iomeldar (1021896), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Ы(1) = 17 = и 561 Зт Геореткческке оекавы влектротелвекк ч. 1 переходная функция для напряжения и в контуре (г, С) с а(1)= — =1 — е 'с. ис(0 У В общем случае переходная проводимость (функция), согласно теореме разложения, Пусть требуется определить ток 1(~) при условии, что задано напряжение и(1) (рис. 17.5) и известна соответствующая переходная проводимость, Для этого сначала плавную кривую сле- Рис. 17.Ю дует заменить ломаной линией РЯ,РЯ,РД,... Если напряжение изменяется по такой ломаной линии, то это значит, что в момент времени 1 = 0 в цепь включается постоянное напряжение У(0); через промежуток времени Ьт как бы включается добавочное постоянное напряжение Л,(/; через следующий промежуток времени Лт на цепь воздействует опять добавочное постоянное напряжение Л,У и т.
д. Так как здесь рассматриваются линейные цепи, к которым применим принцип наложения, то ток в какой-либо момент времени г можно определить, сложив для этого же момента токи, обусловленные отдельными напряжениями. Следует только учесть, что каждое напряжение начинает действовать в разное время и, следовательно, к моменту 1 переходная проводимость д (1) будет иметь различные значения для того или иного значения включаемого напряжения.
562 Постоянное напряжение У (О) действует весь промежуток времени от нуля до С и к моменту С создает ток, равный 1! (О) д(С). Постоянное напряжение Л и, появляюшееся в момент т, действует в течение времени С вЂ” т; прн этом переходная проводимость в момент С равна д(С вЂ” т), а добавочный ток Л, С= Л,ид(С вЂ” т). Ток, создаваемый суммарным напряжением к моменту вре» меня С, т=! с(с)-и(0)п(с)+ Х л,щ(с — ), т=Ът или, учитывая, что (рис. 17.5) Л,и= Лттяа, С(С) =(г (0)к(С)+ ',~~ твой(С вЂ” т) Лт.
Если теперь интервалы времени Лт уменьшать до нуля и заменить ступенчатую линию кривой и(С), т. е. Лт заменить наат,тяги в на — = и'(т), сумму †интеграл, то ои (!) и! Сг=т1 1=(7(0)д(С)(-$ и'(т)и(С вЂ” т)с(т. (17.13) Полученная формула называется интегралом Дюамеля. Г 1 1 и(!) = — — — е Г г далее г 1 1 - — „<С-тг и (О) =-О; и'(!) =(С,=и'(т); й(С вЂ” т)= — — — е г г Таким образом, ток в момент времени ! ! С(!) =О+) г г /1 1 — — ! + — тт У 1!о( — — — е е )о(т — !— о 'Хг г ) г г г — (С 7 = ( о е ят = — ! — — + — е с 1 с с (Со — — 'е г 36" Пример 17.2.
Найти ток в цепи состоящей из последовательно соединенных г и йн цепь включается на напрягкенне, возрастаоощее по линейному закону н(!)=-(С,!. Р е ш е н и е. Переходная проводимость 5 17,5. Включение прямоугольного импульса В момент 1=0 (рис. !7.6) включается постоянное напряжение в цепь с известной переходной проводимостью.
В момент 1=1, напряжение становится равным нулю, что эквивалентно включению отрицательного напряжения, равного ( — (7). Ток для моментов 1"- 1, будет выражаться формулой (1) = ий (1) — (.Ж1 — 1,). Рис. 17.6 Рис. 17.7 й 17.6. Определение принужденного периодического несинусоидального тока в замкнутой форме (без разложения в ряд Фурье) Если вилючаемое напряжение является периодической иесинусоидальной функцией времени, то с помощью формулы Дюамеля можно рассчитать ток (прииуждеииую составляющую), не прибегая к разложени>о в ряд Фурье.
Это может оказаться полезным в тех случаях, когда ряды Фурье медленно сходятся или когда требуется определить точную форму кривой искомой величины. Пусть„ например, цепь, состоящая из последовательно соединенных г и Е подключается к напряжению, периодически меняющемуся в виде прямоугольных импульсов (рнс. 17.7).
