Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, для которой а1 = аз = а. В этом случае „зйз Е,„„= (п1 +пз ), пппз — — 1, 2,3, ... (4.25) 2тоа Отсюда следует, что одному и тому же энергетическому уровню Е, определяемому квантовыми числами п1 и пт, при линз ' О, (х,у,7,)н 6, У(х, у, г)= , (Х, у, г) я 1г. 185 п1 ~ пз соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями у„, „и у„згч. Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным энергетическим уровнем, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня.
В случае двумерной квадратной потенциальной ямы кратность вырождения энергетического уровня, для которого п1 ~ пз, равна двум. Энергетический уровень, которому соответствует одно состояние частицы, называется невырожденным. В двумерной квадратной потенциальной яме невырожденными являются энергетические уровни, для которых п1 — — пз.
Трехмерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (в потенциальном ящике). Обозначим через О = 1(х, у г): 0 < х < ап 0 < у < аз, 0 < г < аз) внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.6). В этой задаче потенциальная энергия частицы у(х, у, г) имеет внд Вне потенциальной ямы волновая функпня частицы Ч~(х, у, 2) я О. Внутри ямы, так же как и в двумерном случае, представим волновую функцию в виде произведения Ч(х.
У 2) =91(х)Ч2(у)Ч/з(2) Рис. 4.6. Трехмерная где фУнкцил %(х) зависит только альная яма (потенциальный от координаты х; 1Р2(у) — только от кооРдинаты У; 1уз(2) — только от координаты г. Используя тот же самый метод решения, что и для двумерной ямы, из уравнения Шредингера в трехмерном случае получаем три одномерных уравнения: е( у1(х) 2в~ + — Ерш(х) =О, „,г,г а2цу2(у) г, 1у2 82 + — Е21р2(у) = О, еХ 1Рз(2) 2~а,> + — Езъуз (2) = О, ,г где Е1 + Е2 + Ез — — Е.
Решение этих уравнений, обращающееся в нуль на границе области 6, т. е. на непроницаемых стенках потенциального ящика, определяет вид нормированной волновой функции частицы „(х, у, 2) = яп — яп яп (4.26) 1' 8, кл1х . нл2у . илзе 1~ а1а2аэ а1 а2 аэ и ее энергетический спектр 186 — + л2 + лз .
(4.27) 282 ,а й1 Ч аэ 2 2 Е„, „„= (л1 +л2 +лз ), л1, л2, л3=1, 2,3,... (4.28) г 2 г 2тоа Энергетические уровни в кубической яме, для которых л1=л2 — -лз, являются невырожденными, все остальные уровни вырождены. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 4.4. Задача 4З. Частица массой ес находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками во втором возбужденном состоянии. Найдите вероятность обнаружения а й частицы в области 0<х< —, 0<у< —, где а — сторона ямы, а 3 3 также разность значений энергий второго н первого возбужденных состояний.
Решение Волновая функция частицы, находящейся в двумерной квадратной потенциальной яме, согласно (4.23), имеет внд г, ка,х, пазу 'т'„„(х, у) = — з1п — з)а —, й й а а ее энергетический спектр описывается выражением пгаз 187 Здесь квантовые числа л1, л2, лз — — 1, 2, 3, ... Отметим, что и квантовое состояние частицы, и ее энергия в случае трехмерной потенциальной ямы задаются тремя квантовыми числами. Рассмотрим движение частицы в кубической потенциальной яме, т. е.
будем считать, что а1 — — а2 — — аз —— а. В этом случае энергетический спектр частицы а 0<хь —, 3 Вероятность обнаружить частицу в области а 0 < у < — определяется выражением 3 а/3 а/3 Р= ) Дд/„(,у)~ Ыу= о о — ) 31п — 31п — дЫу = — — — 0,07. а о о Разность значений энергий второго и первого возбужденных состояний частицы равна к~в~ 3 в282 /)Е = — (8-5) = —. 2/я п~ 2 ///оп~ Задача 4.4.
Частица массой в/о находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна а. Найдите: а) энергию б-го уровня; б) разность энергий б-го и 5-го уровней; в) кратность вырождения б-го уровня. Решение. Энергия частицы, находящейся в трехмерной кубической потенциальной яме, согласно (4.28), может принимать значения 282 где квантовые числа и,, пз, лз = 1, 2, 3, ... Основному состоянию частицы, т. е. состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа в/ — — пз = лз — — 1.
