Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поэтому и основное уравнение нерелятивистской квантовой механики — уравнение Шредингера (3.8) — может быть записано в операторной форме, содержащей гамильтониан Н: „арактеризуется скалярным <р и векторным А потенциалами, то гамильтониан в уравнении Шредингера (3.40) следует записать в виде ] ~2 Н = — ( р — лА) + дф+ У. 2во 1 Здесь д — заряд частицы, а векторный оператор А = А(х, у, т, г) и скалярный оператор ф=у(х, у, я, г) являются операторами умножения на эти функции. Физическое содержание операторного метода в квантовой механике накладывает определенные ограничения на возможный вид квантово-механических операторов.
Пусть Ф вЂ” оператор физической величины Г". Тогда для любых функций Ч'1 и Ч'з и произвольных постоянных С1 и СЗ должно выполняться равенство Ф(С1Ч'1+СЫЧ'з) =С~ФЧ'~+СзФЧ'з. (3.41) Операторы, обладающие таким свойством, называются линейными операторами. Свойство линейности операторов физических величин тесно связано с принципом суперпозиции квантовых состояний.
Использование в теории линейных операторов не нарушает этого принципа. Оператором физической величины может быть только линейный самосопряженный (эрмитов) оператор. Такому оператору, как показано в 3.5, соответствует действительная (не комплексная) физическая величина. Самосопряженным называют оператор, который совпадает со своим сопряженным оператором. В этом случае для произвольных функций Ч'~ и Ч'з тождественно выполняется следующее интегральное равенство ~ Ч'1 (ФЧ'з)сЛ~ = ~ Ч'з(ФЧ'1) Л'. (3.42) 137 Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике ставится в соответствие определенный линейный самосопряженный оператор.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что все определенные выше квантово-механические операторы обладают такими свойствами. Задача 3.4. Проверьте условие самосопряжеиности оператора проекции импульса Р,. Решение. Рассмотрим две нормированные волновые функции Ч', (х,г) и Ч'з (х,г), удовлетворяющие стандартным условиям регулярности и, в частности, условиям на бесконечности: Ч'гд (-, г) = Ч'ьз (+, з) = О. С помощью интегрирования по частям находим, что Таким образом, мы доказали, что 1 1! (Рк(2)~~х 1 12(Р Р1) В соответствии с (3.42) зто и доказывает для одномерного случая (У =1) самосопряженность оператора Р,.
Для И=2 и И=3 доказательство выполняется аналогично. Задача 3.5. Определите х-проекцию оператора момента импульса 1,, в сферической системе координат. 138 Решение. Используя формулы связи декартовой прямоугольной и сферической систем координат х = гвшЕсовф у = гв1пЕыпф, 2 = гсовЕ, запишем вытекающие из них соотношения х +у'+з =г', «'+у' ю~ вш'Е, у=~вйф. Дифференцируя эти формулы, находим а. р .Е аЕ в1пфс Е Так как дх дх дг дх дф а«дЕ а а.а афа аеа то д<р ах де ах — = в1п Есовф, — = — = в1п Ев1п ф, дг у г усов ф в1пф дф сов ф совф ° 1пЕ' ау .. ° 1пЕ а а.а афа аеа = — + — +— + + ду ду дг ду дф ду дЕ Ц =1й у — — х — =Й у — -х — — + '= ~ а ау~= ~~ дх ау)аг +у — — х — — +у — -х —— Подставляя найденные значения производных, находим, что у — — х — = у — — х — =О, у — -х — = — 1.
Следовательно, 3.5. Собственные функция и собственные значения операторов Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина у, называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора Ф. Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, т. е. если (3.43) ФЧ' = ~Ч', то такую функцию называют собственной функцией оператора Ф, а число Г' — его собственным значением. Квантово-механические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений.
При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора Ф считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений у„для л =1, 2, ..., соответствующих набору собственных функций Ч'„, которые представляют собой регулярные решения уравнения вида Ф'Р„=~,Ч'„, п=1„2, (ЗА4) пения (3.45) Выполнив операцию комплексного сопряжения, получим (ФЧ') =7".
Ч' . (3.46) Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить Ч'1 —— Ч'з = Ч', то в результате получим интегральное соотношение ~ Ч' ~ФЧ')Жl = ~ Ч'(ФЧ') ЫУ, (3.47) 141 Спектр собственных значений оператора может быть либо непрерывным, когда в (3.43) 1'может принимать все возможные значения, либо состоящим из отдельных полос (интервалов), таких, что значения 1 лежат в ряде интервалов.
