Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 24
Текст из файла (страница 24)
"Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, что мы раз и навсегда должны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности в пространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением, будто явления в природе подобны игре случая. <... > Я еще верю в возможность создания модели, т. е. теории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления", — писал А. Эйнппейн в начале ХХ в. Однако впечатляющие успехи квантовой механики при описании явлений в микромире показали, что другой теории, альтернативной квантовой механике, в физике нет. "Внедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса. В жизни Вселенной осуществляется безмерно великое число проб и испытаний.
В этом многообразии событий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этому угвержденню может служить квантовая механика, законы которой основаны на концепции, отвергающей предопределенность событий. Именно на этой основе были вскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строение атомов и молекул, закономерности их взаимодействия", — писал известный Физик Д.И.Блохинцев в конце ХХ в. 153 Задача З.б. Определите скорость изменения со временем среднего значения физической величины Г, считая, что оператор 4 явно не зависит от времени.
Реизение. Так как (У) = )'Ч" (ФЧ')Л, то — = ) — (ФЧ')Л + ) Ч" (ф — ~аУ. п(Х) аЧ'- . / ° дЧ'1 й „дг а~) Учитывая, что эволюция волновой функции Ч' описывается уравне- нием Шредингера, находим , оЧ' -, ЭЧ" 1й — =НЧ', -1й — =ЙЧ". а ' а Поэтому Поскольку операторы Н и Ф вЂ” эрмнтовы, то первый интеграл в правой части этого равенства можно преобразовать к виду /(ЙЧ")(ФЧ)Л = )'(Фч)(ЙЧ) л = ~ч'(Йфч)Л.
Следовательно, — = — ' ) Ч'~(йф-фй)ч ~п. 1г Ьи» Полученное соотношение показывает, что производная среднего значения физической величины по времени может быть представлена как среднее значение для некоторого оператора. Этот оператор н 154 называют производной оператора Ф по времени. Таким образом, для оператора Ф, явно не зависящего от времени, — = — (ЙФ-ФЙ). й л Отсюда следует, что если оператор Ф некоторой физической величины Г явно ие зависит от времени и коммугирует с гамильтонианом Й, т. е.
ЙФ=ФЙ, то среднее значение (~) этой физической величины не изменятся со временем. Как и в классической механике, в квантовой механике такие величины называются интегралами движения, соответствующими различным законам сохранения. Заметим, что оператор -(ЙФ вЂ” ФЙ) м (ФЙ вЂ” Йф) Ь йз называется квантовой скобкой Пуассона операторов Ф и Н. 3.7.
Одновременное измерение разных физических величин Важным вопросом в квантовой механике является вопрос о возможности одновременного точного измерения в некоторой квантовой системе двух разных физических величин. В качестве таких наблюдаемых величин могут выступать, например, координата и проекция импульса частицы„кинетическая и потенциальная энергии частицы, два различных компонента момента импульса и др. Можно ли организовать физический эксперимент так, чтобы в нем зги две величины были измерены одновременно и точно? Какие физические величины в квантовой системе могут быть измеРены одновременно и точно, а какие — нет? Некоторая физическая величина считается измеренной точно в данной квантовой системе, если каждое ее измерение в квантовом ансамбле одинаковых систем приводит к одному и тому же результату измерения. При этом предполагается, что эксперимент проведен идеально и приборные погрешности исключены.
155 В 3.6 было показано, что физическая величина а может быть точно измерена только в такой системе, квантовое состояние которой описывается волновой функцией, являющейся одной из собственных функций соответствующего этой физической величине оператора А. При этом вовсе не обязательно, чтобы в этом квантовом состоянии была возможность так же точно измерить другую физическую величину Ь. Эти физические величины а и Ь будут одновременно точно измерены только в том случае, если соответствующие им операторы А и В имеют общую систему собственных функций. Покажем, что если два оператора А и В имеют общую систему собственных функций, то между ними существуют некоторые коммутационные соотношения и результаты последовательного действия операторов на волновую функцию не зависят от порядка их применения.
