iomeldar (1021896), страница 95
Текст из файла (страница 95)
16.13. Начальное значение зарядного У тока 1(0) =- — может быть очень большим г при малой величине г. Это значение тока таково, как будто конденсатор в первое мгновение накоротко замкнут, Если цепь включается сразу на полное напряжение (I, то в тепло переходит энергия равная энергии, запасаемой в электрическом поле конденсатора. Тепловые потери могут быть уменьшены, если, например, напряжение увеличивать ступенями, .и величиной —.При каждойтакой з зарядке ординаты кривой тока будут в и раз меньше, чем на рис.
16.13, и на все и зарядок и затратится тепловая энергия Ф и ) ~ — „) г иг = — ) г'гй = —, а о т. е. в и раз меньше предыдущего (конечно, окончательный запас энергии конденсатора от этого не зависит). Рис. 1б!3 ф 16.13. Включение цепи, содержащей емкость и сопротивление, на синусоидальное напряжение Пусть включаемое напряжение и(1) = У„з)п (в1+ ф).
Принужденный ток г„„=! з)п(вЕ+~р+~р), где ! =-,; гр= агой — с. От . хс ~/ г'+( — ) Принужденное напряжение на конденсаторе 1 л т и„„= 1,„—, з)п ~в1+$ + гр — ~ = — Ус, сов(в1+~>+~у). Так как ! ис.=Ае 'с, то г и =и „р+и„,„= — Ус соз(вт+ 4~+~р)+Ае 'с. Постоянная А определяется из начальных условий, При 1=О ис(О) =О=- — Ус соз(~Р-)-'~р) = А, откуда А = У~„соз й+ ~р). Следовательно, пс — — — (/с,„соз(о(+ф+ср)+ у„соэ(ф+<р)е 'с. Кривые и „„ис,„и ис показаны на рис. 16.!4.
Они построены аналогично кривым, изображенным на рис. !6.8. Если включение производится в момент прохождения и „р через нуль (соз(ф+~р) =О), то в цепи сразу, без переходного процесса устанавливается принужденный режим. -и (и-~~ / О/ ЧмазР/~~ /-'их, !6.!4 Закон изменения тока можно найти по формуле (=С вЂ” нли кяс /и из уравнения цепи (/+ис= и„з!п (ы(+ р). Из этого же уравнения определяется и начальное значение тока ((0) = ~/' мп /, г которое зависит от начальной фазы напряжения и имеет наибольшее значение при ф= —, т.
е. когда напряжение сети про- 2 ' ходит через максимум. В этом случае 6 и„ 1(0)иаиб= ) 1/, = /- к'" й)' И здесь явление происходит так, как будто бы в первое мгновение конденсатор был накоротко замкнут. Такие начальные толчки тока могут быть весьма значительными и вызвать при этом нежелательные динамические усилия в установке. й 16.14. Разряд конденсатора иа индуктивность и сопротивление Если конденсатор, предварительно заряженный но напряжения О, замкнуть в момент 4=0 на катушку (рис.
16,15), то в контуре, содержащем сопротивление, индуктивность и емкость, возникнет свободный процесс. Пусть требуется найти закон изменения исит. Характеристическое уравнение . + ~+ 1 р'СС+р.с+1 г+р + — = рС рС С или р*+ —,' р+ —,', =О, (16ЛЗ) рис. 1б.!а имеет два корня г /~' 1 2С С У 4~' СС' "' 2С Г 4С' которые могут быть действительными разными, действительными равными и комплексными сопряженными. Эти три случая и подлежат рассмотрению. Начальные значения искомых функций и их производных можно найти из закона коммутации и уравнения для контура: ш г(+Ьк — — — и .
ш — с. При 1=0 ис(0)=(l' 1(0)=( С и ) = 01(, ) =р Апернодический разряд конденсатора. Пусть оба корня действительны и различны. Для этого необходимо, чтобы т* 1 4С~ СС ' или В этом случае решение, например, для ис запишется в виде; и = АеРЛ+ВеР*'. с— Далее с р Аери + р Вери ш 3 Согласно начальным условиям, при 1= — 0 и (0)=-У=А+В; ° (~с) 0 А+ В откуда А= —; В=— Р,и Р,(1 Ра — Ра Ра Ра Тогда напряжение ив= ( — р,ем ' + р,еР*'), Ра — Ра а ток 1= — С вЂ” = — (е' ' — е"'), Иио СУР,Р, .
Р1 — Р* (16.14) или, учитывая, что произведение корней квадратного уравнения (16.13) равно свободному члену, т. е. р,р,= —, можно урав- 1 нению для тока придать следующий вид: 1 = (ес ' — ес*'). У 1. (Р,— Р.) (16.15) Так как р,) р„то последнее выражение показывает, что ток в любой момент положителен, т. е. конденсатор непрерывно разряжается в одном направлении (см. принятые положительные направления). Такой разряд конденсатора называют апериодическим. При 1=0 и 1=»ю ток равен нулю; следовательно, он должен проходить через максимум в некоторый момент 1„, определяемый из выражения (й).,= и (1 (р есп» вЂ” р еи*'и) = О с 1 (Р— Р,) а откуда ! = — 1и — . Ра У Ра Ра Р * сава» 1 Тогда из (16.15) 1 Ра га мака р 1.