Переходная проводимость и ( !) = — — — е, где 6 = — . 1 ! и г г г ' 1,' Каждый период состоит из двух интервалов: первый длительностью 1,„ в течение которого импульс напряжения действует; второй, длительностью Т вЂ” г„в течение которого импульс отсутствует. Для л-го периода первый интервал определяется значениями 1=(н — 1) Т+х, где О ~х щ!и второй— значениями 1=(л — 1) Т)-х, где г,ч-хчКТ. Ток н течение первого интервала л-го периода может быть записан следующим образом: 564 1(!)>=(7 ( — — е ~ — У ~ —— тг г ) (г г — и ~~ — — —; >- -,>' -з >- -! )г г е"'" ' >ч +(7 ~ — — — е-! И-т>> 1 г! г >г г — (7~ — — — е з!! " >т >,>з .( (г г ! г г г й „„ [-е< иат~ — (и 1) + — е ~!ее!, ~1[ еаг+еаат ( .+с<»-мат~ г г (7 (7 е" т — 1 (7 е е!» О»г — ! е "г — 1 г ечт 1 (17, 14) После подстановки Г=(л — 1) Т+к (О»~к»~ Г,) в (17.14) н последующем увеличении и до бесконечности появляется возможность выделить принужденную составляющую тока, т.
е, составляющую, не зависящую от порядкового номера периода Т ! (х), = — — —,. е- " (О ~ х ~ 1,). еаг — 1 Ток г (х)п на протяжении второго интервала и-го периода получится, если учесть дополнительный к (17,14) ток ат выключенного л-го импульса, равный (7 ! е-а П-ш-и т-г,! [г Г В результате получится (7 пе»зт 1 (7 ...,,, е"т ! ! (х) И = — — е —.
+ — е " ес ~ г е»т ечг — 1 На стыке обоих интервалов х= (, должны получиться одинаковые значения токов (так как при наличии ийдуктивности ток не может измениться скачком): (7 е'т ие г (еет 1) Одинаковыми должны получиться токи н на границах периода У ем — 1 1(О),=!(Т)и= — —,. ' с" г — 1 (7 Наконец, при !,=Т импульсы пропадают н !!=)п= —.
г Если прямоугольные импульсы напряжения (рис. 17.7) заменены прямоугольной волной напряжения, изображенной на рис. 17.8, то решение может быть получено, если иа токи [см. формулы (!7.15) и (17.16)), обусловленные системой положительных импульсов, наложить токи от такой же системы отрицательных импульсов, соответствующим образом сдвинутых во времени.
Для этой цели необходима заменить в формулах (17.15) и (17.16) Т через — и нз выражения (!7.15) вычесть выражение 17.16, в котором Т вместо х следует писать х+ — (атил» самым отрицательный ток второго 2 После подстановки г (л — 1) Т-1-х ((,~к~Т) и последующем увеличении л до бесконечности получится окончательно 1(х)п= — е"'" ((,~к~Т), () еаг(е'й 1) (!7.16) г чг интервала сдвинется влево на полпериода). В результате получается аг и г от' е '+1 Цх) = зт У (7 2е' г / г Т = — — — е х(О х "—; Ь вЂ”..— )~ ат е' +1 Это и есть ток, соответствующий положительной полуволне иапряже.
яия. Такой же ток, только обратного знака, соответствует отрицательной полуволпе напряжения. Рис. !7.8 а(!)=1 — е ( Ь= — ~ -и гС~ формально отличается от а(г) = — — — е- ~Ь= — ) 1 1 и / г 1 г г т Е ) ! отсутствием множителя — и другим значением Ь. г Так, например, в случае напряжения в виде прямоугольиык импульсов (рис. 17.7)г ег — е з 3! 1 ~ ис (х)! — — 0 — 0 е '" ~0 ~ х ~ 1,; Ь = — 1 ! езт — 1 гС г ' езг — 1 Так как ток 1=С вЂ” и СЬ= —, то 0ис 1 8! г' Ег ег — е ! 11 г (х)~ — — — — е ' (О ча х и, !г); езт 1 (7 е'г (ем~ — 1) 1(х)П = — — е " (1, ж; х ~7). езг 1 (17.17) (17.!8) Полученные результаты можно использовать н для цепи (г, С), если учесть, что переходная функция а(!) для напряжения и, равная В случае напряжения в аиде прямоугольной волны (рис.