Энергетические уровни возбужденных 188 где квантовые числа л/, лз -— 1, 2, 3, ... Первому возбужденному состоянию частицы отвечают квантовые числа и, = 1, в2 = 2 ( или, наоборот, я, = 2, п2 = 1). Следовательно, соответствующий ему энергетический уровень оказывается двукратно вырожденным. Второму возбужденному состоянию отвечают квантовые числа л, = в = 2, соответствую/ций ему энергетический уровень невырожден. состояний частицы определяются приведенным выражением для при последовательном увеличении суммы квадратов кванп!, ~, и! з товых чисел '~ л! (см.
таблицу). г гья Как следует из таблицы, б-му энергетическому уровню соответствует сумма квадратов квантовых чисел, равная четырнадцати, следовательно, игйг гйг Еь = — 14=7 2в аг ва Для разности значений энергий б-го и 5-го уровней получаем „гйг гйг ЛЕ=Еа-Еэ = — г(14 — 12)= г ' 2воа вса Обсудим теперь вопрос о кратности вырождения энергетических уровней частицы, находящейся в трехмерной кубической яме. Если квантовые числа л,, лг, и лз равны между собой, то соответствугопгий энергетический уровень оказывается невырожденным. 189 Таковы, например, энергетические уровни, отвечающие набору квантовыхчисел (1, 1, 1), (2,2,2) ит.д.
Еслидваизтрехквантовыхчисел равны между собой, но не равны третьему квантовому числу, то энергетический уровень имеет кратность вырождения, равную трем. В частности, трехкратно вырожденными являются 2, 3 и 4-й энергетические уровни. И наконец, если квантовые числа ие равны между собой, т. е. если л~ Ф лз Ф лз, то кратность вырождения определяется числом возможных перестановок из трех чисел, т. е. равна шести. Именно эта ситуация реализуется для 6-го энергетического уровня. Таким образом, кратность вырождения 6-го уровня Кь = 6. Задача 4.5. Нуклон в ядре за счет действия ядерных сил находится в сферической потенциальной яме радиуса а = 10 м м с непроницаемыми стенками.
Полагая, что основное состояние частицы в поле ядерных сил является сферически симметричным, оцените нижний энергетический уровень нуклона в ядре. Массу покоя нуклона считать равной вс = 1,67 10 ж кг. Решение. Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Эти частицы в ядерном взаимодействии ведут себя одинаковым образом, поэтому и протоны, и нейтроны в ядре называют общим названием— нуклоны.
Мощные короткодействующие ядерные силы удерживают нуклоны в ядре. По условию задачи поле ядерных сил У (г) в первом приближении можно моделировать сферической потенциааьной ямой с непроницаемыми стенками: Здесь г — расстояние нуклона от центра ядра, а а — радиус потенциальной ямы, равный по порядку величины размеру ядра. Стенки рассматриваемой потенциальной ямы (г=а) непроницаемы для частицы вследствие бесконечности их энергетической высоты. Поэтому вне ямы, т. е. при г>а, волновая функция нуклона равна нулю.
Это означает, что нуклон находится только внугри ямы, где 0<г<а. Чтобы найти энергию нуклона в сферической потенциальной яме, нужно решить уравнение Шредингера для стационарных состояний (4.6). С учетом того, что внутри ямы потенциальная энергия нуклона У = О, уравнение Шредингера запишем в виде 190 2т Е Ьдг + у=О, Обг<а. й' Так как в этой задаче силовое поле имеет сферическую симметрию, следует перейти в сферическую систему координат и рассматривать волновую функцию Ч~ как функцию радиальной координаты г и угловыхпеременных 6 и Чз, т.е.
у=у(г, д, <р). Но поскольку, согласно условию задачи, основное состояние частицы в яме является сферически симметричным, т. е. не зависит от углов д и <р, мы будем считать, что волновая функция частицы зависит только от радиальной координаты г. В этом случае оператор Лапласа имеет вид 1 ~1 <Ьу(г) Ы м~(г) 2 Йщ(г) сор(г) — — г — + —. гз Йг~ йг ! йз г юг Таким образом, уравнение Шредингера для частицы в сферической потенциальной яме можно представить в виде 2 Ну 2воŠ— + — + — у=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