Действительно, пусть функции Ч'„(а=1, 2, ...) являются собственными функциями как оператора А, так и оператора В. Тогда выполняются следующие соотношения: А1ВЖ„) = А(Ь 'Р„) = Ь„~ АЧ'„) = Ь„а„Ч'„, В (АЧ'„) = В(а„Ч'„) = а„(ВЧ'„) = а„Ь„Ч'„. Здесь а„и ܄— собственные значения операторов А и В, соответствующие их общей собственной функции Ч'„. Отсюда следует, что А(ВЧ~л) = В(АЧ~л ) . Но так как любая волновая функция Ч' может быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций: Ч' = ~,С„Ч'„, то в силу линейности квантово-механических опек раторов для любой волновой функции должно выполняться коммутационное соотношение 156 А[ВЧ') = В[АЧ'), (3.76) которое в операторной форме может быть записано в виде АВ=ВА илн А — ВА=О.
(3.77) разность операторов А — ВА называют коммутатором операторов А и В и обозначают обычно символом [А,В1ьз АВ-ВА. (3.78) х( р„Ж ) — р„(хЧ') = х~ — й — !+ (й — (хЧ') = ЮЧ'. Г,дч~, д дх ! дх Отсюда получаем [х,р„] ЙФО. (3.79) Таким образом, нельзя одновременно точно измерить координату х частицы и проекцию рх ее импульса. Как и следовало ожи- 157 Два оператора, коммутатор которых равен нулю, называют коммутирующими операторами. Таким образом, мы приходим к важному выводу квантовой механики: если две разные физические величины а и Ь могут быль одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы А и В должны быть коммутирующими операторами, т.
е. для них должно выполняться соотношение (3.77). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, коммугативность операторов указывает на возможность одновременного точного измерения соответствующих им физических величин. И наоборот, некоммугативность операторов указывает на невозможность такого одновременною точного измерения двух соответствующих им физических величин. По этому правилу проверим, можно ли одновременно точно измерить координату х частицы и проекцию р„ ее импульса? Для этого найдем коммутатор операторов х и р;.
дать, этот вывод совпадает с выводом, полученным ранее 1см. 2.3) при анализе соотношений неопределенностей Гейзенберга. При одновременном измерении у квантовой частицы ее координаты х и проекции рх импульса результаты измерений в квантовом ансамбле будут разбросаны относительно средних значений, и эти флуктуации можно охарактеризовать средними квадратами отклонений, или дисперсиями: Покажем, что найденное значение для коммугатора 1х, р, ) = 1л позволяет оценить связь между этими дисперсиями. С целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением одномерного движения частицы, выбрав систему отсчета, для которой (х) = О и (р,) = О.
В этом случае Будем считать также, что волновая функция Ч' нормирована и поэтому Ч'(1 )=О, причем на бесконечности квадрат модуля волновой функции достаточно быстро (быстрее, чем к ) стремится к нулю. При этих предположениях рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от некоторого действительного параметра а и имеющий положительные значения для всех значений этого параметра У(а)= ~~~ах — — р„~Ч'~ с1х= ~ ахЧ'+ — Ых. 158 Запишем зто соотношение в виде 1(а)= ~~ахЧ'+ — )~ахЧ' + — ~дх=Аа -Ва+С.
(3.80) Здесь А= ~Ч'*х ЧЧх=)31 >О, В=- ~х Ч' — +Ч' — Ж=- ~х — (Ч' Ч')~й= ( аЧ'* . 1Ч') ь ь! ь = — хч' Ч'~ + 1Ч"Ч'ах=1, гЫЧ' РР г ЭВ2Ч' 1 С= 1 — Ь=- ~Ч* — Ь= — Ю,>О. 1х,1 1 2 82 Условие положительности интеграла 1(а), значение которою записано в виде квадратного трехчлена (3.80), на основании теоремы о корнях квадратного уравнения можно записать в виде 4АС > В2. (3.81) Подставляя в (3.81) вместо А, В, С их значения, получаем, что всегда выполняется неравенство 4Х~132 > й, которое можно запиг сать как (3.82) 159 е А*=Ды) ) ьр,=,Я„~ ) определенностями координаты и проекции импульса, то (3.82) примет вид АкоевЂ Й (3.83) 2 Аналогично могут быть получены еще два неравенства для других координат: й л Аувер ~ —, А~Ар ~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