(Р / Рис. 16.16 На рис. 16. 16 показаны кри- вые 1 и ис. Форму кривой и, можно найти аналитически следующим образом: так как ток асс 1= — С вЂ” с все время положителен, то производная — отрица- 61 тельна, т. е. напряжение конденсатора, сохраняя положительный знак, монотонно убывает, стремясь к нулю. При 1 =О и = У, но производная — = 0 (так как ток равен нулю), т. е. ккс Л1 = касательная к кривой и перпендикулярна осн ординат. До момента 1 = 1„ выпуклость кривой направлена вверх; при 1 = Г кривая и имеет точку перегиба, ибо в этой точке гд кис —,= — С вЂ” =О. Предельный случай апериодического разряда.
Если 1 /б — — или «=2 ег и то корни характеристического уравнения г Р,=Р.= — ч= — Ь 1 в 2г и решение следует записать в виде ц де-ы+ В1е-Вв (д+ Вг) е™ Тогда ток 1= — С вЂ” с=С(ЬА — В+ЬВ1)е ". Постоянные определяются из начальных условий: и (0) =- У = А; 1(0) = 0 = С (ЬА — В), откуда В = ЬА = ЬУ. Поэтому ц (/(1+Ь1) -ег и — С(/Ьв1 -ы Из полученных выражений следует, что ток, не меняя знака, 1 2«. достигает в момент 1 = — = — своего максимального значения =Ь=г хи и (мвкс = — — = 0,736— е г ' г Кривые 1 и и аналогичны кривым, изображенным на рнс. 16. 16.
/ 1. Таким образом, и прн «=2 аг — разряд конденсатора имеет с апериодический характер. Однако при дальнейшем уменьшении « /Ь по сравнению с 2 бг —, разряд из апериодического переходит бб1 /Ь в колебательный, и, следовательно, случай г=2 [г —, явля: ется предельным случаем апериодпческого разряда. Колебательный разряд конденсатора. При условии, что г' 1 /Ь вЂ” ( — или г(2 [г 4Ь~ 1С [' с корни характеристического уравнения получаются комплексными: г / т* ! х .
/ 1 г' р = — — + 1 — — = — — '+1р — — — = — Ь+1в'; 2Ь ! 4Ь' Ьс 2Ь 4/ ЬС 4Ь' / г~ 1 г . / 1 г* — — = — — —,' [г — — = — Ь вЂ” 1в', Рв 2Ь [' 4~п ЬС 2Ь 1 [ ЬС 4Ь~ где / 1 [/ ЬС 4Ь' 2 г 2Ь ' (16.16) Этим значениям корней соответствует решение и.=Ае из!п (а'1-';а) и, следовательно, 1 = — С вЂ” с = САе и [Ь з1п (в 7+ а) — в' соз (в'1+ а)). л! Постоянные А и а определяются из начальных условий. При !=О (/ = А з1п а; 0 = Ь з!и а — а' сова, А; а=а1стд— Ы . а' а' )ГЬС (! 6,17) Таким образом, Ые-и ис=,, з!п (а'!+а)~ а' г' ЬС Це 4', ! = —,5!па ! в'Ь (16.18) Из полученных уравнений следует, что разряд конденсатора носит колебательиый характер.
Угловая частота колебаний равна /1 г* У ЬС 4Ь' ' откуда тй ="ь, ' =)/ь. + (,1,= ')/(.С [ (16 6)) период колебаний 2л 2я 1 Лмплитуда колебаний постепенно затухает, так как множи- -ьс сс' тель е =е сс с течением времени уменьшается и стремится к нулю. В связи с этим период Т' и частоту 1' называют соответственно периодом и частотой собственных затухающих колебаний. Рис. 16.17 Быстроту затухания колебаний в контуре характеризуют числом, показывающим, во сколько раз уменьшается амплитуда по прошествии одного периода, т.
е. рассматривают отношение двух соседних амплитуд одного знака: ьт -ьссег с е Это отношение называют дскрсментом затухания колебаний. Часто применяют логарифмический декремент затухания, равный о =1и сь = ЬТ' = — Т'. 2б1 На рнс. 16.17 изображены кривые и и с. Экстремальные значения и, бывают в моменты, когда с=С-~-": — — О. Экстремаль"ис Й иые значения с определяются из уравненйя ~си 1 к соотношению тдюЧ = — =1)?а, или которое приводит а+оп и (е Для построения кривых и и г рекомендуется начертить отдельно экспоненты ~Ае ь' (множители при синусах). Экспоненты являются огибающими для искомых кривых, так как последние касаются этих огибающих в точках, где синус равен +.
|. Вопросы для самопроверки 16.1. Сформулировать закон коммутация. Дать его обоснование, 16.2. Сформулировать законы Кирхгофа для мгновенных значений. 16.3. Что такое принужденный и свободный режимы? 16.4. Что такое постоянная времени контура? 16.5. Ветвь, содержащая сопротивление и емкость, включается на постоянное напряжение и через т секунд замыкается накоротко. Нарисовать графики изменения напряжения на конденсаторе и тока (до и после короткого замыкания) 16.6. Две параллельные ветви включаются на постоянное напряжение, Одна ветвь содержит сопротивление и индуктивность, другая — сопротивление и емкость. Каким условиям должны удовлетворять параметры ветвей, чтобы общий ток мгновенно установился.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