17.8): Ьт' 2е ' 7' ! нс(х)=(У вЂ” (/ — е Ь" ~бм хч~ — ); ьт (, 2) е ' -1- 1 ьт (/ 2е' ь / 'Г 1 ((х)= — — е " ~О»ц»~— ет 2/' е'+1 (17.19) Как уже упоминалось, переходная проводимость (или функция) произвольной цепи состоит из слагаемых типа — еа "( = Аь е" »( (/ /у (рь) аналогичных переходной проводимости длн тока в цепи (г, С): и(() = — е 1 т Заменив в формулах (17.17) — (17.!9) — через Аь и ( — б) через рь, можно 1 г получить решение для соответствующего слагаемого и, следовательно, длн искомой величины. Пусть, например, к напряжению в виде прямоугольной волны (рис. 17.8), / Х'~ присоединен колебательный контур ~при г ( 2 1т/ †), ток которого тре.
1' с)' буется определить, Переходная проводимость контура д(Г)= —,е з(пм'(=, е — —., е 1 -ь( 1 (-ье/е!( 1 (-ь-/е!г ю'Л !2м'/. 12м'С Пользуясь формулой (17.19), можно записать выражение дли искомого тока: т т (Ь вЂ (и'!— (Ь + /ьт!— !(х) = 0 2е " , -ь+! * У 2 ' ,[-, !..! . (ь-(м ! — 12м'ь (ь+/„.! !' е ' -1-! е ' -1-1 т ! (ь+/ьт! —, Умножив числитель и знаменатель первой дроби иа (е ' -1-11, т Г (Ь-/м'!— а второй — на (е ' +11, получается следующий результат: ьт 2(/е-Ь» ! (х) = ~еьтз!им'х-~-е ' з!поз' ( х — — /! ы'Е еь!'-1-1+2е ' соз— 2,/ 2(/е-Ь» / тд ! (») = / ьт, Т А з(п (м'к+а) (О.- х ~ — ), еде ьт, ит ьт — -)в Аеу"=е +е *е Нетрудно убедиться в том, что ьт —,.
ыу 2Уе' з1п— 2 ./Тд 1(0) = — 1 ~ — ) ьз'(. 1 ьт +е +2е соз — ) зт з геТ 2/ Практический интерес представляет пилообразное напряжение (рис. 17.9], У рравыенне которого для одного периода и(1)= — 1, Пусть переходная про- Т Рис. 17. 9 воднмость д(1)= — е (6= — ) . так как и'(т)= —, то для моментов 1 зг/ 11 У гС) . Т времени 1=ат+х (Ож;хе т) йолучится следующее выражение тока: т зг М(1)= ) — — е е"Ит — — е" ет+ ~ — — е е ат— Г У 1 з з У „и Р У =3т ° т г ит+з — — е е т+...— — е 'е т-(- ~ — — е е Ыт У и зЗ У аз ль ( У 1 М 17 г ,) т ° ьт пТч а — е'г(т — (ет+е т+...+е з')= Уе" Г „, Уе Тг,) г ь (е «ч~- г 1) Тгб г ет — 1 Подстановка1=иТ+к и и- оз приводят к окончательному результату: 1 ()= — ~~ — — — ' —,~ ~о~ ~Т1 ь- — ).
° ~ьт 1 т) (, гС) ' В случае переходной проводимости п(1) — — — е М (6= — ), отл *. чающейся от преазней знаком минус перед переменной частью и дополня- 1 тельной постоянной (активной) проводимостью —, выражение для тока, очевидно, будет иметь следующий вид! и и Г1 е-" 1(х)= — — — ~ — — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
