 На рис.
5.7 для некоторых квантовых состояний атома водорода, описываемых найденными волновыми функциями, показана радиальная электронная плотность вероятности в виде облака, густота которого в разных точках пространства пропорциональна этой плотности вероятности. Именно так, в виде облака плотности ве оятности может быть е ставл н ат в кв ой задача 5А. Определите, на каком расстоянии от ядра с наибольшей вероятностью можно обнаружить электрон в атоме водорода в 1з- и 2р-состояниях. регаеиие. В заданном квантовом состоянии электрон можно обнаружить на различных расстояниях от ядра. При этом вероятность нахождения электрона на расстоянии г от ядра, точнее в узком шаровом слое радиусов от г до г+ аг, определяется как гик аР = ( ( ~у(г, 6, <р)~ г~ зьпМгйЫщ.
ос 3та вероятность пропорциональна толщине слоя й, т. е. ДР = в (г) й. Наиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет такое расстояние г„для которого радиальная плотность вероятности в (г) будет максимальна. Взяв волновые функции электрона в атоме водорода из табл. 5.1, найдем, что в 1з-состоянии 1' 2г'1 и,(г)=Аг ехр~- — ), А=сопз1, а а в 2р-состояниях из(г)=вг ехр( — ), В=сонэк 4 а) Приравнивая производные этих функций нулю, находим, что в 1з-состоянии г„= а, т.
е. в этом состоянии наиболее вероятно обнаРужить электрон на расстоянии, равном радиусу первой боровской орбиты. Для 2р-состояний получаем, что га = 4а. И в этих состояниях наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно радиусу соответствующей (второй) боровской орбиты. Таким образом, хотя в квантовой механике не используется представление о движении электрона по определенным траекториям, радиусам боровских орбит и в этой теории можно придать физический смысл наиболее вероятных расстояний электрона от ядра. 275 Задача 55. Определите потенциал электрического поля для основного состояния атома водорода на различных расстояниях от ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