В некоторых случаях одному собственному значению 1„оператора Ф принадлежит не одна, а несколько собственных функций Ч'„1, Ч'„з, ..., Ч'„ь. Такие случаи называются вырожденными, а число й таких функций называется кратностью вырождения. Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций. Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами и зто свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть Ф вЂ” самосопряженный оператор, а Ч' — его собственная функция, соответствующая собственному значению 7".
По определению, функция Ч' является решением урав- которое с учетом (3.45) и (3.46) можно преобразовать к виду (3.48) Отсюда следует, что г" = ~, т. е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными числами. Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантово-механических операторов. Пусть Ч'„и Ч',„— две собственные функции самосопряженного оператора Ф, соответствующие различным собственным значениям ~„и ~„, тогда они являются решениями следующих уравнений: ФЧ'п = ~аЧ'. н ФЧ'т = УтЧ'а (3.49) Условие (3.42) самосопряженности оператора Ф, записанное для функции Ч'„н Ч',„, принимает внд ~ Ч'„(Ф'Р,„)ЫУ= ~ Ч'„,(ФЧ'„) НУ. (3.50) Отсюда с учетом (3.49) получаем ) Ч'„Ч' ~Л/=,1'„~ Ч' Ч'„ЫУ. (3.51) лн лл (У -У„) ~Ч„*Ч (У=о.
(3.52) 142 Так как для самосопряженного оператора ~„= Д„, то (3.51) можно преобразовать к виду Если п-ьт, то )'„,-ь ~„, и нз (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям: ) Ч'„Ч'„,НУ=О, л~ш З1" (3.53) Если волновые функции Ч'„и Ч'„, считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности Ч л Ч т~л' Ьят З1л (3.54) гдесимволКронекера Ь„=О при л~ст и Ь„=1 при л=т.
Математическая теория линейных самосопряженных операторов доказывает, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция Ч', определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, т. е. представлена в виде ряда ч =) с„ч'„.
я (3.55) ~ Ч*.ЧАР=~С„~ Ч'.Ч„=',):С„Ь.„=С.. (3.5б) Я Ч1Я я 143 Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Ддя этого умножим ряд (3.55) на Ч'„, и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим Отсюда, меняя обозначение гл на п, получаем формулу для определения коэффициентов С„в разложении (3.55): с„= ~ч*„чар.
я" (3.57) Если оператор Ф имеет непрерывный спектр собственных значений г", лежащих в интервале Г, то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому (3.58) и непрерывное множество коэффициентов Су определяется по формуле (3.59) хЧ' = хЧ', (3.60) Спектры собственных значений квантово-механических операторов. Физическое содержание проблемы нахождения собственных значений квантово-механических операторов, которое будет рассмотрено в 3.6, обусловливает принципиально важную роль в квантовой механике этой на первый взгляд чисто математической задачи.
Рассмотрим несколько таких задач о нахождении спектров собственных значений операторов. 1. Спектр собственных значений оператора координаты х непрерывен. В самом деле, так как действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на координату х, то уравнение задачи на собственные значения оператора х, имеющее вид соответствует операторному равенству х = х, которое, по определению, выполняется для любого значения хн(-,+ ).
Аналогичные выводы получаем для операторов у и т . 2. Спектр оператора проекции импульса р„также является непрерывным спектром. Действительно, задача на собственные значения такого оператора сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка . дЧ' — И вЂ” =р Ч', дх (3.61) нз которого следует определить возможные значения рх.
Решение уравнения (3.61) Ч'=Сехр 1 —" (3.62) . ЭЧ' -И вЂ” = 1,,Ч'. д~р (3.63) Общее решение этого уравнения может быть записано в виде 145 при всех действительных значениях р, определяет функцию Ч', удовлетворяющую всем стандартным условиям регулярности. Поэтому собственные значения оператора рх образуют непрерывный спектр от — до + . Такой же вывод относится к собственным значениям операторов р и р,. 3. Примером дискретного спектра является спектр собственных значений оператора проекции момента импульса 1, . Для определения этого спектра направим полярную ось сферической системы координат вдоль оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
